【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.3 2.3.1 一元二次不等式及其解法 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共64张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第2章　一元二次函数、方程和不等式
2.3　一元二次不等式
2.3.1　一元二次不等式及其解法
学习任务 核心素养
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(重点) 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点) 3．理解三个“二次”之间的关系．(重点) 1．从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，培养数学抽象素养．
2．在学习一元二次不等式的解法的过程中，提升数学运算素养．
已知一元二次函数y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0．
(1)试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标．
(2)一元二次方程的根是什么？
(3)问题(1)中的交点横坐标与问题(2)中的根有何内在联系？
(4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？
(5)能否利用问题(4)得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　一元二次不等式的概念
定义 只含有一个_________，并且未知数的最高次数是_的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数
未知数
思考　a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可以看作关于a的一元二次不等式吗？
[提示]　可以．
体验　1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－y>0；③－x2－3x<0；④>0．其中一元二次不等式的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
A　[只有③是一元二次不等式，故选A．]
√
知识点2　一元二次不等式与相应一元二次方程和二次函数的联系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1实根
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ______________ __________ ___
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 _________________ __________ _______
{x|xx2}
R
{x|x1

提醒 一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根，要充分利用这个关系解题．
体验　2．二次函数y＝x2－5x的图象如图所示．
(1)若y>0，则x满足的条件是_____________；
(2)若y≤0，则x满足的条件是_______________．
x<0或x>5
0≤x≤5
体验　3．不等式x2＋3x＋6<0的解集为________．
　[∵Δ＝9－4×6＝－15<0，
∴不等式x2＋3x＋6<0的解集为 ．]

知识点3　解一元二次不等式的步骤
解形如ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)确定对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；
(2)画出对应二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象；
(3)由图象得出不等式的解集．
对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式，可先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　一元二次不等式的求解
【例1】　【链接教材P53例2、例3】
解下列不等式．
(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x－2>0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2>0．
[解]　(1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2．
因为对应函数的图象是开口向上的抛物线，
所以原不等式的解集是．
(2)不等式可化为3x2－6x＋2<0．
因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋．因为函数y＝3x2－6x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是．
(3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，函数y＝4x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是．
(4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R．
【教材原题·P53例2、例3】
例2　解不等式4x2－4x＋1>0．
[解]　由于方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝，
于是函数y＝4x2－4x＋1的图象如图2.3-6所示，
与x轴仅有一个交点．
由图象得不等式4x2－4x＋1>0的解集为．
例3　解不等式－x2＋4x－5>0．
[解]　(方法一)在不等式两端同时乘以－1，可得x2－4x＋5<0．
对于方程x2－4x＋5＝0，由于Δ＝(－4)2－4×1×5<0，所以方程没有实数根，于是函数y＝x2－4x＋5的图象与x轴没有交点，如图2.3-7所示．
由图象得不等式x2－4x＋5<0的解集为 ，
即不等式－x2＋4x－5>0的解集为 ．
(方法二)对于方程－x2＋4x－5＝0，由于Δ＝42－4×(－1)×(－5)<
0，所以方程没有实数根，于是函数y＝－x2＋4x－5的图象与x轴没有交点，如图2.3-8所示．
由图象得不等式－x2＋4x－5>0的解集为 ．
反思领悟　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准．通过对不等式变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
[跟进训练]
1．解下列不等式．
(1)4x2－20x<－25；(2)(x－3)(x－7)<0；(3)－3x2＋5x－4<0；(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1．
[解]　(1)不等式可化为4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是 ．
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3(3)不等式－3x2＋5x－4<0可化为3x2－5x＋4>0，由于判别式Δ＝25－48＝－23<0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R．
(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0．
因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是．
类型2　含参数的一元二次不等式的解法
【例2】　解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0．
(1)对于二次项的系数a是否要分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？
(2)当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
[解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1．
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1．
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0．
若<1，即a>1，则若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为．
反思领悟　解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[跟进训练]
2．解关于x的不等式：ax2－(a2＋2)x＋2a＞0(a∈R)．
[解]　当a＝0时，不等式可化为－2x＞0，∴不等式的解集为{x|x＜0}；
当a≠0时，不等式可化为(ax－2)(x－a)＞0．
对应方程的两个根为a和．
若a＝－，不等式可化为－(x＋)2＞0，∴解集为 ；
若a＝，不等式可化为(x－)2＞0，∴解集为{x|x≠}；
若a＞，则a＞，∴不等式的解集为；
若0＜a＜，则a＜，∴不等式的解集为；
若－＜a＜0，则＜a，∴不等式的解集为；
若a＜－，则a＜，∴不等式的解集为．
类型3　三个“二次”的关系
【例3】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2以不等式的解集端点同相应方程根的关系，思考如何建立参数a，b，c同实数根2，3的关系，进而解不等式．
[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2－5，＝6．由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[母题探究]
(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解]　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0．
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0．解得．
反思领悟　一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤
第一步：审结论——明确解题方向
如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系，列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c．
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集．
[跟进训练]
3．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求p，q的值并求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
[解]　因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得所以不等式qx2＋px＋1>0，
