【学霸笔记：同步精讲】第2章 微专题1 基本不等式的应用技巧 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
微专题1　基本不等式的应用技巧
第2章　一元二次函数、方程和不等式
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握三个条件：
(1)“一正”——各项为正数；
(2)“二定”——“和”或“积”为定值；
(3)“三相等”——等号一定能取到．
类型1　凑项
【例1】　(1)已知a>b>0，则2a＋的最小值为(　　)
A．4× B．6
C．3× D．3
(2)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，求a的最大值．
√
(1)B　[∵a>b>0，∴2a＋＝(a＋b)＋＋(a－b)＋．
∵(a＋b)＋≥2＝4，(a－b)＋≥
2＝2，
∴2a＋≥6，当且仅当a＋b＝2，a－b＝1，即a＝，b＝时等号成立．故选B．]
(2)[解]　a＝＝，当且仅当2a2＝b2＋1，即a＝b＝1时取“＝”，故a的最大值为．
类型2　拆项
【例2】　已知x≥，则有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
√
D　[法一：∵x≥，∴x－2>0，则＝
×2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．
法二：令2x－4＝t，∵x≥，∴t≥1，∴x＝＋2．
将其代入，原函数可化为y＝＝＝≥2＝1，
当且仅当＝，即t＝2时，等号成立，此时x＝3．]
类型3　常值的代换
【例3】　(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式≥m恒成立，则m的最大值等于(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
(2)设a＋b＝2，b>0，求取最小值时a的值．
√
(1)B　[＝(2a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．所以的最小值为9，又因为≥m恒成立，所以m≤9，即m的最大值为9．]
(2)[解]　因为a＋b＝2，
所以＝＝＝＋2＝＋1，当且仅当＝，即b＝－2a＝4，或b＝2a＝时，等号成立．
当a＝时，＋1＝；
当a＝－2时，＋1＝．所以取得最小值时a的值为－2．
类型4　消元代换
【例4】　(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值；
(2)若实数x，y满足xy＋3x＝3，求的最小值．
[解]　(1)由2a＋b＝ab－1得a＝1＋>0，解得b>2．所以a＋2b＝5＋＋2≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝2，即b＝2＋时，等号成立．所以a＋2b的最小值是5＋2．
(2)因为实数x，y满足xy＋3x＝3，
所以x＝，所以0<<，解得y>3．
则＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，
当且仅当y－3＝，即y＝4，x＝时，等号成立．
所以的最小值为8．
类型5　取平方
【例5】　已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝的最大值．
[解]　∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，
∴W 2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，
当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．
∴W≤2，即W的最大值为2．
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