【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.1 1.1.2 子集和补集 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共66张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第1章　集合与逻辑
1.1　集合
1.1.2　子集和补集
学习任务 核心素养
1．理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3．了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．
2．借助子集和真子集、补集的运算的求解，培养数学运算素养．
一所学校中，所有同学组成的集合记为A，而高一年级同学组成的集合记为B，你觉得集合A和B之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　子集、真子集、集合相等
(1)Venn图
如图，大圆和小圆分别表示两个集合；小圆画在大圆里，表示前者是后者的_________，这类表示集合间关系的示意图叫作Venn图．
真子集
(2)两个集合之间的关系
①子集
每个
A B
B A
②集合相等

③真子集
A B
(3)子集的性质
①每个集合都是它自己的______，即A A．
②对于集合A，B，C，若A B，B C，那么_______．
若A?B，B C，则A?C．
③规定空集包含于任一集合，是任一集合的子集．
子集
A C
思考　1．(1)任何两个集合之间是否都有包含关系？
(2)符号“∈”与“ ”有何不同？
[提示]　(1)不一定．如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
而“ ”表示集合与集合之间的关系．
思考　2． 与0，{0}，{ }有何区别？
[提示]　
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是
关系 0 ?{0} ?{ }
提醒 空集是任何非空集合的真子集．
体验　1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则
(　　)
A．P∈Q　　　　 B．P Q
C．Q?P D．Q∈P
√
C　[∵－1，0，1均在集合P，Q中，而2∈P且2 Q，∴Q?P，结合选项可知C正确．]
体验　2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A_______B；(2)A________C；(3){2}_______C；(4)2______C．
(1)＝　(2)?　(3)?　(4)∈　[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C．]
＝
?
?
∈
×
×
√
体验　3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 和{ }都表示空集． (　　)
(2)任何集合都有子集和真子集． (　　)
(3)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝ ． (　　)
如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么：
(1)这三个集合之间有什么联系？
(2)如果x∈S且x M，你能得到什么结论？
知识点2　全集与补集
(1)全集
①定义：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的_______________，就可以把集合U约定为全集(或基本集)．
②记法：全集常记作________．
元素和子集
U
(2)补集
文字语言 若A是全集U的子集，U中________________的元素组成的集合叫作A的补集，记作 UA
符号语言 UA＝______________________
图形语言
所有不属于A
{x|x∈U，且x A}
当U可以从上下文确定时，A的补集也可以记作．显然 U( UA)＝A．一般地，不论A是否是B的子集，都可用B\A表示B中所有不属于A的元素组成的集合，它是B的一个子集．
提醒　符号 UA有三层意思：
(1)A是U的子集，即A U；
(2) UA表示一个集合，且 UA U；
(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．
体验　4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合 BC与 AC相等． (　　)
(2)集合 ZN与集合 ZN＋相等． (　　)
(3)一个集合的补集中一定含有元素． (　　)
×
×
×
体验　5．(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则 UA＝(　　)
A．{1，3，5，6}　　 B．{2，3，7}
C．{2，4，7} D．{2，5，7}
(2)已知全集U为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则 UA＝_________．
√
(1)C　(2){x|1≤x<5}　[(1)由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得 UA＝{2，4，7}．故选C．
(2)集合A＝{x|x<1或x≥5}的补集是 UA＝{x|1≤x<5}．]
{x|1≤x<5}
关键能力·合作探究释疑难
类型1　子集、真子集的个数问题
【例1】　【链接教材P7例6】
填写下表，并回答问题：
集合 集合的子集 子集的个数

{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
[解]　
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2．
【教材原题·P7例6】
例6　设S＝{R，B，G}是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合，写出S的所有子集．
[分析]　如何不重不漏地写出集合{R，B，G}的所有子集呢？可按下面的步骤来写：
(1)因为空集 是所有集合的子集，所以首先写出 ；
(2)写出所有由一个元素构成的子集：{R}，{B}，{G}；
(3)写出所有由两个元素构成的子集：{R，B}，{R，G}，{B，G}；
(4)写出所有由三个元素构成的子集：{R，B，G}．
[解]　S的子集共有8个，分别为： ，{R}，{B}，{G}，{R，B}，{R，G}，{B，G}，{R，B，G}．
反思领悟　与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n；
(2)A的非空子集的个数为2n－1；
(3)A的真子集的个数为2n－1；
(4)A的非空真子集的个数为2n－2．
[跟进训练]
1．已知集合M满足：{1，2}?M {1，2，3，4，5}，则所有满足题意的集合M共有多少个？
[解]　由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
类型2　集合间关系的判断
【例2】　判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1[解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A?B．
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D?B?A?C．
(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但
－2 A，故A?B．
反思领悟　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
