3.1椭圆（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一同步练习
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 14:12:15 | ||
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文档简介
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3.1椭圆--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．椭圆的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2．若方程表示椭圆,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3．已知P是椭圆上一点，分别是椭圆的左 右焦点 若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
4．已知圆，点，动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
5．已知点，是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆C于A，B两点，则的周长为( )
A.6 B.4 C. D.8
6．椭圆的焦距为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
7．椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8．已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，且C，F是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是( )
A.2 B.1 C.0.5 D.0.3
10．设椭圆的右焦点为F,直线与椭圆交于A,B两点,则( )
A.为定值
B.的周长的取值范围是
C.当时,为直角三角形
D.当时,的面积为
11．下列说法中正确的是( )
A.已知,,平面内到,两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B.已知,,平面内到,两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点,距离相等的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点,两点的距离之和等于点到,的距离之和的点的轨迹是椭圆
三、填空题
12．已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是_________.
13．已知P为椭圆上的任意一点，P到焦点的距离的最大值为，最小值为，则的取值范围是________.
14．已知椭圆，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则_________.
15．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为________.
四、解答题
16．（例题）已知椭圆C的焦点为，，短轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求椭圆C的离心率.
17．（例题）已知直线与椭圆，分别求直线l与椭圆C有两个公共点，只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围.
18．如图，A，B是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为A，B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，….在两组同心圆的交点中，找出与A，B两点的距离之和等于14的点，并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来，观察所得曲线的形状.
19．已知椭圆的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆相交于M，N两点，如果的周长等于12，求这个椭圆的标准方程.
20．如图，已知椭圆，是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且，.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设P，Q为椭圆上异于A，B，C且不重合的两点，若的平分线总是垂直于x轴，则是否存在实数，使得？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：可化为.因为，所以，所以焦点在y轴上，，所以焦点坐标为.
2．答案：C
解析：因为方程表示椭圆,
所以且与不相等,
所以.
故选:C.
3．答案：A
解析:由题意可知：，解得，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
4．答案：C
解析：由题意得，则，
故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
其中，，，
点P的轨迹方程是，故选C.
5．答案：D
解析：根据椭圆方程可得，则，
由椭圆的定义得，，
，所以的周长为.
故选：D.
6．答案：B
解析:由题意得，，故，
∴椭圆的焦距为2.
故选：B.
7．答案：C
解析：由题设,椭圆参数,,则离心率.
故选：C.
8．答案：B
解析：不妨设点A在第一象限，如图，
由题意得C为的中点，F为的中点，
所以，所以，则（负值舍去），即，所以，则，
将点B的坐标代入椭圆方程得，即，
又，所以，，
所以椭圆的标准方程是.故选B.
9．答案：CD
解析：方程，即
表示焦点在y轴上的椭圆，，
故，故选CD
10．答案：ACD
解析:设椭圆的左焦点为,则
所以为定值,A正确;
的周长为,因为为定值6,
所以的范围是,所以的周长的范围是,B错误;
将与椭圆方程联立,可解得,
又因为,
所以为直角三角形,C正确;
将与椭圆方程联立,解得,,所以,D正确.
故选:ACD
11．答案：AD
解析：待求轨迹的点记为P,
A：因为,所以P的轨迹是线段,故正确;
B：因为,此时P的轨迹不存在,故错误;
C：因为,所以的轨迹是线段的垂直平分线,故错误;
D：因为,所以,
所以P的轨迹是以,为焦点的椭圆,故正确;
故选：AD.
12．答案：或
解析：由题设，，
则，，而，
所以椭圆的标准方程是或.
故答案为：或
13．答案：
解析：因为点P到椭圆焦点的距离的最大值为，最小值为，
所以，解得
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的取值范围是.
14．答案：12
解析：设M,N的中点坐标为P，
，，，，
则，
，，，；
由于，
化简可得，
根据椭圆的定义，
所以12.
15．答案：
解析：由题可得，设，
则，
又，
则，.
则.
故答案为：
16．答案：
解析：因为，，
所以依据题意可知，
从而有.
17．答案：当时，有两个公共点；当时，有且只有一个公共点；当或时，没有公共点
解析：联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组
消去y，整理得，①
因为①的判别式为
，
所以：
当即时，方程①有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线l与椭圆C有两个公共点；
当即时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程组的实数解集中只有一个元素，直线l与椭圆C有且只有一个公共点；
当即或时，方程①无实数解，此时原方程组的实数解集为空集，直线l与椭圆C没有公共点.
18．答案：椭圆
解析：，，，，
，，是椭圆.
19．答案：
解析：，，
，，为所求.
20．答案：（1）
（2）存在，
解析：（1）因为，
所以，即.
又，即，
所以，所以是等腰直角三角形.
因为，所以.
又点C在椭圆上，，所以，所以，
所以所求椭圆的标准方程为.
（2）存在.理由如下：
因为对于椭圆上两点P，Q，的平分线总是垂直于x轴，
所以PC与CQ所在直线关于直线对称.
设，且，则，
则直线PC的方程为，即，①
直线CQ的方程为，即，②
将①代入，得.③
因为在椭圆上，所以是方程③的一个根，所以，
以替换k，得.
则
.
由椭圆的对称性及，得，
所以，所以，所以，
所以存在实数，使得.
又
，
当且仅当，即，时等号成立，经检验，满足.
