【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.3 2.3.2 一元二次不等式的应用 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共48张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第2章　一元二次函数、方程和不等式
2.3　一元二次不等式
2.3.2　一元二次不等式的应用
学习任务 核心素养
1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点) 2．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 1．通过对不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．
2．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　一元二次不等式的实际应用
【例1】　【链接教材P57例9】
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解]　(1)依题意得
y＝[12×(1＋0.75x)－10×(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y＝－6 000x2＋
2 000x＋20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
所以
即
解得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0【教材原题·P57例9】
例9　某化学试剂生产厂以x kg/h的速度运输生产某种产品(生产条件要求边生产边运输，且1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．
(1)要使运输生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围．
(2)要使运输生产900 kg该产品获得的利润最大，该工厂应该选取何种运输生产速度？并求最大利润．
[解]　(1)依题意可得2×100≥3 000，
即5x－14－≥0．
因为1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，即(x－3)(5x＋1)≥0，解得x≥3或x≤
－．结合1≤x≤10知，x的取值范围为3≤x≤10．
(2)设利润为y元，则依题意可得
y＝×100＝90 000＝90 000．
因此，当＝，即运输生产速度为6 kg/h时，该工厂获得的利润最大，最大利润为457 500元．
反思领悟　求解一元二次不等式应用问题的步骤
[跟进训练]
1．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．
[解]　设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，
解得－44≤x≤2．
根据x的实际意义，知x的范围为0类型2　不等式的恒成立问题
【例2】　若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
对应的不等式是不是关于x的一元二次不等式？其对应函数的图象有何特征？如何用数学语言表述？
[解]　当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1．
①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意．
②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知
得即－综上所述，实数m的取值范围是．
反思领悟　不等式恒成立的情况
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或
[跟进训练]
2．已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；
②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立，得解得1综合①②得，实数m的取值范围为{m|1≤m<19}．
1．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．[－4，4]
B．(－4，4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
学习效果·课堂评估夯基础
√
A　[依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A．]
2．产品的总成本y(单元：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0，240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
√
C　[由题设，产量为x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C．]
3．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________________．
{k|－3②当k－1≠0时，由题意可知
解得－3综上可知，k的取值范围为－3{k|－34．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2 000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为________元．
4　[设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y＝x，整理得y＝－20 000x2＋130 000x，
因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，
所以y＝－20 000x2＋130 000x≥200 000，
解得≤x≤4，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元．]
4
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．解一元二次不等式应用题的关键是什么？
[提示]　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
2．试简述不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件．
[提示]　
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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一、选择题
1．下列四个不等式，其中解集是R的是(　　)
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
课时分层作业(十六)　一元二次不等式的应用
√
C　[A显然不可能；
B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
C中Δ＝62－4×10<0，满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数图象开口向上，显然不可能．故选C．]
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2．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　)
A．{k|0≤k≤1}
B．{k|0C．{k|k<0或k>1}
D．{k|k≤0或k≥1}
√
A　[当k＝0时，8≥0显然符合题意；
当k≠0时，由题意可知
即解得0综上可知0≤k≤1，故选A．]
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3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－2题号
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D　[当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0时，
解得－2题号
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4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)
A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}
C．{x|15题号
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C　[设这批台灯的销售单价为x元，
则[30－(x－15)×2]x>400，
即x2－30x＋200<0，∴10又∵x>15，
∴15题号
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5．若不等式x2－4x>2ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|1＜a＜4} B．{a|－4＜a＜－1}
C．{a|a＜－4或a＞－1} D．{a|a＜1或a＞4}
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√
B　[不等式x2－4x>2ax＋a可变形为x2－(4＋2a)x－a>0，∵该不等式对一切实数x恒成立，∴Δ<0，即(4＋2a)2－4·(－a)<0，化简得a2＋5a＋4<0，解得－4二、填空题
6．已知命题p： x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则实数a的取值范围是________________．
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　[当a＝0时，1>0为真命题，符合题意；
当a≠0时，要使 x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则对应的抛物线开口向上且与x轴没有交点，可得 0综上可得实数a的取值范围是}．]
7．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围为________________．
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{a|0≤a≤4}　[当a＝0时，满足题意；
当a≠0时，应满足解得0综上可知，a的取值范围为{a|0≤a≤4}．]
{a|0≤a≤4}
8．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________________．
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{t|3≤t≤5}　[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400××t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5．]
{t|3≤t≤5}
三、解答题
9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R
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[解]　(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程－4x＋6＝0
的两根，∴解得a＝3．
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，
∴所求不等式的解集为．
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，
则Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6．
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10．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(单位：m)与汽车的车速v(单位：km/h)满足下列关系：s＝(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关实数数据如图所示，其中
(1)求n的值；
(2)要使刹车距离不超过12.6 m，
则行驶的最大速度是多少？
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[解]　(1)由题意得
解得因为n∈N，所以n＝6．
(2)由于刹车距离不超过12.6 m，即s≤12.6，所以≤12.6，因此v2＋24v－5 040≤0，解得－84≤v≤60．因为v≥0，
所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60 km/h．
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11．(多选题)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的一个必要而不充分条件是(　　)
A．0C．0≤a≤1 D．a<0或a>
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BC　[“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”，则Δ＝4a2－4a<0，解得0所以“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的一个必要而不充分条件是BC．]
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12．若x>0，y>0，且＝1，x＋2y>m2＋7m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|－8B．{m|m<－8或m>1}
C．{m|m<－1或m>8}
D．{m|－1题号
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A　[由基本不等式得x＋2y＝＝＋4≥2＋4＝8，
当且仅当＝，即当x＝2y时，等号成立，所以x＋2y的最小值为8．
由题意可得m2＋7m<＝8，即m2＋7m－8<0，
解得－8因此，实数m的取值范围是{m|－8题号
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13．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是_________________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是_________________________．
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{a|－4＜a＜0}　{a|a≤－6或a≥2}　[由Δ1<0，即a2－4(－a)<0得
－4{a|－4＜a＜0}
{a|a≤－6或a≥2}
14．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为____________________．
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{λ|－8≤λ≤4}　[因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．]
{λ|－8≤λ≤4}
15．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
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[解]　(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为
y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
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整理，得
解得0.60≤x≤0.75．
∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%．
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