1.6 有理数的加法 2025-2026学年数学华东师大版（2024）七年级上册

1.6 有理数的加法
1.6.1 有理数的加法法则
1. 理解有理数加法的意义，初步掌握有理数加法法则， 并能准确地进行有理数的加法运算.
2. 能运用有理数的加法解决实际问题.
小明在一条东西向的跑道上，先走了20 m，又走了30 m，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？
小明最后的位置与行走方向有关，不妨规定向东为正，向西为负.

这个行走方向已知吗？会有哪些可能呢？
情景导入
（1）若两次都是向东走
0
10
20
30
40
50
20
30
50
（+20）+（+30）=+50
东
西
小明位于原来位置的东边50 m处
情景导入
（2）若两次都是向西走
-10
0
-20
-30
-40
-50
20
30
50
（-20）+（-30）=-50
东
西
小明位于原来位置的西边50 m处
情景导入
（3）若第一次向东走20 m，第二次向西走30 m
东
-10
10
30
20
-20
0
20
30
10
（+20）+（-30）=-10
西
小明位于原来位置的西边10 m处
情景导入
（4）若第一次向西走20 m，第二次向东走30 m
东
-10
10
30
20
-20
0
20
30
10
（-20）+（+30）=+10
西
小明位于原来位置的东边10 m处
情景导入
(3)(4)两种情形中两个加数的正负号不同（通常可称为异号），让我们再试几次（下列算式中各个加数的正负号和绝对值仍分别表示运动的方向和路程）：
(+4) +(-3)=( )， (+3) + (-10)=( )，
(-5) +(+7)=( )， (-6) +2 =( ).
+1
-7
+2
-4
情景导入
还有两种特殊情形：
（5）若第一次向西走了30 m，第二次向东走了30 m，写成算式是
（-30）+（+30）=（ ）.
（6）若第一次向西走了30 m，第二次没走，写成算式是
（-30）+0=（ ）.
0
-30
情景导入
从（1）~（6）所写出的算式中，你能总结出一些规律吗？
思考
知识点1：有理数的加法法则
1.同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负 号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3.互为相反数的两个数相加得0；
4.一个数与0相加，仍得这个数.
例1　计算：
（1）（+2）+（-11）； （2）（-12）+（+12）；
（3）（-12）+（-23）； （4）（-3.4）+4.3.
?
绝对值不相等的异号两数相加
互为相反数的两数相加
同号两数相加
绝对值不相等的异号两数相加
解：(1) (+2) + (-11) ＝ -(11 - 2)＝-9.
(2) (-12) + (+12) ＝0.
(4) (-3.4) + 4.3 ＝ +(4.3 - 3.4) ＝ 0.9.
有理数的加法法则，还可以帮助我们进一步理解相反数的意义，它告诉我们：
两个数互为相反数的特征是这两个数的和为0.
a、b互为相反数
a+b=0
知识归纳
1.比-3大8的数是（　　）
A.-15 B.-8 C.5 D.8
C
(1) (－0.6)＋(－2.7)= ； ?
(2) 3.7＋(－8.4)= ；?
(3) 0＋(－5.8)= .
2. 填空：
－3.3
－4.7
－5.8
知识点2 有理数加法的实际应用
例2 足球循环赛中，红队胜黄队4:1，黄队胜蓝队1:0，蓝队胜红队1:0，计算各队的净胜球数.
分析：
红队
黄队
蓝队
净胜球
红队
4:1
0:1
2
黄队
1:4
1:0
－2
蓝队
1:0
0:1
0
你能解释这些比分的含义吗？
解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数.
三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为
（＋4）＋（－2）＝＋（4－2）＝2；
黄队共进2球，失4球，净胜球数为
（＋2）＋（－4）＝－（4－2）＝－2；
蓝队共进1球，失1球，净胜球数为
（＋1）＋（－1）＝ 0.
3.A为数轴上表示－5的点，将点A沿数轴向右移动6个单位长度后到
点B，则点B所表示的数为(　　)
A．－3 B．3 C．1 D．1或－3
C
4.某公交车上原有10个人，经过三个站点时乘客上下车的情况如下（上车为正，下车为负）：（+2，-3），（+8，-5），（+1，-6），则此时车上的人数为_______.
7
有理数加法法则：
确定类型
定符号
绝对值
同号
与加数相同的正负号
相加
异号(绝对值不相等)
取绝对值较大的加数的正负号
相减
异号(互为相反数)
结果是0
与0相加
仍得这个数
1.6.2 有理数加法的运算律
1. 能叙述有理数加法的运算律.
2. 会运用加法交换律、结合律进行有理数加法简便运算.
3. 掌握加法交换律、结合律在实际运算中的运用.
在小学里我们知道，数的加法满足交换律，例如
5+3. 5 =3. 5+5；
还满足结合律，例如
(5+3.5) +2.5 = 5 + (3.5 +2.5).
引进了负数以后，这些运算律是否还成立呢？也就是说，上面两个等式中，将5、3.5和2. 5换成任意的有理数，是否仍然成立呢？
试一试：
(1) 任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分
别填入下列□和〇内，并比较两个运算结果：
□+〇和〇+□；
(2) 任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分
别填入下列□、〇和 内，并比较两个运算结果：
（□+〇）+ 和□+（〇+ ）.
你能发现什么？

