【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.2 1.2.1 命题 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共57张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第1章　集合与逻辑
1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命题
学习任务 核心素养
1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点) 2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点) 3．掌握命题的否定并能判断其真假．(重点) 4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点) 1．借助命题的概念及应用，提升数学抽象素养．
2．借助命题真假的判定、定理与定义的应用，培养逻辑推理素养．
在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题，一方面，数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　命题的定义与分类
(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的_________叫作命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．
(3)分类：命题
陈述句
成立
不成立
思考　1．(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示]　(1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．
(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．
提醒　一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题．如x>15等．
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)语句“陈述句都是命题”不是命题． (　　)
(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题． (　　)
×
√
知识点2　命题的否定
(1)定义：如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作____，读作“非p”．
(2)p与 p的真假：在p和 p中，一定有一个为___有一个为假．
p
真
体验　2．若p：x＝1是方程x2－3x＋2＝0的根，则 p为
_____________________________________．
x＝1不是方程x2－3x＋2＝0的根
知识点3　命题的结构
1．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”，其中p叫作命题的______，q叫作命题的______．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
条件
结论
思考　2．命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
[提示]　条件是：“一个数是实数” ，结论是：“它的平方是非负数”．
体验　3．把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p，则q”的形式为_________________________________________．
若一个四边形是矩形，则它的对角线相等
2．逆命题
当两个命题的条件和结论互换了位置，这时称一个命题是另一个命题的逆命题．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　命题的判断
【例1】　(1)下列语句为命题的是(　　)
A．x2－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________．(填序号)
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③21 000是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′．
√
①④
(1)B　(2)①④　[(1)对于A，x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；对于B，2＋3＝8是命题，且是假命题；对于C，不是陈述句，故不是命题；对于D，“大”的标准不确定，无法判断真假．
(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]
反思领悟　判断一个语句是否是命题的关键点
(1)该语句必须是陈述句；
(2)该语句可以判断真假．
提醒：对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围看能否判断其真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题．
[跟进训练]
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数y＝x2－2x(x∈R)是二次函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
(5)一个数不是奇数就是偶数；
(6)2030年6月1日上海会下雨．
[解]　(1)是命题，满足二次函数的定义．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)是命题，当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，能判断真假．
(4)是疑问句，不是命题．
(5)是命题，能判断真假．
(6)不是命题，不能判断真假．
类型2　命题真假的判断
【例2】　判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个奇数是两个整数的平方差．
[解]　(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0．
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0．
(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．
反思领悟　命题真假的判定方法
(1)真命题的判断方法
要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)假命题的判断方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
[跟进训练]
2．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
[解]　(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2．
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．m>1 Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．
类型3　命题的否定
【例3】　【链接教材P15例2】
写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：自然数的平方都是正数；
(2)p：x＝2是方程5x－12＝0的根；
(3)p：全等三角形的面积相等；
(4)p：4是8的约数．
[解]　(1) p：自然数的平方不都是正数，真命题．
(2) p：x＝2不是方程5x－12＝0的根，真命题．
(3) p：全等三角形的面积不相等，假命题．
(4) p：4不是8的约数，假命题．
【教材原题·P15例2】
例2　写出下列命题p的否定 p：
(1)p：4是方程x2－16＝0的根；
(2)p：相似三角形的面积一定相等；
(3)p：16是4的倍数．
[解]　(1) p：4不是方程x2－16＝0的根；
(2) p：相似三角形的面积不一定相等；
(3) p：16不是4的倍数．
反思领悟　对命题的否定，直接否定结论即可，即从结论的相反面写出命题．常见否定如下：
正面词 是 等于 大于(>) 小于(<) 至多 有一个 至少
有一个
否定 不是 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 至少 有两个 一个
也没有
[跟进训练]
3．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：方程x2－x＋2＝0有实根；
(2)p：集合A＝{0}是集合B＝{0，1}的子集；
(3)p：A∩ ＝ ；
(4)p：x<3是不等式3x－9>0的解．
[解]　(1) p：方程x2－x＋2＝0没有实根，真命题．
(2) p：集合A＝{0}不是集合B＝{0，1}的子集，假命题．
(3) p：A∩ ≠ ，假命题．
(4) p：x<3不是不等式3x－9>0的解，真命题．
类型4　命题的构成
【例4】　(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是____________
_______________，q是_____________________________________．
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
①函数y＝2x＋1是一次函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0．
一条直线是弦的垂直平分线　
这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧
(1)一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧　[命题的条件是“弦的垂直平分线” ，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．]
(2)[解]　①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．
②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2．
