3.3抛物线（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一同步练习
文档属性
| 名称 | 3.3抛物线（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 981.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 14:12:15 | ||
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文档简介
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3.3抛物线--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2．已知平面直角坐标系中，动点M到的距离与点M到x轴的距离的差为2，则M的轨迹方程是( )
A.或 B.或
C.或 D.或
3．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为( )
A. B. C. D.
4．抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
5．抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
6．已知抛物线的焦点为,则p的值为( )
A. B. C.1 D.2
7．已知抛物线的焦点为F,准线为l,与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A,B两点,且,则( )
A. B. C.6 D.4
8．已知是抛物线上任意一点,,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列四个命题中，假命题的是( )
A.要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点
B.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点
C.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点
D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率
10．顶点在原点,且过点的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
11．抛物线的焦点为F,点P在C上,若.则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．曲线的焦点坐标为______.
13．已知抛物线（）上一点M到其焦点F的距离与到x轴的距离之差为2，则______.
14．已知抛物线的准线为l,点P在C上,直线,点P到直线的距离与到直线l的距离之和的最小值是_____________.
15．若抛物线的准线与直线的距离为3，则抛物线的方程为___________.
四、解答题
16．已知抛物线上的一点M的纵坐标为1，求点M到焦点的距离.
17．（例题）已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程.
18．已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，求线段AB的中点到y轴的距离.
19．已知动点P到点的距离与它到直线的距离相等，求点P的轨迹方程.
20．过点作抛物线的弦,弦恰被点P平分.
(1)求弦所在直线的方程；
(2)求弦的长度.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线方程可化为，因此，抛物线开口向上，焦点坐标为.故选C.
2．答案：C
解析：设，依题意得，
动点M到的距离比点M到x轴的距离的大2，
则，即，
所以M的轨迹方程是或，
故选：C
3．答案：D
解析：由题可知:焦点,准线方程为,假设等边三角形的边长为a,
所以或,
则.
故选:D
4．答案：B
解析：由得，所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离为1，
故选：B.
5．答案：A
解析：,即,则,则其焦点坐标为.
故选：A.
6．答案：C
解析：根据抛物线的标准方程可得焦点坐标为,
即,可得.
故选：C.
7．答案：D
解析：由抛物线定义可知,
因为,所以为等边三角形,
故,,
所以,
其中准线l与y轴交点为P,则,故,
所以.
故选:D.
8．答案：D
解析：易知,抛物线的焦点为,准线为,
作,垂足为C,
由抛物线定义可知,,
则由图可知,的最小值为点B到准线l的距离,即.
故选:D
9．答案：CD
解析：A：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由抛物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A正确；
B：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B选项正确；
C：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C选项不正确；
D：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D选项不正确.
故选：CD.
10．答案：AC
解析：因为点在第二象限,所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况,
若抛物线开口向左,设抛物线方程为,代入抛物线方程,
有,解得,所以抛物线方程为,所以A正确;
若抛物线开口向上,设抛物线方程为,代入抛物线方程,
有,解得,所以抛物线方程为,所以C正确.
故选:AC
11．答案：AB
解析：依题意,抛物线的焦点为,
准线方程为,
由于,根据抛物线的定义可知,
则,,
所以P的坐标为、.
故选:AB
12．答案：
解析：由题意得,则,变形得,则焦点坐标.
故答案为:.
13．答案：4
解析：由抛物线的定义得：
抛物线E上的点M到其焦点F的距离等于点M到准线的距离，
则，.
故答案为：4
14．答案：3
解析：由题意,抛物线的焦点为,
由抛物线的定义知,点P到直线l的距离等于点到点F的距离,
因此点P到直线的距离与到直线l的距离之和的最小值,
即为点到直线的距离,即为.
故答案为:3.
15．答案：或
解析：当时，准线的方程为，故，所以，此时抛物线的方程为；当时，准线的方程为，故，所以，此时抛物线的方程为.所以所求抛物线的方程为或.
16．答案：
解析：的焦点为，准线方程为，
到焦点的距离.
17．答案：或
解析：当直线l的斜率不存在时，由直线l过点可知，直线l就是y轴，其方程为.
由消去未知数x得.
这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线与抛物线C相切.
如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为.
由方程组消去x，整理得.
为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有且，
因此可解得.
此时直线l的方程为，即.
综上可知，直线l的方程为或.
18．答案：
解析：，准线方程为，设，，
，，
线段AB中点的横坐标为，
线段AB的中点到y轴的距离为.
19．答案：
解析：由抛物线的定义知点P的轨迹是以为焦点的抛物线，
其开口方向向右，且，解得，所以其方程为.
