1.1 空间向量及其运算（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
文档属性
| 名称 | 1.1 空间向量及其运算（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-11 18:18:34 | ||
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文档简介
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1.1 空间向量及其运算--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．已知向量,,,若,,共面,则( )
A.4 B.2 C.3 D.1
2．如图，四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，N为BC的中点，则( )
A. B. C. D.
3．如图，在四面体OABC中，D为BC的中点，，且P为OG的中点，则( )
A．
B．
C．
D．
4．已知空间单位向量,,两两垂直,则( )
A. B. C.3 D.6
5．设正四面体的棱长为2，M是的中点，则的值为( )
A. B.-1 C. D.1
6．已知为单位正交基底，，则a在i上的投影为( )
A.1 B.2 C.3 D.6
7．在四面体ABCD中，P在平面ABC内，Q在平面BCD内，且满足，，若，则下列说法正确的是( )
A.AQ与DP所在直线是异面直线 B.AQ与DP所在直线平行
C.线段AQ与DP必相交 D.线段AQ与DP延长后相交
8．如图，M为四面体的棱的中点，N为的中点，点P在线段上，且，设，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．空间直角坐标系中,已知,,下列结论正确的有( ).
A.
B.若,则
C.点A关于平面对称的点的坐标为
D.
10．若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
11．如图,在平行六面体中,设,,,若M为与的交点,则下列等式正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．化简：________.
13．在棱长为2的正方体中，M为棱上任意一点，则________.
14．与共线的单位向量是____.
15．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为_______________.
四、解答题
16．已知a，b都是空间向量，且，求.
17．已知，，，证明这三个向量共面.
18．如图所示，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，如果，求证：ABCD是矩形.
19．已知四面体ABCD的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
20．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是，，的中点，设，，，，，为空间向量的一组基底，计算：
(1);
(2).
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,共面,所以存在两个实数m、n,使得,
即,即,解得.
故选:D
2．答案：C
解析：因为，所以，
又N为BC的中点，所以，
因此，.
故选C.
3．答案：A
解析:由题意，
,
故选：A
4．答案：A
解析：因为空间单位向量,,两两垂直,
所以,,,,,
所以
.
故选：A.
5．答案：B
解析:
故选：B
6．答案：A
解析：，则a在i上的投影为.故选A.
7．答案：C
解析：若，则，，所以，所以A，P，D，Q四点共面；若，，则由得，
令，则，故A，P，D，Q四点共面.
又AQ与DP不平行，所以线段AQ与DP必相交.故选C.
8．答案：A
解析：M为四面体的棱的中点，N为的中点，
故，，
，
因为，所以，
.
故选：A
9．答案：AB
解析：对A,,故A正确;
对B,,所以,故B正确;
对C,点A关于平面对称的点的坐标为,故C错误;
对D,,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：对于A,有,所以,,共面;
对于B,有,所以,,共面;
对于C,假设,,共面,则有,即,由题意不共面,所以,无解,
故假设不成立,所以,,不共面;
对于D,,所以 ,,共面.
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：,故A错误;
,故B正确;
,故C错误;
,故D正确;
故选:BD
12．答案：
解析：原式
.
13．答案：4
解析：棱长为2的正方体如图所示，
14．答案：或
解析:，
，即或.
故答案为：或
15．答案：
解析：依题意，，
得，
由底面为矩形，，，
得，
显然，
又
，
因此，
所以.
故答案：
16．答案：
解析：与同向，b与反向，且，
.
另解：，
，，
又向量的夹角范围为，
.
17．答案：证明见解析
解析：证明：设，
则.
向量i，j，k不共面，
解得
故存在实数，，使得，
故向量a，b，c共面.
18．答案：证明见解析
解析：证明：因为底面AC，
所以AB为PB在底面AC内的射影.
又，所以由三垂线定理的逆定理可得.
又因为底面ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形.
19．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解析：由已知得该四面体为正四面体.
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为空间四边形的每条边和对角线都等于1，
所以，，
因为点E，F分别是，的中点，
所以，
所以.