有理数的加法仍满足交换律和结合律.
加法交换律:两个数相加，交换加数的位置，和不变.
a+b=b+a.
加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者
先把后两个数相加，和不变.
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
使用方法：
把具有以下特征的数交换、结合相加：
(1)互为相反数的两个数；
(2)符号相同的数；
(3)相加能得到整数的数；
(4)分母相同的数；
(5)易于通分的数．
有理数的加法运算律
易错点：
(1)根据加数的特点，灵活选择运算律，注意不要
漏项．
(2)移动加数位置时，一定要连同数的符号一起移动．
解：(1)( +26) + (-18) + 5 + (-16)
= (26 +5) + [(-18) + (-16)]
=31 + (-34) =-(34 -31)
=-3.
这样的“交换”、“结合”给计算带来了什么方便？
例1 计算：
(1)( + 26) + (-18) +5 + (-16);
(2)(-1.75) +1.5 + (+7.3) +(-2.25) +(-8.5).
(2) (-1.75) + 1.5 + ( + 7.3) + (-2.25) + (-8.5)
=[(-1.75) +(-2.25)] +[1.5+ (-8.5)] +7.3
=(-4) + (-7) +7.3
= (-4) + [(-7) +7.3]
=(-4) +0.3 =-3.7
＝0＋(－1)
＝－1

如果加数中有互为相反数的两个数或几个数的和为0的数可以分别结合进行运算，简称相反数结合法.
在有理数的加法运算中，先将所有的正数结合在一起，所有的负数结合在一起，再进行运算，简称同号结合法.
在计算过程中往往把分母相同或容易通分的数结合在一起，以达到简便运算的效果，简称同形结合法.
归纳总结
例2 计算：
分析：将－3.75， －2.5和2.85，3.15分
别结合在一起，然后相加．
解：原式＝ +（2.85+3.15）
=（-8）+6 =-2
在有理数的运算中，如果既有分数又有小数，一般先将小数转化为分数(有时也将分数转化为小数)，然后把能凑成整数的数结合在一起，这样能使计算简便，简称凑整法．
归纳总结
有理数的加法运算律的运用
利用有理数的加法运算律解决实际问题关键是建立加法的数学模型，把实际问题转化为正负数的和，再运用有理数的加法法则及加法运算律来计算．
例3 10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
2，- 4，2. 5，3, -0. 5，1.5，3, -1,0, -2. 5.
问：这10筐苹果总共重多少？
解：2 + (-4) +2.5+3 + (-0.5) +1.5+3 +(-1) + 0 + (-2.5)
=(2+3+3) + (-4) + [2.5 + (-2.5)] + [(-0.5) +(-1) + 1.5]
=8 + (-4) = 4.
30 × 10 +4 = 304(千克）.
答：这10筐苹果总共重304千克.
讨论：回顾例1、例2、 例3的解答，你认为将怎样的加数结合在一起, 可使有理数运算简便？
有理数简便运算的技巧
1．同号：把正数和负数分别结合相加．
2．凑整：把和为整数的几个数相加．
3．凑零：把和为0的数相加．
4．分数相加：把分母相同或易于通分的分数相加．
5．带分数相加：把带分数的整数部分、真分数部分分别结合相加．
6．小数相加：整数部分、纯小数部分分别结合相加．以上方法不是固定不变的，可以灵活运用．
1.计算(－20)＋3 ＋20＋ ，比较合适的做法是
(　　)
A．把一、三两个加数结合，二、四两个加数结合
B．把一、二两个加数结合，三、四两个加数结合
C．把一、四两个加数结合，二、三两个加数结合
D．把一、二、四这三个加数先结合
A
2. 10袋小麦称重纪录如图，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。这10袋小麦的总重量超重吗？总重量是多少？
解：7+5+(－4)+6+4+3+(－3)+(－2)+8+1
=〔(-4)+4〕+〔5+(-3) +(-2) 〕
+(7+6+3+8+1)
=0+0+25
=25
90×10+25=925
答：总计超过25千克，总重量是925千克。
本节课你学到了哪些知识？