1.4 空间向量的应用（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一同步练习

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1.4 空间向量的应用--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．若直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线l与平面所成的角为( )
A. B. C.或 D.或
2．若两条不重合的直线和的一个方向向量分别为，，则和的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定
3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．正四棱锥中,,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5．如图,平面平面,四边形为正方形,四边形为菱形,,则直线,所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
6．直线的方向向量为，直线的方向向量为.若，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．已知平面的方程为，直线l的方向向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知直线l的倾斜角为，则l的方向向量可能为( )
A. B. C. D.
10．已知平面过点，其法向量为，则下列点在平面内的有( )
A. B. C. D.
11．如图，在空间直角坐标系中，为单位正方体，则下列结论中正确的有( )
A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
三、填空题
12．点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，Q为P点在l上的射影，点P到直线l的距离为__________.
13．已知平面的一个法向量,直线l的方向向量,则直线l与平面所成角的正弦值为_________________.
14．如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足的是________.(填序号)
15．在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角余弦值为__________.
四、解答题
16．设，是空间直线l上的点，求直线l的一个方向向量.
17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E是PC的中点.用向量方法证明：
（1）；
（2）平面.
18．如图,在四棱锥中,三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形,,,,E为PD的中点.
（1）证明:平面PAB;
（2）若,求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值.
19．如图，在正三棱柱中，D是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知四棱锥如图所示，平面，，，.
(1)证明：平面；
(2)记平面平面，证明：；
(3)求二面角的大小.
参考答案
1．答案：A
解析：设直线l与平面所成的角为,则．
因为,所以．
故选：A.
2．答案：A
解析：因为，所以与共线，所以两条不重合的直线和的位置关系是平行.故选A.
3．答案：D
解析：设两平面的夹角为，
又平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
所以．
故选：D．
4．答案：C
解析：建立如图所示的空间直角坐标系.
有图知,
由题得、、、.
,,.
设平面的一个法向量,
则,,
令,得,,
.
设直线与平面所成的角为,则.
故选:C.
5．答案：C
解析：取的中点O,连接,
四边形为的菱形,所以,
由于平面平面,且两平面交线,,平面,
故平面,又四边形为正方形,故建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设正方形的边长为2,则,,,,
故,,
则,又
故,
故直线,所成角的正弦值,
故选:C
6．答案：B
解析：因为，所以，所以，解得.
7．答案：B
解析：根据题意，平面的一个法向量为，
设直线l与平面所成角为，
则，
故选：B.
8．答案：A
解析：以C为坐标原点，以，，所在直线分别为
x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，
如下图所示：设，
则，，，，
可得，
设直线与所成的角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
9．答案：AC
解析：由题意得l的斜率为
A中，对应的斜率为，故A正确；
B中，对应的斜率为，故B错误；
C中，对应的斜率为，故C正确；
D中，对应的斜率为，故D错误.
故选AC.
10．答案：ABD
解析：设平面内的点，
结合法向量的定义可得，
即，
A若，，则，故点为，故A正确；
B若，，则，故点为，故B正确；
C若，，则，故点为，故C错误；
D若，，则，故点为，故D正确；
故选：ABD.
11．答案：ABC
解析：因为，，所以A正确；
因为，，所以B正确；
因为直线平面，，所以C正确；
因为点的坐标为，与平面不垂直，所以D错误.
故选ABC.
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：设直线l与平面所成角为,
则,
即直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
14．答案：②③
解析：设正方体的棱长为2.
对于①，建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，则，
所以与不垂直，即MN与OP不垂直，所以①错误；
对于②，建立如图2所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
则，所
以，即，所以②正确；
对于③，建立如图3所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
则，
所以，即，所以③正确；
对于④，建立如图4所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
则，
所以与不垂直，即MN与OP不垂直，所以④错误.
故答案为②③.
15．答案：
解析：设正方体中棱长为3，
以D为原点，为x轴，为y轴，
为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设异面直线与所成角为，
则.
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
16．答案：（答案不唯一）
解析：根据题意得：
点和点是空间直线l上的点，
那么直线l的方向向量为，
故直线l的一个方向向量.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：（1）因为底面，
所以，所以.
又，所以.
又，所以，
所以.
（2）设.
因为，.所以.
又，所以，所以.
因为
，
所以，.
又，，平面，所以平面.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）取PA中点为F,连接EF,FB,则,
且,从而四边形为平行四边形.
则,又平面PAB,平面PAB,则平面PAB;
（2）如图取AD中点为O,连接OP,OB.
因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形,,
则,.因,,
则四边形为平行四边形,则,,结合,
则,,结合,则为等边三角形,
得.又,,则,故.
又,,AD,平面ADCB,则.
故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系.
则,,,,,,
因E为PD的中点,则.
从而,,.
设平面PBC法向量为,则,
取,设直线CE与平面PBC的夹角为,
则,从而.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接，与相交于点N，
连接，如下图：
因为四边形为矩形，故N为的中点.
又D为的中点，故，
又平面，平面，
所以平面
(2)取的中点M，
连接，则，
由于平面，故平面，
故以D为坐标原点，，，
所在直线分别为x，y，z，轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为，
所以，，
，
设平面的法向量为，
则，
解得，令
得，故，
又
设直线与平面所成的角为，
所以，
故直线与平面所成角正弦值为.
20．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，所以，
因为，平面，所以平面.
（2）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，所以.
（3）以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，
故，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
所以即
令，则，，所以，
设平面的法向量为，
所以即
令，则，，所以，
设二面角的大小为，则，
易知二面角为钝角，所以二面角的大小为.
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