【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1 3.1.1 第1课时 函数的概念(一) 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共62张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第3章　函数的概念与性质
3.1　函数
3.1.1　对函数概念的再认识
第1课时　函数的概念(一)
学习任务 核心素养
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(难点) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点) 1．通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养．
2．通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养．
利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)．

如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
必备知识·情境导学探新知
知识点　函数的概念
定义 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f ，对于集合A中的________________，在集合B中都有______的数y和它对应，那么称这样的对应f ：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f (x)(x∈A，y∈B)
三 要 素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 __________的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合_____________
任何一个数x
唯一
自变量x
{f (x)|x∈A}
思考　1．在函数的概念中，如果y＝f (x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
[提示]　确定．
思考　2．如果y＝f (x)的定义域与值域确定，那么对应关系确定吗？
[提示]　不确定．如函数的定义域为{－1，0，1}，值域为{0，1}，则对应关系可以为f (x)＝x2或f (x)＝|x|．
提醒　理解函数的概念应关注的三点
(1)函数的定义中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数．
(2)y＝f (x)仅是函数的一个符号，不表示“y等于f 与x的乘积”，f (x)也未必有解析式．
(3)除f (x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y． (　　)
(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　　)
(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． (　　)
(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． (　　)
×
×
×
×
体验　2．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．
①　　　　②　　　　③　　　　④
①②④
类型1　函数关系的判断
【例1】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
关键能力·合作探究释疑难
①　　　②　　　　③　　　　④
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
√
(2)(多选题)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　)
A．f ：把x对应到3x＋1
B．g：把x对应到|x|＋1
C．h：把x对应到
D．r：把x对应到
√
√
(1)B　(2)AB　[(1)图①不满足定义域M＝{x|0≤x≤2}；
图③不满足集合N＝{y|0≤y≤2}；
图④不满足函数的定义，如x＝1时对应两个不同的y值．
(2)A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x<0时不满足，故选AB．]
反思领悟　1．判断一个对应关系是不是函数的方法
2．根据图形判断对应关系是不是函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l．
(2)在定义域内平行移动直线l．
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[跟进训练]
1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝N＋，对应关系f ：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
(2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应关系f ：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
(3)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应关系f ：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应关系f ：对A中元素求面积与B中元素对应．
[解]　(1)对于A中的元素0，在f 的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
(2)对于A中的元素±1，在f 的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f 的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
(3)对于A中的任一元素，在对应关系f 的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
(4)集合A不是数集，故不是函数．
类型2　求函数的定义域
【例2】　【链接教材P66例1】
求下列函数的定义域：
(1)f (x)＝2＋；
(2)f (x)＝(x－1)0＋；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝．
从f (x)由几部分组成，是否含有分母、开偶次方根、x0等角度思考使f (x)有意义的条件，进而进行解答．
[解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f (x)＝2＋有意义，
所以函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1，
所以函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，
所以函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
【教材原题·P66例1】
例1　确定下列函数的定义域：
(1)f (x)＝；(2)g(x)＝．
[分析]　若只给出函数的关系式y＝f (x)而没有指明其定义域，那么函数的定义域就是使关系式有意义的所有x值组成的集合．
[解]　(1)要使二次根式有意义，实数x需满足x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1．故函数f (x)的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．
(2)要使分式有意义，当且仅当分式的分母x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)≠0，即需满足x≠－1且x≠－2．故函数g(x)的定义域为(－∞，
－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)；也可表示为{x|x≠－1且x≠－2}或R\{－1，－2}．
反思领悟　求函数定义域的常用方法
(1)若f (x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f (x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f (x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f (x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f (x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟进训练]
2．求函数y＝的定义域．
[解]　要使函数有意义，只需
即
∴x≤－或2≤x<4，
∴函数的定义域为．
类型3　求函数值
【例3】　【链接教材P67例3】
设f (x)＝2x2＋2，g(x)＝．
(1)求f (2)，f (a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f (2))；
(2)求g(f (x))．
[解]　(1)因为f (x)＝2x2＋2，
所以f (2)＝2×22＋2＝10，
f (a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20．
因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＝(a≠－2)．
g(f (2))＝g(10)＝＝．
(2)g(f (x))＝＝＝．
【教材原题·P67例3】
例3　已知定义域为R的函数f (x)＝x＋1和g(x)＝x2，计算下列各式：
(1)f (2)＋g(3)；(2)f (a2)－g(a)；(3)f (f (f (0)))．
[解]　(1)f (2)＋g(3)＝(2＋1)＋32＝3＋9＝12；
(2)f (a2)－g(a)＝(a2＋1)－a2＝1；
(3)因为f (0)＝0＋1＝1，
所以f (f (0))＝f (1)＝1＋1＝2，
从而f (f (f (0)))＝f (2)＝2＋1＝3．
反思领悟　函数求值的方法
(1)已知f (x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x，即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则．
[跟进训练]
3．已知f (x)＝x3＋2x＋3，求f (1)，f (t)，f (2a－1)和f (f (－1))的值．
[解]　f (1)＝13＋2×1＋3＝6；
f (t)＝t3＋2t＋3；
f (2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；
∵f (－1)＝(－1)3＋2×(－1)＋3＝0，
∴f (f (－1))＝f (0)＝3．
学习效果·课堂评估夯基础
1．下列四个图象中，不是函数图象的是(　　)
A　 　　　　B　　 　　C　　　　　D
√
B　[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴(或y轴)的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B选项不符合此条件．故选B．]
