【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 5.2.1 任意角三角函数的定义 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共65张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　三角函数
5.2　任意角的三角函数
5.2.1　任意角三角函数的定义
学习任务 核心素养
1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点) 2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点) 3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点) 1．通过三角函数的概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助公式的运算，提升数学运算素养．
在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，在角α的终边上任取不同于原点O的一点P，点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝)，那么
y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
名称 定义 定义域
正弦 sin α＝ R
余弦 cos α＝ R
正切 tan α＝
思考　1．对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
[提示]　不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
思考　2．若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
[提示]　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．
体验　1．若角α的终边经过点P，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________．
－　－1　[由题意可知
|OP|＝＝1(O为坐标原点)，
∴sin α＝＝－；cos α＝＝；tan α＝＝－1．]
－
－1
知识点2　三角函数值在各象限的符号
体验　2．(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”或“＜”)
(2)cos 3tan 4________0．(填“>”或“<”)
(1)＞　(2)＜　[(1)∵α在第三象限，
∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0．
(2)∵＜3＜π，π＜4＜，
∴3是第二象限角，4是第三象限角，
∴cos 3＜0，tan 4＞0，∴cos 3tan 4＜0．]
＞
＜
知识点3　三角函数线
(1)有向线段：规定了______(即规定了起点和终点)的线段；
有向直线：规定了_________的直线；
有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向_______________，分别把它的长度添上_______________，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB．
方向
正方向
相同或相反
正号或负号
(2)三角函数线
DP
OD
AT
体验　3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)α一定时，单位圆中的正弦线一定． (　　)
(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等． (　　)
√
×
关键能力·合作探究释疑难
类型1　三角函数的定义及应用
【例1】　(1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
(2)当α＝－时，求sin α，cos α，tan α的值．
[解]　(1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝＝，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2．
当α的终边在第四象限时，
在α终边上取一点P′(1，－2)，
则r＝＝，所以sin α＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－2．
(2)当α＝－时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)(x＞0，y＜0)，
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x＝，由勾股定理得＋y2＝1，y＜0，解得y＝－，所以P．因此sin α ＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－．
[母题探究]
1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“y＝－x”，其他条件不变，结果又如何？
[解]　当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，)，则r＝2，
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－)，则r＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．
2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a，4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α．
[解]　因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以2sin α＋cos α＝＝1．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，所以2sin α＋cos α＝－＝－1．
反思领悟　1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，
则sin α＝，cos α＝．当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
2．已知特殊角α，求三角函数值的方法
(1)先设出角α的终边与单位圆的交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．
(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P到原点的距离r＝1)
3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[跟进训练]
1．已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ．
[解]　由题意知r＝，由三角函数的定义得cos θ＝＝．
∵cos θ＝x，∴＝x．∵x≠0，∴x＝±1．
当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3．
当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3．
2．当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值．
[解]　当α＝时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)(x＜0，y＜0)，
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x＝－，由勾股定理得＋y2＝1，y＜0，
解得y＝－，所以P．
因此sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝．
类型2　三角函数值的符号
【例2】　(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号．
①tan 191°－cos 191°；
②sin 2 cos 3 tan 4．
√
(1)D　[由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．]
(2)[解]　①∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°＜0，∴tan 191°－cos 191°>0．
②∵＜2<π，＜3<π，π<4＜，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4＜0．
反思领悟　判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限．
(2)关键：准确记忆三角函数值在各象限的符号．
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．
[跟进训练]
3．判断下列式子的符号：
(1)tan 108°·cos 305°；
(2)；
(3)tan 120°·sin 269°．
[解]　(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0．
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0．
∴tan 108°·cos 305°<0．
(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
∴cos ＜0，tan ＜0，sin ＞0．
∴＞0．
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0．
∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0，
∴tan 120°·sin 269°＞0．
类型3　应用三角函数线解三角不等式
【例3】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)cos α≤－．
(1)在单位圆中，满足sin α＝的正弦线有几条？试在图中明确．
(2)在单位圆中，满足cos α＝－的余弦线有几条？试在图中明确．
[解]　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为．
①　　　　　　　②　
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为．
反思领悟　利用三角函数线解三角不等式的方法
(1)正弦、余弦型不等式的解法
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．
(2)正切型不等式的解法
对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．
[解]　由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴函数f (x)的定义域为．
[跟进训练]
4．求函数f (x)＝＋ln 的定义域．
1．若sin α<0，tan α>0，则α终边所在象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[由sin α＜0可知α的终边落在第三或第四象限或y轴的负半轴上．
由tan α＞0可知α的终边落在第一或第三象限内．
故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．]
2．(多选题)(教材P167练习T1改编)下列三角函数值判断错误的是(　　)
A．sin 165°>0 B．cos 280°<0
C．tan 170°>0 D．tan 310°>0
√
BCD　[∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0．
又270°<280°<360°，
∴cos 280°>0．又270°<310°<360°，∴tan 310°<0．
又90°<170°<180°，∴tan 170°<0．]
