素养提升课(三) 共点力的平衡中的三类典型问题
[学习目标] 1．掌握力的合成与分解的方法，进一步理解共点力作用下物体的平衡条件．2．掌握利用平行四边形定则求解共点力平衡的问题，提高思维能力．3．掌握动态平衡问题及整体法、隔离法、临界极值类问题的处理．
考点1 整体法与隔离法分析连接体问题
1．连接体：发生相互作用的物体系称为连接体．处理连接体的静态平衡问题常用整体法和隔离法．
2．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力情况和运动情况，一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．
3．整体法：当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的力和运动时，一般可把整个系统看成一个整体，画出系统整体的受力分析图，然后利用平衡条件求解．
【典例1】 如图所示，质量M＝2 kg的木块套在水平杆上，并用细绳将木块与质量m＝ kg的小球相连．现用跟水平方向成30°角的力F＝10 N拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，g取10 m/s2，求：
(1)运动过程中细绳与水平方向的夹角θ；
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ．
思路点拨：①力F拉着球带动木块一起向右匀速运动，m、M均处于平衡状态．
②注意木块与杆间的正压力不等于Mg，也不等于(M＋m)g．
[解析] (1)设细绳对小球的拉力为FT．以小球为研究对象，分析受力，作出受力分析图如图甲所示，由平衡条件可知：
F cos 30°＝FTcos θ
F sin 30°＋FTsin θ＝mg
联立解得FT＝10 N，tan θ＝，即θ＝30°．
(2)以木块和小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图乙所示．再由平衡条件得
F cos 30°＝f
FN＋F sin 30°＝(M＋m)g
又f＝μFN
得到μ＝
代入解得μ＝．
[答案] (1)30° (2)
应用整体法与隔离法解连接体平衡问题应注意以下两点
(1)整体法分析时不考虑系统内物体间的相互作用力．
(2)隔离法分析时应考虑隔离受力个数较少的物体．
[跟进训练]1．如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为( )
A．∶4 B．4∶
C．1∶2 D．2∶1
D [将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析，有
FC＝FA sin 30°
FC＝kxC
FA＝kxA
＝＝2∶1
＝2∶1
故D正确，A、B、C错误．]
考点2 动态平衡问题
1．动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．
2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”．
3．基本方法：图解法、解析法和相似三角形法．
4．处理动态平衡问题的一般步骤
(1)解析法
①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式．
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况．
(2)图解法
①适用情况：一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力的大小、方向均变化．
②一般步骤：a．首先对物体进行受力分析，根据力的平行四边形定则将三个力的大小、方向放在同一个三角形中．
b．明确大小、方向不变的力，方向不变的力及方向变化的力的方向如何变化，画示意图．
③注意：由图解可知，当大小、方向都可变的分力(设为F1)与方向不变、大小可变的分力垂直时，F1有最小值．
(3)相似三角形法
①适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变；另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直．
②解题技巧：找到力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化，从而得到力的变化．
【典例2】 如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为FN1，木板对小球的支持力大小为FN2．以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中( )
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
B [解法一 解析法
对小球进行受力分析，如图甲所示，小球受重力G、墙面对小球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2而处于平衡状态．从图甲中可以看出，FN1＝，FN2＝，从图示位置开始缓慢地转到水平位置过程中，θ逐渐增大，tan θ逐渐增大，sin θ逐渐增大，故FN1、FN2始终减小，故B正确．
甲 乙
解法二 图解法