2．(教材P67练习T1(1)改编)函数y＝的定义域是(　　)
A．{x|x≥－1}　 B．{x|－1≤x<0}
C．{x|x>－1} D．{x|－1√
C　[由x＋1>0得x>－1，
所以函数的定义域为{x|x>－1}．]
3．(多选题)下列关于函数y＝f (x)的说法正确的是(　　)
A．y是x的函数
B．x是y的函数
C．对于不同的x，y也不同
D．f (a)表示x＝a时，f (x)的函数值是一个常数
√
AD　[结合函数的定义可知AD正确．]
√
4．若f (x)＝，则f (3)＝_______，f (f (－2))＝_______．
－　[∵f (x)＝，
∴f (3)＝＝－．
∵f (－2)＝＝－，
∴f (f (－2))＝f ＝＝．]
－
5．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是______．(填序号)
④　[结合函数的定义可知y＝|x|符合题意．]
④
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个对应关系是不是函数的条件是什么？
[提示]　(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
2．f (x)与f (a)相同吗？两者存在怎样的联系？
[提示]　f (a)表示当x＝a时，函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a)是f (x)的一个特殊值，如一次函数f (x)＝3x＋4，当x＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
3．求函数y＝f (x)的定义域常注意哪些问题？
[提示]　(1)分母是不是零；(2)被开偶次方数是否非负；(3)x0中x是不是0；(4)实际意义．
函数定义的演变过程简介
在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间．
“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系．
阅读材料·拓展数学大视野
欧拉于1734年首先使用字母f 表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数．
1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法．
1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系，称这样的运算为函数．它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系．称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．
后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F．这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了．
可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱．
在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会事半功倍．为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如下图所示．
你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件容许的话，去查阅更多的有关资料吧！
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
一、选择题
1．已知函数f (x)＝，则f ＝(　　)
A．　　　　　　C．a　　　　D．3a
课时分层作业(十七)　函数的概念(一)
√
D　[f ＝3a，故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．下列表示y关于x的函数的是(　　)
A．y＝x2 B．y2＝x
C．|y|＝x D．|y|＝|x|
√
A　[结合函数的定义可知A正确，选A．]
3．(多选题)下列各图中，可能表示函数y＝f (x)的图象的是(　　)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
A　　　 　B　　　 　C　　　　　D
√
√
√
ACD　[结合函数的定义可知，ACD均可能，只有B中有1个x对应2个y的情况，不满足函数的定义，故选ACD．]
4．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．{x|x≥2} B．{x|x>2}
C．{x|x>2且x≠3} D．{x|x≥2且x≠3}
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[由题意可知∴∴x>2且x≠3，故选C．]
5．若函数f (x)＝ax2－1，a为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A　[∵f (－1)＝a－1，∴f (f (－1))＝f (a－1)＝－1＝－1，
∴a(a－1)2＝0，∴a＝0或a＝1．
又a>0，∴a＝1．]
二、填空题
6．已知函数f (x)＝－1，且f (a)＝3，则a＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16　[因为f (x)＝－1，所以f (a)＝－1．
又因为f (a)＝3，所以－1＝3，a＝16．]
16
7．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是________．(填序号)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f ：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝N＋，f ：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝；
④A＝[－1，1]，B＝{0}，f ：x→y＝0．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
④
④　[①中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应；②中也同样是集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应；对于③，集合A中负整数没有意义．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．如图所示，函数f (x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f (3)＝________，f (f (4))＝__________．(用数字作答)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1　0　[由题图可知f (3)＝1，f (4)＝2，则f (f (4))＝f (2)＝0．]
1
0
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)·(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)要使函数有意义，则|x|－x≠0，
即|x|≠x，得x<0，所以函数的定义域为(－∞，0)．
(3)要使函数有意义，则解得－≤x≤，且x≠±3，即定义域为{x|－≤x≤，且x≠±3}．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．(源自人教A版教材)已知函数f (x)＝，
(1)求函数的定义域；
(2)求f (－3)，f 的值；
(3)当a>0时，求f (a)，f (a－1)的值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}．所以，这个函数的定义域是{x|x≥
－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}，
即[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)将－3与代入解析式，有
f (－3)＝＝－1；
f ＝＝＝．
(3)因为a>0，所以f (a)，f (a－1)有意义．
f (a)＝；
f (a－1)＝＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．(多选题)设f ：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A可能是(　　)
A．{1} B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0}
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
ABC　[选项D中，当x＝0时，在集合B中没有值与之对应，其余选项均符合题意，故选ABC．]
√
√
12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f (x＋1)＝f (x)＋1恒成立的为(　　)
A．f (x)＝x＋1 B．f (x)＝－x2
C．f (x)＝ D．f (x)＝|x|
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A　[对于A选项，f (x＋1)＝(x＋1)＋1＝f (x)＋1，成立．
对于B选项，f (x＋1)＝－(x＋1)2≠f (x)＋1，不成立．
对于C选项，f (x＋1)＝，f (x)＋1＝＋1，不成立．
对于D选项，f (x＋1)＝|x＋1|，f (x)＋1＝|x|＋1，不成立．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．已知函数f (x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f ＋f (x－2)的定义域为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(1，2)　[由得1＜x＜2．]
(1，2)
14．函数f (x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为[－1，2]，图象如图2所示，若集合A＝{x|f (g(x))＝0}，B＝{x|g(f (x))＝0}，则A∩B中有________个元素．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3
3　[若f (g(x))＝0，则g(x)＝0或－1或1，
∴A＝{－1，0，1，2}，
若g(f (x))＝0，则f (x)＝0或2，
∴B＝{－1，0，1}，
∴A∩B＝{－1，0，1}．
故A∩B中有3个元素．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．已知函数f (x)＝．
(1)求f (2)＋f ，f (3)＋f 的值；
(2)求证：f (x)＋f 是定值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)∵f (x)＝，
∴f (2)＋f ＝＝1．
f (3)＋f ＝＝1．
(2)证明：f (x)＋f ＝＝＝＝1．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢！