3.2双曲线（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一同步练习

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3.2双曲线--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．已知直线是双曲线的一条渐近线，则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
2．已知,,,则动点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支
3．过双曲线的右焦点有一条弦PQ，，是双曲线的左焦点，那么的周长为( )
A.28 B. C. D.
4．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则C的离心率为( )
A.3 B.2 C. D.
5．已知向量,,,当与垂直时,点的轨迹为( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
6．已知双曲线的左、右焦点分别为,,C的一条渐近线与直线交于点M,若的面积为,则C的离心率为( )
A. B. C.4 D.2
7．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与渐近线平行的直线与C相交于点M（M在第一象限），若，则双曲线C的离心率e为( )
A. B. C. D.3
二、多项选择题
9．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A.若C为椭圆，则 B.若C为双曲线，则或
C.曲线C可能是圆 D.若C为双曲线，则焦距为定值
10．已知曲线,直线,则( )
A.曲线C关于y轴对称
B.存在实数k,使得直线l与曲线C没有公共点
C.若直线l与曲线C有且只有一个公共点,则实数的取值范围是
D.若直线l与曲线C交于A,B两点,且（其中O为坐标原点）,则实数k的取值范围是
11．已知双曲线,则其离心率可能为( )
A.2 B. C. D.
三、填空题
12．若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则______．
13．已知双曲线的焦距为6，则m的值为________.
14．若焦点在y轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，则的离心率为____.
15．已知双曲线（，）的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点，且.若，则双曲线的离心率是___________.
四、解答题
16．写出，的双曲线的标准方程.
17．求半实轴长为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的标准方程.
18．已知双曲线（，）的左焦点为，直线.设P是双曲线上的一点，求P到F的距离与P到直线l的距离之比.
19．已知P是双曲线上一点，，求的最小值.
20．已知双曲线的焦距为,右顶点为A,点在双曲线C的渐近线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点B作斜率为k的直线l与双曲线C交于M,N两点,若的面积为,求实数k的值．
参考答案
1．答案：B
解析：因为直线是双曲线的渐近线，
所以，所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：且 , 动点P的轨迹为双曲线的右边一支
故选：D.
3．答案：C
解析：方程可化为，，.
根据双曲线的定义，得，，
，
，，
的周长，故选C.
4．答案：D
解析:因为双曲线的渐近线方程为，
由两条渐近线的夹角为，且，
所以，
所以双曲线C的离心率.
故选：D.
5．答案：C
解析：由题,,当与垂直时,,
,
化简得,点的轨迹为椭圆,
故选：C．
6．答案：D
解析：不妨取C的渐近线,与联立,得点M的坐标为,
由,所以,故离心率为.
故选:D
7．答案：B
解析：由双曲线，
则，，焦点在y轴上，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
8．答案：B
解析：由题意可作图如下：
易知，
，则，
在中，，，
整理可得，解得，所以.
故选：B.
9．答案：BC
解析：若C为椭圆，则，且，故且，所以选项A错误；
若C为双曲线，则，故或，所以选项B正确；
若C为圆，则，故，所以选项C正确；
若C为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：对于A:若满足曲线时,
点也满足曲线C的方程,故曲线C关于y轴对称,故A正确;
对于B:时,曲线,
时,曲线,图象如图所示;
直线过定点,
由图可知,对任意,直线l与曲线C恒有公共点,故B错误;
对于C:当时,直线l与双曲线的渐近线平行,
结合图象可知,直线l与曲线C有且只有一个公共点时,
,故C正确;
对于D:由图可知,直线l与曲线C的交点在双曲线上,
代入,得,
结合图象可知,当时,直线l与曲线C有两个公共点,
设两个交点,,
所以,且,
,,
所以,
所以,
即,解得,
所以,或,
所以,故正确;
故选:ACD.
11．答案：BD
解析：当时,原方程化为,
此时,,,
由,可得;
当时,原方程化为,
此时,,,
,可得
其离心率可能为或
故选：BD.
12．答案：
解析：由题意设，，
当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，
则.
故答案为：.
13．答案：8
解析：由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，
则，，，
所以，，解得.
故答案为：8.
14．答案：
解析:双曲线的渐近线方程为，
设双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为，
依题意可得，
所以的离心率.
故答案为：
15．答案：
解析：结合题意作出大致图象如图所示.
由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为.由解得所以.因为，所以，即，得所以.将代入双曲线方程，可得，结合离心率得.因为，所以.
16．答案：或
解析：因为，，
当焦点在x轴上时，双曲线方程为；
当焦点在y轴上时，双曲线的方程为；
综上所求双曲线方程为或.
17．答案：
解析：，.
双曲线的焦点为，
，，双曲线标准方程：.
18．答案：
解析：易知，设，
.
19．答案：
解析：设.
，
或，
当时，.
20．答案：(1)
(2)或或
解析：(1)设双曲线的半焦距为c,
由题意可知,①
又因为在双曲线C的渐近线上,所以,②
由方程①和②解得,,
所以双曲线C的方程为．
(2)由题意可设直线l的方程为,
联立方程可得①,
所以,
且方程①的判别式,
得且．
设直线l与双曲线C交于,两点,有
则
,
所以,即,
解得或或,
所以实数或或．
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