20．答案：(1)；
(2)．
解析：(1)点P在抛物线内部,过P点的所有斜率不为0的直线都与抛物线相交,
又P是中点,直线斜率存在,
设,,则,
则,相减得,
所以,
所以直线方程为,即；
(2)由,得,
则,,
所以．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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3.3抛物线--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2．已知平面直角坐标系中，动点M到的距离与点M到x轴的距离的差为2，则M的轨迹方程是( )
A.或 B.或
C.或 D.或
3．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为( )
A. B. C. D.
4．抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
5．抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
6．已知抛物线的焦点为,则p的值为( )
A. B. C.1 D.2
7．已知抛物线的焦点为F,准线为l,与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A,B两点,且,则( )
A. B. C.6 D.4
8．已知是抛物线上任意一点,,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列四个命题中，假命题的是( )
A.要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点
B.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点
C.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点
D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率
10．顶点在原点,且过点的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
11．抛物线的焦点为F,点P在C上,若.则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．曲线的焦点坐标为______.
13．已知抛物线（）上一点M到其焦点F的距离与到x轴的距离之差为2，则______.
14．已知抛物线的准线为l,点P在C上,直线,点P到直线的距离与到直线l的距离之和的最小值是_____________.
15．若抛物线的准线与直线的距离为3，则抛物线的方程为___________.
四、解答题
16．已知抛物线上的一点M的纵坐标为1，求点M到焦点的距离.
17．（例题）已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程.
18．已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，求线段AB的中点到y轴的距离.
19．已知动点P到点的距离与它到直线的距离相等，求点P的轨迹方程.
20．过点作抛物线的弦,弦恰被点P平分.
(1)求弦所在直线的方程；
(2)求弦的长度.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线方程可化为，因此，抛物线开口向上，焦点坐标为.故选C.
2．答案：C
解析：设，依题意得，
动点M到的距离比点M到x轴的距离的大2，
则，即，
所以M的轨迹方程是或，
故选：C
3．答案：D
解析：由题可知:焦点,准线方程为,假设等边三角形的边长为a,
所以或,
则.
故选:D
4．答案：B
解析：由得，所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离为1，
故选：B.
5．答案：A
解析：,即,则,则其焦点坐标为.
故选：A.
6．答案：C
解析：根据抛物线的标准方程可得焦点坐标为,
即,可得.
故选：C.
7．答案：D
解析：由抛物线定义可知,
因为,所以为等边三角形,
故,,
所以,
其中准线l与y轴交点为P,则,故,
所以.
故选:D.
8．答案：D
解析：易知,抛物线的焦点为,准线为,
作,垂足为C,
由抛物线定义可知,,
则由图可知,的最小值为点B到准线l的距离,即.
故选:D
9．答案：CD
解析：A：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由抛物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A正确；
B：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B选项正确；
C：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C选项不正确；
D：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D选项不正确.
故选：CD.
10．答案：AC
解析：因为点在第二象限,所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况,
若抛物线开口向左,设抛物线方程为,代入抛物线方程,
有,解得,所以抛物线方程为,所以A正确;
若抛物线开口向上,设抛物线方程为,代入抛物线方程,
有,解得,所以抛物线方程为,所以C正确.
故选:AC
11．答案：AB
解析：依题意,抛物线的焦点为,
准线方程为,
由于,根据抛物线的定义可知,
则,,
所以P的坐标为、.
故选:AB
12．答案：
解析：由题意得,则,变形得,则焦点坐标.
故答案为:.
13．答案：4
解析：由抛物线的定义得：
抛物线E上的点M到其焦点F的距离等于点M到准线的距离，
则，.
故答案为：4
14．答案：3
解析：由题意,抛物线的焦点为,
由抛物线的定义知,点P到直线l的距离等于点到点F的距离,
因此点P到直线的距离与到直线l的距离之和的最小值,
即为点到直线的距离,即为.
故答案为:3.
15．答案：或
解析：当时，准线的方程为，故，所以，此时抛物线的方程为；当时，准线的方程为，故，所以，此时抛物线的方程为.所以所求抛物线的方程为或.
16．答案：
解析：的焦点为，准线方程为，
到焦点的距离.
17．答案：或
解析：当直线l的斜率不存在时，由直线l过点可知，直线l就是y轴，其方程为.
由消去未知数x得.
这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线与抛物线C相切.
如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为.
由方程组消去x，整理得.
为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有且，
因此可解得.
此时直线l的方程为，即.
综上可知，直线l的方程为或.
18．答案：
解析：，准线方程为，设，，
，，
线段AB中点的横坐标为，
线段AB的中点到y轴的距离为.
19．答案：
解析：由抛物线的定义知点P的轨迹是以为焦点的抛物线，
其开口方向向右，且，解得，所以其方程为.
20．答案：(1)；
(2)．
解析：(1)点P在抛物线内部,过P点的所有斜率不为0的直线都与抛物线相交,
又P是中点,直线斜率存在,
设,,则,
则,相减得,
所以,
所以直线方程为,即；
(2)由,得,
则,,
所以．
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