如图乙所示，小球受重力G、墙面对球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2而处于平衡状态．由平衡条件知FN1、FN2的合力与G等大反向，θ增大时，画出多个平行四边形，由图乙可知在θ增大的过程中，FN1始终减小，FN2始终减小，故B正确．]
[跟进训练]
2．如图所示，光滑半球面上的小球(可视为质点)被一绕过光滑小定滑轮的轻绳在力F的作用下由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析F及半球面对小球的支持力FN的变化情况．
[解析] 如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力FN总与球面垂直，从图中可得到相似三角形．
设半球面半径为R，定滑轮到球面最高点的距离为h，定滑轮与小球间绳长为L，根据三角形相似得
＝＝
则绳的拉力F＝mg
半球面对小球的支持力FN＝mg
由于在拉动过程中h、R不变，L变小，故F减小，FN不变．
[答案] 见解析
考点3 平衡状态下的临界与极值问题
1．临界问题：当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”．处理这类问题的最有效方法是假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．
2．极值问题：也就是指平衡问题中，力在变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解决这类问题常用的两种方法
(1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值．
(2)图解法：根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值．
【典例3】 如图所示，物体甲的质量为m1，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与放置在水平面上的质量为m2的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲、乙均处于静止状态．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：
(1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？
(2)物体乙受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若物体乙的质量m2＝4 kg，物体乙与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使物体乙在水平面上不滑动，物体甲的质量m1最大不能超过多少？
思路点拨：①根据受力分析求出TOA、TOB．
②f＝TOB，当f恰为滑动摩擦力时就是所求临界值．
[解析] 以结点O为研究对象，作出受力示意图，如图所示．
(1)TOA＝＝m1g
TOB＝m1g tan θ＝m1g．
(2)f＝TOB＝m1g，方向水平向左．
(3)fmax＝μm2g＝0.3×4×10 N＝12 N
当TOB＝m1g＝fmax＝12 N时，m1＝1.6 kg
即物体甲的质量m1最大不能超过1.6 kg．
[答案] (1)m1g m1g (2)m1g 方向水平向左 (3)1.6 kg
处理临界与极值问题的关键是正确分析物体所处临界状态的受力情况，准确找出临界条件，结合平衡条件列方程求极值．
[跟进训练]
3．如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的质量之比为( )
A． B．
C． D．
B [A恰好不滑动，B刚好不下滑，说明A此时受到地面的静摩擦力为最大静摩擦力，B受到A的静摩擦力为最大静摩擦力，对A、B整体受力分析，在竖直方向上，A与地面间压力大小等于A、B重力之和，在水平方向上推力F和地面对A的最大静摩擦力大小相等，即F＝Fmax，又因为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，有F＝Ff＝μ2(mA＋mB)g，B在竖直方向上的重力和A对B的最大静摩擦力大小相等，有μ1F＝mBg，联立解得＝，B正确．]
素养提升练(三) 共点力的平衡中的三类典型问题
一、选择题
1．如图甲所示是某同学写字时的握笔姿势，如图乙所示是他在握笔时把拇指和食指松开时的状态，笔尖仍然斜向下且笔保持静止状态．关于两幅图中笔的受力，下列说法正确的是( )
A．图甲和图乙中手对笔的作用力方向都为竖直向上
B．图甲中手的握力越大，笔所受的摩擦力越大
C．图甲中笔可能不受摩擦力
D．图乙中笔可能不受摩擦力
A [对笔受力分析，可知笔受到重力和手的作用力，所以手对笔的作用力竖直向上，故A正确；笔受到的摩擦力为静摩擦力，大小与重力沿笔尖方向的分力相等，故B、C、D错误．故选A．]
2．(多选)国庆期间，小莫同学帮妈妈下厨，发现厨房里的砧板沥水架非常有意思，圆形砧板仅由光滑P、Q杆支撑，他根据学校物理课所学知识，得出了以下几个结论，其中正确的是( )
A．砧板所受的弹力是由于沥水架形变产生的
B．相同质量的砧板，半径越大，P杆对它的弹力越小
C．P、Q杆间距离越大，砧板受到沥水架的作用力越大
D．P、Q杆间距离越大，砧板受到合外力越大
AB [砧板所受的弹力是由于施力物体沥水架形变产生的，A正确；对砧板受力分析如图所示．
