3.1椭圆(含解析)--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一同步练习

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名称 3.1椭圆(含解析)--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一同步练习
格式 doc
文件大小 1.4MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-09-19 14:12:15

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3.1椭圆--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1.椭圆的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.若方程表示椭圆,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3.已知P是椭圆上一点,分别是椭圆的左 右焦点 若的周长为6,且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知圆,点,动点C为圆B上任意一点,则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
5.已知点,是椭圆的左、右焦点,若过焦点的直线交椭圆C于A,B两点,则的周长为( )
A.6 B.4 C. D.8
6.椭圆的焦距为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
7.椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,且C,F是线段的三等分点,则该椭圆的标准方程是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值可以是( )
A.2 B.1 C.0.5 D.0.3
10.设椭圆的右焦点为F,直线与椭圆交于A,B两点,则( )
A.为定值
B.的周长的取值范围是
C.当时,为直角三角形
D.当时,的面积为
11.下列说法中正确的是( )
A.已知,,平面内到,两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B.已知,,平面内到,两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点,距离相等的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点,两点的距离之和等于点到,的距离之和的点的轨迹是椭圆
三、填空题
12.已知椭圆的焦距是8,椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16,则椭圆的标准方程是_________.
13.已知P为椭圆上的任意一点,P到焦点的距离的最大值为,最小值为,则的取值范围是________.
14.已知椭圆,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则_________.
15.椭圆C:的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为________.
四、解答题
16.(例题)已知椭圆C的焦点为,,短轴的一个端点为B,且是一个等边三角形,求椭圆C的离心率.
17.(例题)已知直线与椭圆,分别求直线l与椭圆C有两个公共点,只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围.
18.如图,A,B是平面上的两点,且,图中的一系列圆是圆心分别为A,B的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,….在两组同心圆的交点中,找出与A,B两点的距离之和等于14的点,并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来,观察所得曲线的形状.
19.已知椭圆的两个焦点,,过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆相交于M,N两点,如果的周长等于12,求这个椭圆的标准方程.
20.如图,已知椭圆,是长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且,.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设P,Q为椭圆上异于A,B,C且不重合的两点,若的平分线总是垂直于x轴,则是否存在实数,使得?若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.答案:D
解析:可化为.因为,所以,所以焦点在y轴上,,所以焦点坐标为.
2.答案:C
解析:因为方程表示椭圆,
所以且与不相等,
所以.
故选:C.
3.答案:A
解析:由题意可知:,解得,
所以椭圆的离心率.
故选:A.
4.答案:C
解析:由题意得,则,
故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,
其中,,,
点P的轨迹方程是,故选C.
5.答案:D
解析:根据椭圆方程可得,则,
由椭圆的定义得,,
,所以的周长为.
故选:D.
6.答案:B
解析:由题意得,,故,
∴椭圆的焦距为2.
故选:B.
7.答案:C
解析:由题设,椭圆参数,,则离心率.
故选:C.
8.答案:B
解析:不妨设点A在第一象限,如图,
由题意得C为的中点,F为的中点,
所以,所以,则(负值舍去),即,所以,则,
将点B的坐标代入椭圆方程得,即,
又,所以,,
所以椭圆的标准方程是.故选B.
9.答案:CD
解析:方程,即
表示焦点在y轴上的椭圆,,
故,故选CD
10.答案:ACD
解析:设椭圆的左焦点为,则
所以为定值,A正确;
的周长为,因为为定值6,
所以的范围是,所以的周长的范围是,B错误;
将与椭圆方程联立,可解得,
又因为,
所以为直角三角形,C正确;
将与椭圆方程联立,解得,,所以,D正确.
故选:ACD
11.答案:AD
解析:待求轨迹的点记为P,
A:因为,所以P的轨迹是线段,故正确;
B:因为,此时P的轨迹不存在,故错误;
C:因为,所以的轨迹是线段的垂直平分线,故错误;
D:因为,所以,
所以P的轨迹是以,为焦点的椭圆,故正确;
故选:AD.
12.答案:或
解析:由题设,,
则,,而,
所以椭圆的标准方程是或.
故答案为:或
13.答案:
解析:因为点P到椭圆焦点的距离的最大值为,最小值为,
所以,解得
所以,
所以,
当且仅当时,等号成立.
所以的取值范围是.
14.答案:12
解析:设M,N的中点坐标为P,
,,,,
则,
,,,;
由于,
化简可得,
根据椭圆的定义,
所以12.
15.答案:
解析:由题可得,设,
则,
又,
则,.
则.
故答案为:
16.答案:
解析:因为,,
所以依据题意可知,
从而有.
17.答案:当时,有两个公共点;当时,有且只有一个公共点;当或时,没有公共点
解析:联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组
消去y,整理得,①
因为①的判别式为

所以:
当即时,方程①有两个不同的实数解,此时原方程组的实数解集中有两个元素,直线l与椭圆C有两个公共点;
当即时,方程①有两个相等的实数解,此时原方程组的实数解集中只有一个元素,直线l与椭圆C有且只有一个公共点;
当即或时,方程①无实数解,此时原方程组的实数解集为空集,直线l与椭圆C没有公共点.
18.答案:椭圆
解析:,,,,
,,是椭圆.
19.答案:
解析:,,
,,为所求.
20.答案:(1)
(2)存在,
解析:(1)因为,
所以,即.
又,即,
所以,所以是等腰直角三角形.
因为,所以.
又点C在椭圆上,,所以,所以,
所以所求椭圆的标准方程为.
(2)存在.理由如下:
因为对于椭圆上两点P,Q,的平分线总是垂直于x轴,
所以PC与CQ所在直线关于直线对称.
设,且,则,
则直线PC的方程为,即,①
直线CQ的方程为,即,②
将①代入,得.③
因为在椭圆上,所以是方程③的一个根,所以,
以替换k,得.

.
由椭圆的对称性及,得,
所以,所以,所以,
所以存在实数,使得.


当且仅当,即,时等号成立,经检验,满足.
又,所以.
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