第一章 空间向量与立体几何（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-11 18:18:20 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 空间向量与立体几何--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试
一、选择题
1．若是空间的一个基底,则也可以作为该空间基底的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
2．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则的值是( )
A.9 B. C. D.3
3．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．如图,空间四边形中,,,,点M在上,且,点N为中点,则( )
A. B. C. D.
5．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为( )
A.2 B.-2 C. D.
6．已知，，且，则y的值为( )
A.6 B.10 C.12 D.14
7．若向量，则，的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8．在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为BD中点，则点到直线EF的距离( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知向量，，则平面ABC的单位法向量是( )
A. B. C. D.
10．直线的方向向量可以是( )
A. B. C. D.
11．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量坐标为____．
13．已知空间向量，，若，则___________.
14．已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为________.
15．在正三棱锥中，O是的中心，，则___________.
四、解答题
16．如果平面与平面平行，n是平面的一个法向量，那么n是平面的一个法向量吗？
17．如图,直四棱柱的底面为菱形,,.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，.
（1）求证：平面ACF；（用向量方法证明）
（2）求的余弦值.
19．如图，在三棱柱中，，，，D，E分别是，的中点.求证：
（1）平面；
（2）平面.（用向量方法证明）
20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，F是棱的中点，E在棱上，且平面，平面平面.
(1)求证：E是棱的中点；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：对于A项,易知,则A项中向量共面,不符合;
对于B项,易知,则B项中向量共面,不符合;
对于D项,易知,则D项中向量共面,不符合;
对于C项,易知,,不共面,即C正确.
故选:C
2．答案：B
解析：因为P，A，B，C四点共面，所以，所以，所以解得.故选B.
3．答案：B
解析：如图所示建立适当空间直角坐标系，
，，
，，
故选：B
4．答案：B
解析：依题意,
又,,,所以.
故选:B
5．答案：A
解析：由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为
.
所以所求投影向量的模长为2.
故选：A
6．答案：C
解析：因为，
所以，
解得，
故选：C.
7．答案：C
解析：向量，，则，
，
所以，的夹角的余弦值为
.
故选：C
8．答案：A
解析：
连接，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
由题意可得，，
则，
所以点到直线EF的距离为
，
故选：A.
9．答案：AB
解析：设平面ABC的一个法向量为，则即取，，则，，所以.若m为单位向量，则，解得，
故平面ABC的单位法向量为，.
故选AB.
10．答案：BD
解析：由题意可知,直线的斜率,所以直线的一个方向向量为,
并且和向量平行的向量为,当时,向量为.
故选：BD.
11．答案：BC
解析：，
所以二面角的大小可能为或．
故选：BC
12．答案：
解析:直线的方向向量为，，
则，，
则向量在直线l上的投影向量坐标为：．
故答案为：．
13．答案：1
解析：因为，
所以，解得.
故答案为：1
14．答案：
解析：两平面的法向量分别为，，
则两个平面的夹角，有，
而，则，所以两平面的夹角为.
故答案为：
15．答案：
解析：∵在正三棱锥中，O是的中心，
∴平面，平面ABC，
∴，即，
∵，，
∴，
∴
.
故答案为：
16．答案：是
解析：由题意，n是平面的一个法向量，所以，而，
所以，于是n是平面的一个法向量.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：四边形是菱形,,
又平面,平面,.
,,平面,
平面.
平面,平面平面.
(2)设下底面、上底面菱形对角线交点分别为O,,连接,
依题意可知,平面,以O为原点,
,,所在直线分别为x轴、y轴、轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
,,,
,,,,
,,.
设平面的法向量为,
则,,
取,
设直线与平面所成的角为,
则,
直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：设，，，，
则，，.
（1）证明：因为，，，
所以，即，，共面.
又平面，CF，平面，
所以平面ACF.
（2）因为，
，
所以，，，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：设，，.
（1）因为D，E分别是，BC的中点，
所以，，
所以.
因为，所以，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）易知，，，.
因为，，
所以即
两式相加，整理得.
因为，所以，所以.
因为，
所以.
又，
所以.