提醒：若A B和A?B同时成立，则A?B更能准确表达集合A，B之间的关系．
[跟进训练]
2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
A　　　　　B　　　　C　 　　　D
√
B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．]
类型3　由集合的关系求参数
【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
判断B是否是空集，由此分类讨论，并借助数轴求解实数m的取值范围．
[解]　(1)当B＝ 时，
由m＋1>2m－1，得m<2．
(2)当B≠ 时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3．
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
[母题探究]
若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2[解]　(1)当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2．
(2)当B≠ 时，如图所示，
∴解得即2≤m<3．
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
反思领悟　利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的值．
[解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
因为B?A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝ ．
当B＝{－3}时，由－3m＋1＝0，得m＝；
当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－；
当B＝ 时，m＝0．
综上所述，m＝或m＝－或m＝0．
类型4　补集的运算
【例4】　【链接教材P8例7】
(1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝____________________；
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝
______________________．
(1){2，3，5，7}　(2){x|x<－3或x＝5}　[(1)法一(定义法)：因为A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．
又 UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}．
{2，3，5，7}
{x|x<－3或x＝5}
法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．

由图可知B＝{2，3，5，7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．

由补集的定义可知 UA＝{x|x<－3或x＝5}．]
【教材原题·P8例7】
例7　设U＝{x∈Z|x∈(0，12]}，A＝{x∈N|0[解]　由条件可知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，
A＝{1，2，3，4，5}，B＝{7，8，9，10，11}，
因此 UA＝{6，7，8，9，10，11，12}，
UB＝{1，2，3，4，5，6，12}．
反思领悟　求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
[跟进训练]
4．(1)设集合A＝{x∈N＋|x≤6}，B＝{2，4}，则 AB等于(　　)
A．{2，4}　　　　 B．{0，1，3，5}
C．{1，3，5，6} D．{x∈N＋|x≤6}
(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则 UA＝_________________．
√
(1)C　(2){x|0(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知， UA＝{x|0{x|01．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b} {b，a}；③ ＝{ }；④{0}＝ ；⑤ ?{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是(　　)
A．1 B．3
C．4 D．6
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[①②⑤⑥正确，③④错误．故选C．]
2．集合{1，2}的子集有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
√
A　[集合{1，2}的子集有 ，{1}，{2}，{1，2}，共4个．]
3．已知全集U＝{0，1，2}，且 UA＝{2}，则A＝(　　)
A．{0} B．{1}
C． D．{0，1}
√
D　[∵U＝{0，1，2}， UA＝{2}，
∴A＝{0，1}．故选D．]
4．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x2　[∵ UA＝{x|x<1或x≥2}，∴A＝{x|1≤x<2}．∴b＝2．]
2
5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，则a的取值范围为________；
(2)若B A，则a的取值范围为_______________．
(1){a|a>2}　(2){a|1≤a≤2}　[(1)若A?B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2．
(2)若B A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2．因为a≥1，所以1≤a≤2．]
{a|a>2}
{a|1≤a≤2}
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？
[提示]　两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系．
2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？
[提示]　(1) A，(2) ?A(A≠ )．
3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？
[提示]　包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用．
4． UA，A及U之间存在怎样的关系？
[提示]　 UA U，A U．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
一、选择题
1．若全集U＝{0，1，2，3}且 UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　)
A．3个 B．5个
C．7个 D．8个
课时分层作业(三)　子集和补集
√
C　[A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7(个)．]
题号
2
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2．(多选题)已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是(　　)