√
√
3．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值等于________．
－1　[由三角函数的定义知tan α＝＝－1．]
4．已知角α终边过点P，则cos α等于________．
　[由三角函数的定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝．]
－1
5．已知sin θ·tan θ＜0，那么θ是第________象限角．
二或三　[因为sin θ·tan θ<0，所以sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，
tan θ<0．若sin θ＞0，tan θ<0，则θ在第二象限；若sin θ<0，
tan θ>0，则θ在第三象限．]
二或三
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．三角函数值的大小与取点有关吗？与什么有关？
[提示]　三角函数值的大小与终边所在的位置有关，与取点无关．
2．求一个角的三角函数值需确定几个量？分别是什么？
[提示]　确定三个量，角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．
3．已知角的大小，怎样利用定义求三角函数值？
[提示]　确定出角的终边与单位圆的交点坐标．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．若角α的终边落在y＝－x上，则tan α的值可能为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
课时分层作业(四十)　任意角三角函数的定义
√
A　[设P(a，－a)是角α上任意一点，
若a>0，P点在第四象限，tan α＝＝－1，
若a<0，P点在第二象限，tan α＝＝－1．]
题号
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2．已知角α的终边经过点(－，m)(m≠0)且sin α＝m，则cos α的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．±
√
C　[∵r＝＝，∴sin α＝＝，
∴m2＝，∴cos α＝＝－．故选C．]
题号
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3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
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√
B　[由P(tan α，cos α)在第三象限可知tan α<0，cos α<0．
由tan α<0得，角α的终边在第二或第四象限，
由cos α<0得，角α的终边在第二或第三象限或x轴的负半轴．
故角α的终边在第二象限．]
4．sin 1·cos 2·tan 3的值是(　　)
A．正数 B．负数
C．0 D．不存在
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√
A　[∵0<1<＜2＜π，＜3＜π，
∴sin 1＞0，cos 2＜0，tan 3＜0，
∴sin 1·cos 2·tan 3＞0．]
D　[因为π＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b．
sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0，所以sin 3－cos 3>0．
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0．
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]
5．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
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√
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，若角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin α·tan β＝________．
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－　[由三角函数的定义知sin α＝，tan β＝＝－．
所以sin α·tan β＝＝－．]
－
cos ＜sin ＜tan 　[由图可知：
cos ＜0，tan ＞0，sin ＞0．
∵MP＜AT，∴sin ＜tan ．
故cos ＜sin ＜tan ．]
7．sin ，cos ，tan 按从小到大的顺序排列是
_______________________．
题号
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cos ＜sin ＜tan
8．若角α终边经过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)，则cos α＝________，tan α＝_______________．
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－　－或　[∵角α过点P(－，y)，
∴sin α＝＝y，又y≠0，
∴＝．
－
－或
∴|OP|＝＝＝＝r，
∴cos α＝＝＝－．
由＝得y＝±，当y＝时，tan α＝－，当y＝－时，tan α＝．]
题号
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三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；
(2)sin 285°cos (－105°)；
(3)sin 3·cos 4·tan ．
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[解]　(1)因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0，所以sin α·cos α<0．
(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0，因为－105°是第三象限角，所以cos (－105°)<0，
所以sin 285°cos (－105°)>0．
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(3)因为＜3<π，π<4＜，
所以sin 3>0，cos 4<0．
因为－＝－6π＋，
所以tan ＞0，
所以sin 3·cos 4·tan ＜0．
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10．已知＝－，且lg cos α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
题号
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[解]　(1)由＝－可知sin α＜0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lg cos α有意义可知cos α＞0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角．
综上可知角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴＋m2＝1，解得m＝±．
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－．
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－．
题号
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11．(多选题)已知cos α>cos β，那么下列结论不成立的是(　　)
A．若α，β是第一象限角，则sin α＞sin β
B．若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β
C．若α，β是第三象限角，则sin α＞sin β
D．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β
题号
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√
√
√
ABC　[由图(1)可知，cos α>cos β时，sin α＜sin β，A错误；由图(2)可知，cos α>cos β时，tan α＜tan β，B错误；由图(3)可知，cos α>cos β时，sin α＜sin β，C错误；由图(4)可知，cos α>cos β时，tan α＞
tan β，D正确．]
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图(1)　　　　 图(2) 　　　 　 图(3)　　 　图(4)
12．若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是(　　)
A．sin B．cos
C．tan D．cos 2α
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√
C　[由α为第四象限角，得2kπ＋＜α＜2kπ＋2π(k∈Z)，故kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，∈，此时，是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，∈，此时，是第四象限角．
故无论终边落在第二还是第四象限，tan ＜0恒成立．
又4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)，
故cos 2α有可能为正也有可能为负．]
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13．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为________．
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　[因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，又θ∈，所以θ＝．]
　[利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值
范围是．]
14．若0<α<2π，且sin α＜，cos α＞．利用三角函数线，得到α的
取值范围是______________________．
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15．已知sin θ＜0，tan θ＞0．
(1)求角θ的集合；
(2)求的终边所在的象限；
(3)试判断sin cos tan 的符号．
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[解]　(1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，因为tan θ>0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，角θ的集合为
．
(2)由(1)可得，kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z．
当k是偶数时，终边在第二象限；
当k是奇数时，终边在第四象限．
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15
(3)由(2)可得
当k是偶数时，sin ＞0，cos ＜0，tan ＜0，
所以sin cos tan ＞0；
当k是奇数时，sin ＜0，cos ＞0，
tan ＜0，所以sin cos tan ＞0．
综上知，sin cos tan ＞0．
题号
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谢 谢！