又，所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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3.1椭圆--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．椭圆的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2．若方程表示椭圆,则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3．已知P是椭圆上一点，分别是椭圆的左 右焦点 若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
4．已知圆，点，动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
5．已知点，是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆C于A，B两点，则的周长为( )
A.6 B.4 C. D.8
6．椭圆的焦距为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
7．椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8．已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，且C，F是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是( )
A.2 B.1 C.0.5 D.0.3
10．设椭圆的右焦点为F,直线与椭圆交于A,B两点,则( )
A.为定值
B.的周长的取值范围是
C.当时,为直角三角形
D.当时,的面积为
11．下列说法中正确的是( )
A.已知,,平面内到,两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B.已知,,平面内到,两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点,距离相等的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点,两点的距离之和等于点到,的距离之和的点的轨迹是椭圆
三、填空题
12．已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是_________.
13．已知P为椭圆上的任意一点，P到焦点的距离的最大值为，最小值为，则的取值范围是________.
14．已知椭圆，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则_________.
15．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为________.
四、解答题
16．（例题）已知椭圆C的焦点为，，短轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求椭圆C的离心率.
17．（例题）已知直线与椭圆，分别求直线l与椭圆C有两个公共点，只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围.
18．如图，A，B是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为A，B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，….在两组同心圆的交点中，找出与A，B两点的距离之和等于14的点，并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来，观察所得曲线的形状.
19．已知椭圆的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆相交于M，N两点，如果的周长等于12，求这个椭圆的标准方程.
20．如图，已知椭圆，是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且，.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设P，Q为椭圆上异于A，B，C且不重合的两点，若的平分线总是垂直于x轴，则是否存在实数，使得？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：可化为.因为，所以，所以焦点在y轴上，，所以焦点坐标为.
2．答案：C
解析：因为方程表示椭圆,
所以且与不相等,
所以.
故选:C.
3．答案：A
解析:由题意可知：，解得，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
4．答案：C
解析：由题意得，则，
故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
其中，，，
点P的轨迹方程是，故选C.
5．答案：D
解析：根据椭圆方程可得，则，
由椭圆的定义得，，
，所以的周长为.
故选：D.
6．答案：B
解析:由题意得，，故，
∴椭圆的焦距为2.
故选：B.
7．答案：C
解析：由题设,椭圆参数,,则离心率.
故选：C.
8．答案：B
解析：不妨设点A在第一象限，如图，
由题意得C为的中点，F为的中点，
所以，所以，则（负值舍去），即，所以，则，
将点B的坐标代入椭圆方程得，即，
又，所以，，
所以椭圆的标准方程是.故选B.
9．答案：CD
解析：方程，即
表示焦点在y轴上的椭圆，，
故，故选CD
10．答案：ACD
解析:设椭圆的左焦点为,则
所以为定值,A正确;
的周长为,因为为定值6,
所以的范围是,所以的周长的范围是,B错误;
将与椭圆方程联立,可解得,
又因为,
所以为直角三角形,C正确;
将与椭圆方程联立,解得,,所以,D正确.
故选:ACD
11．答案：AD
解析：待求轨迹的点记为P,
A：因为,所以P的轨迹是线段,故正确;
B：因为,此时P的轨迹不存在,故错误;
C：因为,所以的轨迹是线段的垂直平分线,故错误;
D：因为,所以,
所以P的轨迹是以,为焦点的椭圆,故正确;
故选：AD.
12．答案：或
解析：由题设，，
则，，而，
所以椭圆的标准方程是或.
故答案为：或
13．答案：
解析：因为点P到椭圆焦点的距离的最大值为，最小值为，
所以，解得
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的取值范围是.
14．答案：12
解析：设M,N的中点坐标为P，
，，，，
则，
，，，；
由于，
化简可得，
根据椭圆的定义，
所以12.
15．答案：
解析：由题可得，设，
则，
又，
则，.
则.
故答案为：
16．答案：
解析：因为，，
所以依据题意可知，
从而有.
17．答案：当时，有两个公共点；当时，有且只有一个公共点；当或时，没有公共点
解析：联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组
消去y，整理得，①
因为①的判别式为
，
所以：
当即时，方程①有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线l与椭圆C有两个公共点；
当即时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程组的实数解集中只有一个元素，直线l与椭圆C有且只有一个公共点；
当即或时，方程①无实数解，此时原方程组的实数解集为空集，直线l与椭圆C没有公共点.
18．答案：椭圆
解析：，，，，
，，是椭圆.
19．答案：
解析：，，
，，为所求.
20．答案：（1）
（2）存在，
解析：（1）因为，
所以，即.
又，即，
所以，所以是等腰直角三角形.
因为，所以.
又点C在椭圆上，，所以，所以，
所以所求椭圆的标准方程为.
（2）存在.理由如下：
因为对于椭圆上两点P，Q，的平分线总是垂直于x轴，
所以PC与CQ所在直线关于直线对称.
设，且，则，
则直线PC的方程为，即，①
直线CQ的方程为，即，②
将①代入，得.③
因为在椭圆上，所以是方程③的一个根，所以，
以替换k，得.
则
.
由椭圆的对称性及，得，
所以，所以，所以，
所以存在实数，使得.
又
，
当且仅当，即，时等号成立，经检验，满足.
又，所以.
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