设弹力与竖直方向夹角为θ，由平衡条件得2T cos θ＝mg，解得砧板受到P杆对它的弹力为T＝，因为相同质量的砧板，半径越大，弹力与竖直方向夹角θ越小，cos θ越大，所以P杆对它的弹力越小，B正确；无论P、Q杆间距离多大，砧板受到沥水架的作用力与它的重力总是等大反向，砧板受到的合外力为零，则C、D错误．故选AB．]
3．一串小灯笼(五只)彼此用轻绳连接，并悬挂在空中，在稳定水平风力作用下发生倾斜，悬绳与竖直方向的夹角为30°，如图所示．设每个灯笼的质量均为m，则自上往下第二只灯笼对第三只灯笼的拉力大小为( )
A．2mg B．mg
C．mg D．8mg
A [以下面三只灯笼为一整体，总重力为3mg，由竖直方向的合力为零可得：F cos 30°＝3mg，解得F＝2mg，A正确．]
4．如图所示，质量为M的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ．斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦．用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的摩擦力大小为( )
A．(M＋m)g B．F cos θ
C．(M＋m)g＋F cos θ D．(M＋m)g－F sin θ
B [将小物块和楔形物块整体进行分析，整体处于平衡状态，在水平方向上根据平衡条件可得地面对楔形物块的摩擦力大小为Ff＝F cos θ，故选B．]
5．如图所示是用来粉刷墙壁的涂料滚的示意图．使用时，用撑杆推着涂料滚沿着墙壁上下滚动，把涂料均匀地粉刷到墙壁上．撑杆的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑杆足够长．粉刷工人站在离墙壁某一距离处缓缓上推涂料滚，使撑杆与墙壁间的夹角越来越小．该过程中撑杆对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，下列说法正确的是( )
A．F1、F2均减小
B．F1、F2均增大
C．F1减小，F2增大
D．F1增大，F2减小
A [以涂料滚为研究对象，分析受力情况，作出受力分析图．设撑杆与墙壁间的夹角为α，根据共点力平衡的条件得F1＝，F2＝G tan α；根据题意可得，撑杆与墙壁间的夹角α减小，cos α增大，tan α减小，则F1、F2均减小，A正确．
]
6．(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态，若把B球换成半径略小、重力不变的小球，它们仍处于静止状态．则下列判断正确的是( )
A．墙对球B的作用力增大
B．柱状物体A对球B的支持力减小
C．地面对柱状物体A的支持力不变
D．地面对柱状物体A的摩擦力不变
BC [小球B受重力、A的支持力F1和墙壁的作用力F2，如图甲所示．
若把B球换成半径略小、重力不变的小球，它们仍处于静止状态，三个力合力仍为零，根据图像可知，墙壁对球B的作用力将减小，A对球B的支持力减小，故A错误，B正确；对整体分析可知，竖直方向，地面对柱状物体A的支持力大小始终等于两者重力之和，支持力不变，故C正确；如图乙所示，再对A进行受力分析知，由于A的平衡，所以A受地面摩擦力f＝FB sin θ，根据题意知，B对A的压力FB减小且FB与竖直方向的夹角θ减小，故A所受地面的摩擦力f减小，故D错误．故选BC．
]
7．(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
AB [如图所示，两段绳是对称的，与竖直方向夹角是相等的．
假设绳的长度为x，则有x cos θ＝L，绳子一端在上下移动的时候，绳的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ角不变，两段绳的合力向上，大小等于衣服的重力，由于夹角不变，所以绳的拉力不变，A正确，C错误；当N向右移动后，根据x cos θ＝L，即L变大，绳长不变，所以θ角减小，绳与竖直方向的夹角变大，绳的拉力变大，B正确；绳长和两杆距离不变的情况下，θ不变，所以挂的衣服质量变化，不会影响悬挂点的位置，D错误．故选AB．]
8．如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物．现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前( )
A．BC绳中的拉力FT越来越大
B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大
D．AC杆中的支撑力FN越来越小
B [作出C点的受力示意图，如图所示，由图可知力的矢量三角形与几何三角形ABC相似．根据相似三角形的性质得＝＝，解得BC绳中的拉力为FT＝G，AC杆中的支撑力为FN＝G，由于重物P向上运动时，AB、AC不变，BC变小，故FT减小，FN不变，故B正确．
]
9．(多选)如图所示，在同一水平面上，有表面粗糙程度相同、质量不同(mPA．F1＞F2 B．F2＜F3
C．F3＝F4 D．F3＜F4
BC [对题图甲中的P物体和题图乙中的Q物体，根据平衡条件得F1＝μmPg，F2＝μmQg，所以F1＜F2，故A错误；对题图丙中整体，根据平衡条件得F3＝μ(mP＋mQ)g，对题图丁中整体，根据平衡条件得F4＝μmPg＋μmQg＝μ(mP＋mQ)g，由此可知F2＜F3，F3＝F4，故B、C正确，D错误．]
