【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1 3.1.2 表示函数的方法 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共58张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第3章　函数的概念与性质
3.1　函数
3.1.2　表示函数的方法
学习任务 核心素养
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点) 1．通过函数表示的图象法培养直观想象素养．
2．通过函数解析式的求法培养数学运算素养．
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数的解析式．
必备知识·情境导学探新知
(2)如下图是某中学升学率的变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
知识点　函数的表示法
解析式
图象
表格
思考　任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？
[提示]　不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝
列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
提醒 函数三种表示法的优缺点比较
体验　1．已知函数f (x)由下表给出，则f (3)等于(　　)
A．1
B．2　　　　
C．3　　　　
D．不存在
C　[∵当2x 1≤x<2 2 2f (x) 1 2 3
√
体验　2．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(　　)
A．y＝－x2＋1
B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16
D．y＝－4x2＋16
√
B　[把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．]
体验　3．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则其定义域是_________________．
[－2，3]
[－2，3]　[由图象可知f (x)的定义域为[－2，3]．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　函数的三种表示方法
【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解]　(1)列表法如下：
x(台) 1 2 3 4 5
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x(台) 6 7 8 9 10
y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：如图所示．

(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
反思领悟　列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法中要注意图象是离散点还是连续的曲线．
[跟进训练]
1．已知函数f (x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f (x)．
[解]　用图象法表示函数y＝f (x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f (x)，如表所示．
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
类型2　图象的画法及应用
【例2】　作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
[解]　(1)列表
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函数图象只是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}．
(2)列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．
(3)列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2上的部分．
由图可得函数的值域为[－1，8)．
反思领悟　描点法作函数图象的3个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
[跟进训练]
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
[解]　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)
是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间
的部分后剩余曲线．如图②实线部分．
类型3　函数解析式的求法
【例3】　(1)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________________；
(2)已知函数f (x)是一次函数，若f (f (x))＝4x＋8，则f (x)＝__________________________；
(3)已知函数f (x)对于任意的x都有f (x)－2f (－x)＝1＋2x，则f (x)＝______________．
x2－4x＋3(x≥1)
2x＋或－2x－8
x－1
(1)已知f (x)的解析式，我们可以用代入法求f (g(x))，反之，若已知
f (g(x))，如何求f (x) ？
(2)若f (x)＝kx＋b(k≠0)，则f (f (x))如何运算？
(3)从f (x)－2f (－x)＝1＋2x中我们能发现f (x)的定义域有何特征？如何应用该特征解题？
(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)2x＋或－2x－8　(3)x－1　[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋1≥1，
所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b．
又f (f (x))＝4x＋8，
所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
所以f (x)＝2x＋或f (x)＝－2x－8．
(3)由题意，在f (x)－2f (－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f (－x)－
2f (x)＝1－2x，联立可得消去f (－x)可得f (x)＝x－1．]
反思领悟　求函数解析式的4种常用方法
(1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个函数之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)是二次函数，且f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求f (x)的解析式；
(2)若2f ＋f (x)＝x(x≠0)，求f (x)的解析式．
[解]　(1)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f (0)＝1得c＝1．
又f (x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，∴f (x＋1)－f (x)＝2ax＋a＋b．
由2ax＋a＋b＝2x，得
解得a＝1，b＝－1．∴f (x)＝x2－x＋1．
(2)f (x)＋2f ＝x(x≠0)，令x＝，得f ＋2f (x)＝．
于是得关于f (x)与f 的方程组
解得f (x)＝(x≠0)．
1．由下表给出函数y＝f (x)，则f (f (1))等于(　　)
A．1
B．2　　　　
C．4　　　　
D．5
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[由题意可知，f (1)＝4，f (4)＝2，∴f (f (1))＝f (4)＝2，故选B．]
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
2．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　 　　　　　D
√
D　[结合题意可知，该学生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选D．]
3．已知函数f (x＋1)＝3x＋2，则f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3x－1 B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x＋2 D．f (x)＝3x＋4
√
A　[令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1．∴f (x)＝3x－1．]
4．已知f (x)的图象如图所示，则f (x)的定义域为________________，
值域为____________．
[－2，4]∪[5，8]　[－4，3]　[由函数的图象可知，f (x)的定义域为[－2，4]∪[5，8]，f (x)的值域为[－2，3]∪[－4，2.7]，即[－4，3]．]
[－2，4]∪[5，8]
[－4，3]
5．已知二次函数f (x)的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f (x)的解析式为____________________________．
f (x)＝－(x＋2)2＋3　[由题意可设f (x)＝a(x＋2)2＋3，又f (－3)＝2，∴a(－3＋2)2＋3＝2，∴a＝－1．∴f (x)＝－(x＋2)2＋3．]
f (x)＝－(x＋2)2＋3
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数的常用表示方法有哪三种？
[提示]　列表法、解析法和图象法．
2．函数的图象一定是一条光滑的曲线吗？
[提示]　不一定，函数的图象有可能是一些离散的点．
3．求函数解析式的常用方法有哪些？
[提示]　①对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，常用换元法或配凑法；
②对于已知函数类型的求f (x)常用待定系数法；
③对于同时含有f (x)，f (－x)的表达式求f (x)，常用解方程组法．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　)
A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})
课时分层作业(十九)　表示函数的方法
√
D　[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D．]
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2．已知函数y＝f (x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f (g(2))的值为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
√
B　[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f (g(2))＝f (1)＝2．]
x 1 2 3
f (x) 2 3 0
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
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A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
C　[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]
√
4．如果f ＝，则当x≠0，1时，f (x)等于(　　)
A．
C． －1
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√
B　[令＝t，则x＝，代入f ＝，则有f (t)＝＝，所以
f (x)＝．故选B．]
5．若f (x)是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x)＝(　　)
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
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√
B　[设f (x)＝ax＋b(a≠0)，由题设有
解得
即f (x)＝3x－2．所以选B．]
二、填空题
6．已知f (2x＋1)＝x2－2x，则f (3)＝________．
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－1　[由2x＋1＝3得x＝1，
∴f (3)＝1－2＝－1．]
－1
7．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为________．
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－1　[若a＞0，则对称轴x＝－＜0，故排除图②和图④，若a＜0，则对称轴x＝－＞0，故函数图象为图③，由图知，函数过点(0，0)，∴a2－1＝0，∴a＝－1．]
－1
8．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是___________________________．
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y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)　[由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0．]
y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)
三、解答题
9．画出二次函数f (x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；
(2)求函数f (x)的值域．
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[解]　f (x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示：
(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3)．
(2)由图象可知二次函数f (x)的最大值为f (1)＝4，
则函数f (x)的值域为(－∞，4]．
10．(1)已知f (x)是一次函数，且满足2f (x＋3)－f (x－2)＝2x＋21，求f (x)的解析式；
(2)已知f (x)为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x－1)－f (x)＝4x，求f (x)的解析式；
(3)已知f ＝x2＋＋1，求f (x)的解析式．
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[解]　(1)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f (x＋3)－f (x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，所以f (x)＝2x＋5．
(2)因为f (x)为二次函数，
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f (0)＝1，得c＝1．
又因为f (x－1)－f (x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，解得a＝－2，b＝－2，
所以f (x)＝－2x2－2x＋1．
(3)因为f ＝＋2＋1＝＋3，所以f (x)＝x2＋3．
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11．(多选题)已知f (x)＝，则f (x)满足的关系有(　　)
A．f (－x)＝f (x) B．f ＝－f (x)
C．f ＝f (x) D．f ＝－f (x)
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√
√
√
ABD　[f (－x)＝＝＝f (x)，故A正确；
f ＝＝＝－f (x)，故B正确，C错误；
f ＝＝＝＝－f (x)，故D正确，故选ABD．]
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12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
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√
B　[根据规定，每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，所以B项符合题意．
也可以用特殊值法：
若x＝56，y＝5，排除C，D．若x＝57，y＝6，排除A．]
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13．已知f (x＋1)＝2x2＋1，则f (x－1)＝_________________．
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2(x－2)2＋1　[∵f (x＋1)＝2x2＋1，
∴f (x)＝2(x－1)2＋1，∴f (x－1)＝2(x－2)2＋1．]
2(x－2)2＋1
14．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的表达式为_______________，自变量x满足的条件是________．
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y＝x　{x|x>0}　[由题意可知正方形的边长为，∴＝2y，即y＝x，其中x>0．]
y＝x
{x|x>0}
15．已知函数f (x)对任意实数a，b，都有f (ab)＝f (a)＋f (b)成立．
(1)求f (0)与f (1)的值；
(2)求证：f ＝－f (x)；
(3)若f (2)＝p，f (3)＝q(p，q均为常数)，求f (36)的值．
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[解]　(1)令a＝b＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，
解得f (0)＝0；令a＝1，b＝0，
得f (0)＝f (1)＋f (0)，解得f (1)＝0．
(2)证明：令a＝，b＝x，
得f (1)＝f ＋f (x)＝0，∴f ＝－f (x)．
(3)令a＝b＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2p，
令a＝b＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q．
令a＝4，b＝9，得f (36)＝f (4)＋f (9)＝2p＋2q．
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谢 谢！