1.2 空间向量基本定理（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业

中小学教育资源及组卷应用平台
1.2 空间向量基本定理--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A.，，共线 B.O，A，B，C中至少有三点共线
C.与共线 D.O，A，B，C四点共面
2．在四面体中，，，设，，，则( )
A. B.
C. D.
3．已知，，，若a，b，c不能构成空间的一个基底，则实数的值为( )
A.0 B. C.9 D.6
4．若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A. B.
C. D.
5．已知三棱锥中，D为上一点，P为的中点，若，则( )
A. B. C. D.1
6．若向量在空间的一组基底下的坐标是,则在基底下的坐标是( )
A. B. C. D.
7．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是( )
A.、、
B.、、
C.、、
D.、、
8．正方体的棱长为2，若动点P在线段上运动，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若是空间的一个基底,则下列向量中可以和,构成空间一个基底的是( )
A. B. C. D.
10．如图,在正方体中,E,F分别是,的中点,G,H分别在线段,上,且满足,,设,,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
三、填空题
12．基底和基向量：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，把__________叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做__________，空间任意三个__________的向量都可以构成空间的一个基底.
13．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝__．
14．空间直角坐标系中点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量__________，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组__________，使__________，在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
15．已知球O是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，MN为球O的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是__________.
四、解答题
16．如果空间向量a，b，c不共面，且，求x，y，z的值.
17．如果，那么一定有，，吗？为什么？
18．（例题）如图所示平行六面体中，设，，，试用基底表示向量，，，.
19．如图,在四棱柱中,四边形是正方形,,,设,,.
（1）若底面,试用,,表示出空间的一个单位正交基底;（无需写出过程）
（2）若是的中点,且,求线段的长.
20．如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知，，，.
（1）求证：；
（2）若点M是线段AP上一点，且，求证：平面平面BMC.
参考答案
1．答案：D
解析：由于向量，，不能构成空间的一个基底知
，，共面，
所以O，A，B，C四点共面
故选：D
2．答案：A
解析：.
故选：A
3．答案：D
解析：因为a，b，c，不能构成空间的一个基底，所以a，b，c共面，设，其中x，.所以，
所以解得，故选D.
4．答案：B
解析：对于A，因为，
所以，，共面，
所以不能构成基底，
对于C，因为，
所以，，共面，
所以不能构成基底，C错误；
对于D，，
所以，，共面，
所以不能构成基底，D错误，
对于B，若，，共面，
则可设，
故，
故，，共面，与条件矛盾，
所以，，不共面，
即能构成基底，B正确；
故选：B.
5．答案：A
解析：设,则
,
故
故选：A
6．答案：C
解析：因为在基底下的坐标是,所以,
设在基底下的坐标为,
则,
因此,所以,
即,,,
即向量在基底下的坐标为.
故选：C.
7．答案：A
解析：对于A选项，假设、、共面，
则存在、使得，
所以，，无解，
所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底；
对于B选项，因为，
则、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底；
对于C，因为，
所以，、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底；
对于D，，
则、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底.
故选：A.
8．答案：A
解析：以D为原点，以，，
所在的直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
可得，，，
因为点P在线段上运动，
设，且，
所以，可得，
又因为，所以，即.
故选：A.
9．答案：CD
解析：对于A,,
,,共面,不能构成基底,A错误;
对于B,,
,,共面,不能构成基底,B错误;
对于C,设,则,无实数解,
所以,,不共面,构成基底,C正确;
对于D,设,则,无实数解,
所以,,不共面,构成基底,D正确.
故选:CD
10．答案：AD
解析：由已知可得,,,,.
对于A,,故A项正确;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C项错误;
对于D,,故D项正确.
故选:AD.
11．答案：ABD
解析：对于A：由于向量构成空间的一个基底，且满足，故A正确；
对于B：由于，故B正确；
对于C：由于，故C错误；
对于D：由于，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：；基向量；不共面
解析：
13．答案：
解析:平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BE，DF，
所以
．
由，
所以x=-1，y=1，z，
x+y+z=﹣1+1．
故答案为：．
14．答案：唯一确定；；；
解析：
15．答案：
解析：如图所示，设已知的正八面体为SABCDI，易知平面ABCD于球心O，且点O为正方形ABCD的中心.设球O与正四棱锥的侧面SBC相切于点F，E为BC的中点，连接OE，OF，则，，.由，得，即正八面体的内切球的半径为.所以.因为点P为正八面体表面上的任意一点，所以，所以，即的取值范围是.
16．答案：，，
解析：空间向量a，b，c不共面，且，
，，.
17．答案：不一定，理由见解析
解析：不一定，因为a，b，c可能共面.
18．答案：，，，
解析：因为是平行六面体，所以
.
类似地，有，
，
.
19．答案：（1）(答案不唯一);
（2）.
解析：（1）因为底面,四边形是正方形,,,
所以空间的一个单位正交基底为;
（2）因为,
由题意知,,,,
,
所以,
即,
所以.
20．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：（1）如图所示，以O为坐标原点，射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则，，，，
于是，，
所以，
所以，即.
（2）在中，，，所以.
因为，且点M在线段AP上，所以.
又，
所以，
则，
所以，即.
又，，平面BMC，
所以平面BMC，所以平面BMC.
又平面AMC，所以平面平面BMC.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)