10．如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l．现在C点悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为( )
A．mg B．mg
C．mg D．mg
C [分析结点C的受力，如图甲所示，由题意可知，轻绳CA与竖直方向的夹角α＝30°，则可得FD＝mg tan α＝mg．再分析结点D的受力，如图乙所示，由图可知，F′D＝FD恒定，FB的方向不变，当在D点施加的拉力F与轻绳BD垂直时，拉力F为最小，即Fmin＝FD cos 30°＝mg，所以选项C正确．
]
二、非选择题
11．筷子是中华饮食文化的标志之一．某人使用筷子夹起一鱼丸，静止时可简化为如图所示的模型，甲、乙表示两根筷子，鱼丸的质量为m，可看成质量均匀分布的球体，甲、乙和鱼丸在同一竖直平面内．甲筷子保持竖直状态，乙筷子倾斜且与竖直方向夹角为θ，忽略筷子与鱼丸之间的摩擦及鱼丸的形变，重力加速度为g，求：
(1)甲、乙两根筷子对鱼丸的作用力F1、F2的大小分别为多少？
(2)甲筷子保持竖直状态，将乙筷子逆时针旋转，使两根筷子靠近一些，即θ变小一些(仍有θ＞0)，为保持鱼丸静止，F1、F2的大小应如何变化？
[解析] (1)对鱼丸受力分析，如图所示
F1、F2的合力F12方向竖直向上，大小与mg相等，所以F1＝，F2＝ ．
(2)θ角减小，则tan θ将减小，故F1增大；sin θ将减小，故F2也增大．
[答案] (1) (2)F1增大 F2增大
12．如图所示，质量为2m的物体A通过一轻质弹簧与地面上的质量为2m的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端连物体A，另一端连一质量为m的物体C，物体A、B、C都处于静止状态，已知重力加速度为g，忽略一切摩擦．
(1)求地面对物体B的支持力大小；
(2)把物体C的质量改为6m，则C缓慢下降，经过一段时间系统达到新的平衡状态，这时B仍没离开地面，弹簧的伸长量在弹性限度内，且C只受重力和绳的拉力作用，求此过程中物体A上升的高度．
[解析] (1)对AB整体mg＋FN＝4mg
所以地面对物体B的支持力大小FN＝3mg．
(2)对C，根据平衡条件FT＝6mg
对A，根据平衡条件FT＝F＋2mg
所以F＝4mg
根据胡克定律kx1＝F
解得，弹簧伸长量为x1＝
开始时，通过对A受力分析可知，弹簧弹力大小为2mg－mg＝mg
弹簧的压缩量为x2＝
所以A上升的高度为h＝x1＋x2＝．
[答案] (1)3mg (2)
13．如图所示，光滑固定斜面上有一个质量为10 kg的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角30°，整个装置处于静止状态，g取，求：
(1)绳中拉力的大小和斜面对小球支持力的大小；
(2)若另外用一个外力拉小球，能够把小球拉离斜面，求最小拉力的大小．
[解析] (1)如图所示，水平竖直建立直角坐标系，对小球做受力分析，把不在轴上的力沿轴分解．则：
水平方向上：FTsin 45°－FNsin 30°＝0
竖直方向上：FTcos 45°＋FNcos 30°－mg＝0
由以上两式得FN≈73.2 N，FT≈51.8 N．
(2)外力方向与绳子垂直时，拉力最小．
拉力的最小值为Fm＝mg sin 45°
代数解得Fm≈70.7 N．
[答案] (1)51.8 N 73.2 N (2)70.7 N
1 / 16素养提升课(三) 共点力的平衡中的三类典型问题
[学习目标] 1．掌握力的合成与分解的方法，进一步理解共点力作用下物体的平衡条件．2．掌握利用平行四边形定则求解共点力平衡的问题，提高思维能力．3．掌握动态平衡问题及整体法、隔离法、临界极值类问题的处理．
考点1 整体法与隔离法分析连接体问题
1．连接体：发生相互作用的物体系称为连接体．处理连接体的静态平衡问题常用整体法和隔离法．
2．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力情况和运动情况，一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．
3．整体法：当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的力和运动时，一般可把整个系统看成一个整体，画出系统整体的受力分析图，然后利用平衡条件求解．
【典例1】 如图所示，质量M＝2 kg的木块套在水平杆上，并用细绳将木块与质量m＝ kg的小球相连．现用跟水平方向成30°角的力F＝10 N拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，g取10 m/s2，求：
(1)运动过程中细绳与水平方向的夹角θ；
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ．
思路点拨：①力F拉着球带动木块一起向右匀速运动，m、M均处于平衡状态．
②注意木块与杆间的正压力不等于Mg，也不等于(M＋m)g．
[听课记录]___________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
应用整体法与隔离法解连接体平衡问题应注意以下两点
(1)整体法分析时不考虑系统内物体间的相互作用力．