即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－21．(教材P53练习(2)改编)不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)
A． B．
C． D．R
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[3＋5x－2x2≤0 2x2－5x－3≥0 (x－3)(2x＋1)≥0 x≥3或x≤－．]
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)
A．
C． D．R
√
D　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R．]
3．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
B　[由题意可知，a<0且－2，1是图象y＝ax2－x－c与x轴交点的横坐标，结合图象可知B正确．]
4．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为_____________________．
　[因为a<－1，所以a(x－a)·<0 (x－a)·>0．又a<－1，所以>a，所以x>或x回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求解一元二次不等式解集的步骤有哪些？
[提示]　(1)化成标准形式，(2)计算判别式Δ，(3)求对应方程的实根，(4)结合图象写解集．
2．含参数的一元二次不等式常从哪些方面讨论求解？
[提示]　(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0．
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x13．由一元二次不等式的解集可以得出相应函数的哪些信息？
[提示]　由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标．
4．分式不等式>0或≥0如何求解？
[提示]　对于分式不等式，应先转化为整式不等式，>0 (ax＋b)(cx＋d)>0；≥0
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
课时分层作业(十五)　一元二次不等式及其解法
√
C　[由x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，得x≥3或x≤－2．又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C．]
题号
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2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N＋，x≤5}，则A∩B＝(　　)
A．{1，2，3} B．{1，2}
C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}
√
B　[∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－又x∈N＋且x≤5，则A∩B＝{1，2}．]
3．若0A．
C．
题号
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√
D　[∵0＜t＜1时，t<，
∴不等式的解集为．]
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2题号
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√
C　[由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，
∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＞0，即ax2－ax－6a>0，
∵a<0，
∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，
∴－2题号
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5．(多选题)一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)
A．a2＋b2＝5 B．a＋b＝－3
C．ab＝－2 D．ab＝2
题号
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√
√
√
ABD　[由题意知，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．由根与系数
的关系，得解得
∴ab＝2，a＋b＝－3，a2＋b2＝5．故ABD正确．]
题号
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二、填空题
6．使根式有意义的实数x的取值范围是______________．
题号
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{x|－4≤x≤1}　[由－x2－3x＋4≥0得x2＋3x－4≤0，
解得－4≤x≤1．]
{x|－4≤x≤1}
7．若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是________．
题号
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1　[将原不等式化为x2＋(m－2)x＜0，即x(x＋2m－4)＜0，故0，2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1．]
1
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
题号
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则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是_____________________．
{x|x<－2或x>3}
{x|x<－2或x>3}　[根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如图．
由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．]
题号
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三、解答题
9．(源自人教A版教材)求不等式－x2＋2x－3>0的解集．
题号
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[解]　不等式可化为x2－2x＋3<0．
因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．
画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象．
结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为 ．
因此，原不等式的解集为 ．
10．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为．
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0．
题号
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[解]　(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1．
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以不等式的解集为．
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11．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0，2) B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
题号
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√
B　[根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，所以－2＜x＜1．]
12．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A． B．R
C． D．
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√
A　[因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集可能是A．]
13．关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是_____________________．
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{x|x<－1或x>3}　[由题意可知a>0，且＝1，即b＝a，
故不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)>0，解得x<－1或x>3，
故不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．]
{x|x<－1或x>3}
14．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为___________________．
题号
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　[由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故解得a＝c，b＝a．
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
解得0的解集为．]
15．解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0．
题号
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[解]　因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根．
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}．
当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实数根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1综上所述，当－当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－} ；
当a>或a<－时，
原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
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谢 谢！