又，BC，平面，
所以平面.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）取的中点G，连接，，又F是的中点，则且，
由E在棱上，底面为矩形，则，故，
由平面，平面且平面平面，则，
所以为平行四边形，故，所以E是的中点；
（2）平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，
显然平面的一个法向量可以为，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第一章 空间向量与立体几何--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一单元测试
一、选择题
1．若是空间的一个基底,则也可以作为该空间基底的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
2．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则的值是( )
A.9 B. C. D.3
3．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．如图,空间四边形中,,,,点M在上,且,点N为中点,则( )
A. B. C. D.
5．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为( )
A.2 B.-2 C. D.
6．已知，，且，则y的值为( )
A.6 B.10 C.12 D.14
7．若向量，则，的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8．在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为BD中点，则点到直线EF的距离( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知向量，，则平面ABC的单位法向量是( )
A. B. C. D.
10．直线的方向向量可以是( )
A. B. C. D.
11．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量坐标为____．
13．已知空间向量，，若，则___________.
14．已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为________.
15．在正三棱锥中，O是的中心，，则___________.
四、解答题
16．如果平面与平面平行，n是平面的一个法向量，那么n是平面的一个法向量吗？
17．如图,直四棱柱的底面为菱形,,.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，.
（1）求证：平面ACF；（用向量方法证明）
（2）求的余弦值.
19．如图，在三棱柱中，，，，D，E分别是，的中点.求证：
（1）平面；
（2）平面.（用向量方法证明）
20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，F是棱的中点，E在棱上，且平面，平面平面.
(1)求证：E是棱的中点；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：对于A项,易知,则A项中向量共面,不符合;
对于B项,易知,则B项中向量共面,不符合;
对于D项,易知,则D项中向量共面,不符合;
对于C项,易知,,不共面,即C正确.
故选:C
2．答案：B
解析：因为P，A，B，C四点共面，所以，所以，所以解得.故选B.
3．答案：B
解析：如图所示建立适当空间直角坐标系，
，，
，，
故选：B
4．答案：B
解析：依题意,
又,,,所以.
故选:B
5．答案：A
解析：由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为
.
所以所求投影向量的模长为2.
故选：A
6．答案：C
解析：因为，
所以，
解得，
故选：C.
7．答案：C
解析：向量，，则，
，
所以，的夹角的余弦值为
.
故选：C
8．答案：A
解析：
连接，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
由题意可得，，
则，
所以点到直线EF的距离为
，
故选：A.
9．答案：AB
解析：设平面ABC的一个法向量为，则即取，，则，，所以.若m为单位向量，则，解得，
故平面ABC的单位法向量为，.
故选AB.
10．答案：BD
解析：由题意可知,直线的斜率,所以直线的一个方向向量为,
并且和向量平行的向量为,当时,向量为.
故选：BD.
11．答案：BC
解析：，
所以二面角的大小可能为或．
故选：BC
12．答案：
解析:直线的方向向量为，，
则，，
则向量在直线l上的投影向量坐标为：．
故答案为：．
13．答案：1
解析：因为，
所以，解得.
故答案为：1
14．答案：
解析：两平面的法向量分别为，，
则两个平面的夹角，有，
而，则，所以两平面的夹角为.
故答案为：
15．答案：
解析：∵在正三棱锥中，O是的中心，
∴平面，平面ABC，
∴，即，
∵，，
∴，
∴
.
故答案为：
16．答案：是
解析：由题意，n是平面的一个法向量，所以，而，
所以，于是n是平面的一个法向量.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：四边形是菱形,,
又平面,平面,.
,,平面,
平面.
平面,平面平面.
(2)设下底面、上底面菱形对角线交点分别为O,,连接,
依题意可知,平面,以O为原点,
,,所在直线分别为x轴、y轴、轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
,,,
,,,,
,,.
设平面的法向量为,
则,,
取,
设直线与平面所成的角为,
则,
直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：设，，，，
则，，.
（1）证明：因为，，，
所以，即，，共面.
又平面，CF，平面，
所以平面ACF.
（2）因为，
，
所以，，，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：设，，.
（1）因为D，E分别是，BC的中点，
所以，，
所以.
因为，所以，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）易知，，，.
因为，，
所以即
两式相加，整理得.
因为，所以，所以.
因为，
所以.
又，
所以.
又，BC，平面，
所以平面.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）取的中点G，连接，，又F是的中点，则且，
由E在棱上，底面为矩形，则，故，
由平面，平面且平面平面，则，
所以为平行四边形，故，所以E是的中点；
（2）平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，
显然平面的一个法向量可以为，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)