(2)隔离法分析时应考虑隔离受力个数较少的物体．
[跟进训练]1．如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为( )
A．∶4 B．4∶
C．1∶2 D．2∶1
考点2 动态平衡问题
1．动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．
2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”．
3．基本方法：图解法、解析法和相似三角形法．
4．处理动态平衡问题的一般步骤
(1)解析法
①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式．
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况．
(2)图解法
①适用情况：一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力的大小、方向均变化．
②一般步骤：a．首先对物体进行受力分析，根据力的平行四边形定则将三个力的大小、方向放在同一个三角形中．
b．明确大小、方向不变的力，方向不变的力及方向变化的力的方向如何变化，画示意图．
③注意：由图解可知，当大小、方向都可变的分力(设为F1)与方向不变、大小可变的分力垂直时，F1有最小值．
(3)相似三角形法
①适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变；另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直．
②解题技巧：找到力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化，从而得到力的变化．
【典例2】 如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为FN1，木板对小球的支持力大小为FN2．以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中( )
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
[听课记录]___________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[跟进训练]
2．如图所示，光滑半球面上的小球(可视为质点)被一绕过光滑小定滑轮的轻绳在力F的作用下由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析F及半球面对小球的支持力FN的变化情况．
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 考点3 平衡状态下的临界与极值问题
1．临界问题：当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”．处理这类问题的最有效方法是假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．
2．极值问题：也就是指平衡问题中，力在变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解决这类问题常用的两种方法
(1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值．
(2)图解法：根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值．
【典例3】 如图所示，物体甲的质量为m1，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与放置在水平面上的质量为m2的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲、乙均处于静止状态．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：
(1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？
(2)物体乙受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若物体乙的质量m2＝4 kg，物体乙与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使物体乙在水平面上不滑动，物体甲的质量m1最大不能超过多少？
思路点拨：①根据受力分析求出TOA、TOB．
②f＝TOB，当f恰为滑动摩擦力时就是所求临界值．
[听课记录]___________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
处理临界与极值问题的关键是正确分析物体所处临界状态的受力情况，准确找出临界条件，结合平衡条件列方程求极值．
[跟进训练]
3．如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的质量之比为( )
A． B．
C． D．
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