【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.2 从函数观点看一元二次方程 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共58张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第2章　一元二次函数、方程和不等式
2.2　从函数观点看一元二次方程
学习任务 核心素养
1．理解函数零点的概念．(重点) 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点) 通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养．
函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？
必备知识·情境导学探新知
a>0 a<0
一次函数y＝ax＋b的图象
一元一次方程ax＋b＝0的根
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
知识点1　二次函数的零点
一般地，把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．这样，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的_________就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，也就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的_________．
实数根
横坐标
思考　二次函数一定有零点吗？
[提示]　当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点．
提醒　函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．
×
×
√
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二次函数y＝x2的零点为(0，0)． (　　)
(2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点． (　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数有两个零点． (　　)
知识点2　函数零点的探究
当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1，2＝－ 没有实数根
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点x＝ 无零点
体验　2．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
√
C　[令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　二次函数的零点
【例1】　求下列函数的零点．
(1)y＝3x2－2x－1；
(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；
(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．
[解]　(1)由3x2－2x－1＝0，解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－．
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0，得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1．
又－(－1)＝，
①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1．
②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和．
综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1．
当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和．
(3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3．
反思领悟　1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．
2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．
3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤
(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；
(2)若二次项系数不为零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点；
(3)若二次项系数不为零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．
[跟进训练]
1．求下列函数的零点．
(1)y＝2x2－3x－2；
(2)y＝ax2－x－1；
(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．
[解]　(1)由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－．
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，
当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点；
当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2．
当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1，2＝，
函数有两个零点和．
综上：当a＝0时，函数的零点为－1；
当a＝－时，函数的零点为－2；
当a>－时，函数有两个零点和；
当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点．
(3)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1．
类型2　二次函数零点的讨论与探究
【例2】　若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[证明]　考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，
因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，
又a>2，所以Δ>0，
所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[母题探究]
求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．
[解]　(必要性)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，
当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解，函数无零点；
当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，
即或解得a≥2或a≤－2，又a≠2，所以a>2或a≤－2，
所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，则a>2或a≤－2．
(充分性)当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，
Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，
所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点．
综上，函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2．
反思领悟　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的论证
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac．
(1)Δ>0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点．
(2)Δ＝0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点．
(3)Δ<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．
[跟进训练]
2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
[证明]　当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；
当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．
综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
类型3　二次函数的零点的分布探究
【例3】　(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点；
(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．
(1)能否直接求出函数y＝－x2－2x＋1的零点进行验证？
(2)二次函数的两个零点均为正数，则判别式应满足什么条件？两个零点之和呢？两个零点之积呢？
[解]　(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2，所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上存在零点．
(2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，
所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根，显然a≠2．
由一元二次方程的根与系数的关系得
即
所以a<－2．
所以实数a的取值范围为(－∞，－2)．
反思领悟　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究
结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理
(1) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．
(2) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．
(3)x1x2<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．
提醒：二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．
[跟进训练]
3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．
(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；
(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围．
[解]　法一：由x2－x－a2＋a＝0，得x1＝a，x2＝1－a．
(1)因为该函数有两个正的零点，所以解得0所以a的取值范围是．
(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，
所以或解得a>1或a<0．
所以a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0，
所以
解得0所以a的取值范围是．
(2)方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，设其两实数根分别为x1，x2，则
因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，
所以(x1－1)(x2－1)<0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0．
所以a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
1．函数y＝x2＋4x－5的零点为(　　)
A．－5和1 B．(－5，0)和(1，0)
C．－5 D．1
学习效果·课堂评估夯基础
√
A　[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．]
2．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－3，1)
√
C　[当a＝0时，y＝3无零点．当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得x＝，所以－1<<1．当a>0时，－2a1；当a<0时，
－2a>a－3>2a，解得a<－3．所以a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，
＋∞)．]
3．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．
2　[由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．]
2
4．二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为________．
2　[方程x2＋2x－8＝0的两个根为x1＝2，x2＝－4．因此二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为2．]
2
5．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)内，则n的取值集合为________________．
{－3，0}　[由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0，1)，所以n的取值集合为
{－3，0}．]
{－3，0}
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求函数零点的方法是什么？
[提示]　(1)观察图象，看图象与x轴交点的横坐标．
(2)解相应的方程，方程的解即为函数的零点．
(3)含参函数的零点求解需分类讨论．
2．怎样判定二次函数零点的个数？
[提示]　论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系．
3．怎样研究二次函数零点的分布？
[提示]　研究相应的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
一、选择题
1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．1或2　　　　D．0
课时分层作业(十四)　从函数观点看一元二次方程
√
C　[由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时，函数的零点有1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为－2和3，那么函数y＝cx2－bx＋a的零点为(　　)
A．－和 和－
C．－3和2 D．无法确定
√
A　[由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝
－，x2＝，故选A．]
3．关于x的函数y＝x2－2ax－8a2(a>0)的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a＝(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．
由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．(多选题)已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的可能取值为(　　)
A．－5 B．－
C．－ D．－3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
BC　[x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象(图略)得方程的判别式Δ>0．当x＝2时函数值y>0，函数图象的对称轴x＝3>2，即解得－4题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．已知关于x的函数y＝x2＋kx＋k＋4＝0有两个零点，且一个大于2，另一个小于2，则实数k的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
D　[由题意知函数的两个零点分别在2的左右两侧，由图象(图略)知当x＝2时对应的函数值y<0，即4＋2k＋k＋4<0，所以k<－．]
二、填空题
6．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1　[因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得所以＝＝1．]
1
7．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
　[当a＝0时，由y＝0得x＝－2，符合题意．当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为
－2，所以－＝－2，即a＝，所以实数a的取值集合为．]
8．函数y＝x2＋3x＋m有唯一零点，则m的取值为________，若函数有两个负的零点，则m的取值范围为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
　[因为y＝x2＋3x＋m有唯一零点，所以方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根．所以Δ＝9－4m＝0，所以m＝．
若y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，
则解得0三、解答题
9．求下列函数的零点．
(1)y＝x－2－3；(2)y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)由x－2－3＝0得(＋1)(－3)＝0，
又≥0，所以＝3，即x＝9，所以函数y＝x－2－3的零点为9．
(2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＝0得
[x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0，
①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4；
②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)．
10．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[证明]　对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，
所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
11．(多选题)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法正确的是(　　)
A．函数一定有两个零点
B．a>0时，函数一定有两个零点
C．a<0时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
√
BCD　[当a＝0时，由y＝0得x＝0，函数有一个零点；当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，所以A选项错误，故选BCD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的结论是(　　)
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
B　[因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．已知实数a题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
mm　0　[作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0，
则有x＝m时，y<0，且x＝m＋1时，y<0．
14．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]都有y<0成立，则m的取值范围为____________．若函数的一个零点为1，则m的值为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
0
即
解得－所以实数m的取值范围为．
若函数的一个零点为1，则0＝1＋m－1，则m＝0．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>，求实数a的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，
又方程x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1，
所以解得－即实数a的取值范围是．
谢 谢！