A．0∈A B．{1}∈A
C． A D．{0，1} A
√
ACD　[∵A＝{0，1}，∴0∈A， A，{0，1} A，故ACD均正确．]
√
√
3．已知集合M＝{x∈Z|－A．P＝{－3，0，1}
B．Q＝{－1，0，1}
C．R＝{y∈Z|－πD．S＝{x∈N||x|≤}
题号
2
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4
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√
B　[∵－3 M，∴P不是M的子集，同理可知CD均错误．故选B．]
4．(多选题)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　)
A．2 B．－1
C．－2 D．4
题号
2
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√
AB　[∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1．故选AB．]
√
5．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝
(　　)
A．2 B．1
C． D．－1
题号
2
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√
B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B．所以a＝1，故选B．]
二、填空题
6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}．若 UA B，则实数m的取值范围是____________．
题号
2
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{m|m<1}　[∵ UA＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，
∴由 UA B可知m<1．]
{m|m<1}
7．集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是_____________________．
题号
2
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{(1，2)}，{(－3，4)}　[{(1，2)，(－3，4)}的所有真子集有 ，{(1，2)}，{(－3，4)}，其非空真子集是{(1，2)}，{(－3，4)}．]
{(1，2)}，{(－3，4)}
8．设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，b}．若P＝Q，则a2 025＋
b2 025＝________．
题号
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0　[由P＝Q可知a＝－1，b＝1．
∴a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋12 025＝0．]
0
三、解答题
9．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a组成的集合C．
题号
2
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[解]　(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，
集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以B?A．
(2)当a＝0时，B＝ ，又A＝{3，5}，故B A；
当a≠0时，B＝，又A＝{3，5}，B A，
此时＝3或5，则有a＝或a＝．
所以C＝．
题号
2
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[解]　(1)当B＝ 时，2a>a＋3，即a>3，显然满足题意．
(2)当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．
10．已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
题号
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11．(多选题)设全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a－5|，9}， UA＝{5，7}，则a的值是(　　)
A．2 B．8
C．－2 D．－8
题号
2
1
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9
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√
AB　[∵U＝{1，3，5，7，9}， UA＝{5，7}，
∴A＝{1，3，9}，
∴|a－5|＝3，∴a＝2或8．]
√
12．(多选题)设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，则(a，b)可能是(　　)
A．(－1，1) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(1，1)
题号
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√
√
√
ACD　[若B＝{－1}，则解得a＝－1，b＝1．
若B＝{1}，则解得a＝1，b＝1．
若B＝{－1，1}，则解得a＝0，b＝－1．故选ACD．]
题号
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13．已知集合P＝{x|x2＝9}，集合Q＝{x|ax＝3}，若Q P，那么－3
______P(用适当的符号填空)，a的值组成的集合为_____________．
题号
2
1
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15
∈　{－1，0，1}　[P＝{x|x2＝9}＝{x|x＝3或x＝－3}，所以－3∈P．
因为Q＝{x|ax＝3}，若Q P，则当a＝0时，Q＝ ，满足题意；当a≠0时，Q＝{x|ax＝3}＝，则＝3或－3，解得a＝1或－1．
故a的值组成的集合为{－1，0，1}．]
∈
{－1，0，1}
14．已知集合A＝，B＝，则集合A，B之间的关系为________．
题号
2
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A＝B　[对于集合A，k＝2n时，x＝(4n＋1)＝，n∈Z，当k＝2n－1时，x＝(4n－2＋1)＝，n∈Z，
即集合A＝，
由B＝，可知A＝B．]
A＝B
15．若x∈A，∈A，则称A是伙伴关系集合．求集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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11
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15
[解]　由“x∈A，∈A”知，－1可以在集合A中，0一定不在集合A中，2和同时在(或不在)集合A中，3和同时在(或不在)集合A中，因此M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为{－1}，．
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