③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0．
反思领悟　1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．
2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．
[跟进训练]
4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)当>时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
[解]　(1)若>，
则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．
1．下列语句为真命题的是(　　)
A．a>b B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1＋2＝3 D．今天是星期天
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[A，D不是命题，B为假命题，C为真命题．]
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是
(　　)
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
√
C　[把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C．]
3．(教材P16练习T1改编)下列命题是真命题的为(　　)
A．若a>b，则< B．若b2＝ac，则b2>a或b2>c
C．若|x|√
C　[对于A，若a＝1，b＝－2，则>，故A是假命题．
对于B，当a＝b＝0，c＝1时，满足b2＝ac，但b2>a，b2>c不成立，故B是假命题．
对于C，因为y>|x|≥0，则x2对于D，当a＝b＝－2时，与没有意义，故D是假命题．]
4．命题“对顶角相等”中的条件为__________________________，
结论为________________．
5．菱形的对角线互相垂直的真假性为______________(填“真”或“假”)．其否定为_______________________________．
两个角是对顶角
它们相等
真
菱形的对角线不互相垂直
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是命题？命题的构成方式是怎样的？它们之间有怎样的关系？
[提示]　可以判断真假的陈述句为命题；命题由条件与结论构成，它们之间是因果关系．
2．含有大前提的命题怎样写成“若p，则q”的形式？
[提示]　大前提应保持不变，且不写在条件p中．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．(多选题)下列语句中不是命题的是(　　)
A．6>3 B．x>0
C．对于x∈R，总有x2>0 D．x2＋y2＝0
课时分层作业(五)　命题
√
BD　[A，C为命题．B不能判断真假不是命题．D不能判断真假故不是命题．]
√
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2．下列命题为假命题的是(　　)
A．若x>1，则x2>1
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若A＝60°，则cos A＝
√
B　[因为|a|＝|b|，
所以a＝b或a＝－b．故选B．]
3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是(　　)
A．两条直线
B．一条直线
C．垂直
D．两条直线垂直于同一条直线
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√
D　[命题的条件是“两条直线垂直于同一条直线”．故选D．]
4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(　　)
①M中的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P的元素．
A．1 B．2
C．3 D．4
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√
B　[因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，因此M中有不属于P的元素，也可能有属于P的元素，故②④正确．故选B．]
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5．(多选题)下列命题是假命题的为(　　)
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x题号
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√
BCD　[由＝得x＝y，故A是真命题；而由x2＝1得x＝±1，故B是假命题；
由于x＝y时，不一定有意义，故C是假命题；
而由x√
√
二、填空题
6．命题“四条边相等的四边形是正方形”的否定为______________
_______________________，是________命题(填“真”或“假”)．
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四条边相等的
四边形不一定是正方形
真
7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：____________________________________________________________________________________________________________________．
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a>0
二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)
8．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数根”为真命题，则实数a的取值范围为________________________．
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(－∞，0)∪(0，1)　[由题意知解得a<1且a≠0．]
(－∞，0)∪(0，1)
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)面积相等的两个三角形全等；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0．
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[解]　(1)若ac>bc，则a>b．
由于ac>bc，c<0时，a(2)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．是假命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0．是真命题．
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10．已知命题“若1题号
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[解]　因为命题“若1所以解得≤m≤1．
所以实数m的取值范围为．
11．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　)
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
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√
A　[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．故选A．]
12．(多选题)给出命题“方程x2＋ax＋2＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的可能取值为(　　)
A．1 B．－2
C．0 D．3
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√
ABC　[由题意知Δ＝a2－8<0，故a2<8．故A，B，C适合题意．]
√
√
13．下列命题是真命题的是________．(填序号)
①0是集合{0，1，2}的真子集；
②关于x的方程x2＋|x|＝0有四个实数根；
③设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2；
④若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1．
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④
④　[对于①，0是集合{0，1，2}的元素，不是真子集，故①是假命题；对于②，由x2＋|x|＝0得|x|＝0，所以x＝0，方程有一个实数根，故②是假命题；
对于③，当c＝0时，ac2＝bc2，故③是假命题；
对于④，由a≠0得(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1>a4＋a2＋1，故④是真命题．]
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14．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形．其中真命题的序号是________．
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①　[②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形．③中平行四边形不是梯形．①正确．]
①
15．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
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[解]　若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4．故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
谢 谢！