【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.2 1.2.2 第2课时 充要条件 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共48张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第1章　集合与逻辑
1.2　常用逻辑用语
1.2.2　充分条件和必要条件
第2课时　充要条件
学习任务 核心素养
1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养．
老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
思考：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？
必备知识·情境导学探新知
知识点　充要条件
(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作______．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们称p是q的充分必要条件，简称______条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为____________条件．
p q
q p
p q
充要
充分必要
提醒　命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：
①充分必要条件(充要条件)，即p q且q p；
②充分而不必要条件，即p q且q p；
③必要而不充分条件，即p q且q p；
④既不充分又不必要条件，即p q且q p．
思考　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
体验　从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的____________________；
(2)“x<5”是“x<3”的___________________．
(1)充要条件　(2)必要而不充分条件　[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝
{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B, 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A?B，所以“x<5”是“x<3”的必要而不充分条件．]
充要条件
必要而不充分条件
关键能力·合作探究释疑难
类型1　充分、必要、充要条件的判断
【例1】　【链接教材P17例3】
指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．
(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：a＞b；q：ac＞bc．
[解]　(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分而不必要条件．
(2)两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故p是q的必要而不充分条件．
(3)a＞b ac＞bc，且ac＞bc a＞b，
故p是q的既不充分又不必要条件．
【教材原题·P17例3】
例3　从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空．
(1)a≥5是a为正数的________；
(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的________；
(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的________；
(4)若x∈R，则x2＝2是x＝2的________．
[分析]　分别考虑命题“若p，则q”和“若q，则p”的真假性．
[解]　(1)a≥5 a>0，a>0 a≥5．因此应填“充分而不必要条件”．
(2)四边形是矩形 四边形的两对角线相等，反之不成立，比如等腰梯形．因此应填“必要而不充分条件”．
(3)四边形的一组对边平行且相等 四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形．因此应填“充要条件”．
(4)x∈R时，x2＝2 x＝2，x＝2 x2＝2．因此应填“既不充分又不必要条件”．
反思领悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
[跟进训练]
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q： UB UA．
[解]　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，
故p是q的必要而不充分条件．
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，
故p是q的充分而不必要条件．
(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，
q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
故p是q的必要而不充分条件．
(4)∵A∩B＝A A B UB UA，
∴p是q的充要条件．
类型2　充要条件的证明
【例2】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．
[证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0．
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．
反思领悟　充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．
[跟进训练]
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0．
①证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0．
②证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
类型3　充要条件的应用
【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
联想必要而不充分条件的概念，由此思考命题p与命题q对应集合间存在怎样的包含关系．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要而不充分条件，
所以q是p的充分而不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3．
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0[母题探究]
本例中“p是q的必要而不充分条件”改为“p是q的充分而不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分而不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A?B．
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
反思领悟　应用充分而不必要、必要而不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：
(1)根据已知将充分而不必要条件、必要而不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
1．“x>0”是“x≠0”的(　　 )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
学习效果·课堂评估夯基础
√
A　[由“x>0” “x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
√
B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立．故选B．]
3．若“xA．a≥3 B．a≤－1
C．－1≤a≤3 D．a≤3
√
B　[因为“x4．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①___________________；充要条件②____________________．
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分必要条件间存在怎样的关系？
[提示]　
条件p与结论q的关系 结　论
p q，且q p p是q的充分而不必要条件
q p，且p q p是q的必要而不充分条件
p q，且q p，即p q p是q的充要条件
p q，且q p p是q的既不充分又不必要条件
2．要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？
[提示]　需要证明充分性和必要性两个方面．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
课时分层作业(七)　充要条件
√
A　[∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A B”的充分而不必要条件．]
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2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
√
B　[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y |x|＝|y|．故选B．]
3．命题p：－1≤x<2的一个必要而不充分条件是(　　)
A．－1≤x≤2 B．－1≤x<2
C．0≤x<2 D．0≤x<3
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√
A　[－1≤x<2 －1≤x≤2，反之不成立，可得选项A是p的一个必要而不充分条件．故选A．]
4．使“x∈”成立的一个充分而不必要条件是
(　　)
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1，3，5} D．x≤－或x≥3
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√
C　[选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈”成立的一个充分而不必要条件．]
5．给出下列各组条件， 其中p是q的充要条件的是(　　)
A．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0
B．p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|
C．p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实数根
D．p：x>2或x<－1，q：x<－1
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√
B　[对于A，由p q知，p不是q的充要条件．对于B，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故是充要条件．对于C，方程x2－x－m＝0有实数根，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，所以q p，∴p是q的充分而不必要条件．对于D，因为p q，所以p不是q的充要条件．故选B．]
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二、填空题
6．写出x>1的一个必要而不充分条件______________________．
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x>0(答案不唯一)　[设命题P：“x>1”，欲求的条件为Q，
根据必要而不充分条件的定义，得P Q成立，而Q推不出P，因此只要x>a，a<1都能作为条件Q，不妨取a＝0，得“x>1” “x>0”；反之，不成立．]
x>0(答案不唯一)
7．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1
的___________________条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
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必要而不充分　[由两三角形对应角相等 △ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1 ∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．]
必要而不充分
8．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数根”的_______________
条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
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充分而不必要　[若一元二次方程x2－x＋a＝0有实数根，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a<”，即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数根”的充分而不必要条件．]
充分而不必要
三、解答题
9．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
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[解]　由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|x<－m＋1或x>m＋1}，
因为条件p是条件q的充分而不必要条件，即集合A是集合B的真子集，
所以或解得m<2，
又m>0，所以实数m的取值范围是{m|010．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
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[解]　①当a＝0时，解得x＝－1，满足题意；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0，
若方程有两个负的实根，
则必须满足即0＜a≤．
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤．
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤．
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11．(多选题)设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有(　　)
A．A∪B＝B B．( UA)∩B＝
C． UA UB D．A∪( UB)＝U
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√
BCD　[由Venn图可知，BCD都是充要条件．故选BCD．]
√
√
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在原点的必要而不充分条件是(　　)
A．b＝0，c＝0 B．a＋b＋c＝0
C．c＝0，b≠0 D．bc＝0
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√
D　[若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在原点，则－＝0，且c＝0，所以顶点在原点的充要条件是b＝0，c＝0，故A是充要条件，B、C是既不充分又不必要条件，D是必要而不充分条件．故选D．]
13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是_______________．
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m＝－2　[若函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
m＝－2
14．已知p：x－3＜0，q：2x－3＜m．
(1)若p是q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围为________；
(2)若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为_________．
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(1){m|m>3}　(2){m|m＜3}　[由x－3＜0，得x＜3；由2x－3＜m，得x＜(m＋3)．
{m|m>3}
{m|m＜3}
(1)若p是q的充分而不必要条件，
则{x|x＜3}?，
∴(m＋3)>3，解得m>3．
(2)若p是q的必要而不充分条件，则?{x|x＜3}，
∴(m＋3)＜3，解得m＜3．]
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15．从①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x|≤x≤＋3}三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由．
已知集合A＝______，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
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[解]　由题意知，A≠ ，B＝{x|1≤x≤3}．
当选条件①时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件，所以A?B，解得2≤a≤3．
所以实数a的取值范围是2≤a≤3．
当选条件②时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件，所以A?B，不存在a的值满足题意．
当选条件③时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件，所以A?B，该不等式组无解，
故不存在a的值满足题意．
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谢 谢！