(2)因为，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1.1 空间向量及其运算--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．已知向量,,,若,,共面,则( )
A.4 B.2 C.3 D.1
2．如图，四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，N为BC的中点，则( )
A. B. C. D.
3．如图，在四面体OABC中，D为BC的中点，，且P为OG的中点，则( )
A．
B．
C．
D．
4．已知空间单位向量,,两两垂直,则( )
A. B. C.3 D.6
5．设正四面体的棱长为2，M是的中点，则的值为( )
A. B.-1 C. D.1
6．已知为单位正交基底，，则a在i上的投影为( )
A.1 B.2 C.3 D.6
7．在四面体ABCD中，P在平面ABC内，Q在平面BCD内，且满足，，若，则下列说法正确的是( )
A.AQ与DP所在直线是异面直线 B.AQ与DP所在直线平行
C.线段AQ与DP必相交 D.线段AQ与DP延长后相交
8．如图，M为四面体的棱的中点，N为的中点，点P在线段上，且，设，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．空间直角坐标系中,已知,,下列结论正确的有( ).
A.
B.若,则
C.点A关于平面对称的点的坐标为
D.
10．若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
11．如图,在平行六面体中,设,,,若M为与的交点,则下列等式正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．化简：________.
13．在棱长为2的正方体中，M为棱上任意一点，则________.
14．与共线的单位向量是____.
15．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为_______________.
四、解答题
16．已知a，b都是空间向量，且，求.
17．已知，，，证明这三个向量共面.
18．如图所示，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，如果，求证：ABCD是矩形.
19．已知四面体ABCD的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
20．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是，，的中点，设，，，，，为空间向量的一组基底，计算：
(1);
(2).
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,共面,所以存在两个实数m、n,使得,
即,即,解得.
故选:D
2．答案：C
解析：因为，所以，
又N为BC的中点，所以，
因此，.
故选C.
3．答案：A
解析:由题意，
,
故选：A
4．答案：A
解析：因为空间单位向量,,两两垂直,
所以,,,,,
所以
.
故选：A.
5．答案：B
解析:
故选：B
6．答案：A
解析：，则a在i上的投影为.故选A.
7．答案：C
解析：若，则，，所以，所以A，P，D，Q四点共面；若，，则由得，
令，则，故A，P，D，Q四点共面.
又AQ与DP不平行，所以线段AQ与DP必相交.故选C.
8．答案：A
解析：M为四面体的棱的中点，N为的中点，
故，，
，
因为，所以，
.
故选：A
9．答案：AB
解析：对A,,故A正确;
对B,,所以,故B正确;
对C,点A关于平面对称的点的坐标为,故C错误;
对D,,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：对于A,有,所以,,共面;
对于B,有,所以,,共面;
对于C,假设,,共面,则有,即,由题意不共面,所以,无解,
故假设不成立,所以,,不共面;
对于D,,所以 ,,共面.
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：,故A错误;
,故B正确;
,故C错误;
,故D正确;
故选:BD
12．答案：
解析：原式
.
13．答案：4
解析：棱长为2的正方体如图所示，
14．答案：或
解析:，
，即或.
故答案为：或
15．答案：
解析：依题意，，
得，
由底面为矩形，，，
得，
显然，
又
，
因此，
所以.
故答案：
16．答案：
解析：与同向，b与反向，且，
.
另解：，
，，
又向量的夹角范围为，
.
17．答案：证明见解析
解析：证明：设，
则.
向量i，j，k不共面，
解得
故存在实数，，使得，
故向量a，b，c共面.
18．答案：证明见解析
解析：证明：因为底面AC，
所以AB为PB在底面AC内的射影.
又，所以由三垂线定理的逆定理可得.
又因为底面ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形.
19．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解析：由已知得该四面体为正四面体.
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为空间四边形的每条边和对角线都等于1，
所以，，
因为点E，F分别是，的中点，
所以，
所以.
(2)因为，
所以.
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