【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共68张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　三角函数
5.2　任意角的三角函数
5.2.2　同角三角函数的基本关系
学习任务 核心素养
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点) 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点) 1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．
2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养．
结合三角函数的定义，分析同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？
必备知识·情境导学探新知
知识点　同角三角函数的基本关系
(1)平方关系
①公式：sin2α＋cos2α＝____．
②语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于____．
(2)商数关系
①公式：_______．
②语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于_____________．
1
1
tan α
角α的正切
思考　对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
[提示]　成立．平方关系中强调的同一个角是任意的，与角的表达形式无关．
提醒　对同角三角函数的基本关系的解读
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
体验　1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)
A．tan α＝－
B．cos α＝－
C．sinα＝－
D．tanα＝
√
B　[由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B正确．]
体验　2．已知cos α＝－，且α为第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________．
－　[∵cos α＝－，α为第三象限角，
∴sin α＝－＝－＝－．
tanα＝＝＝．]
－
关键能力·合作探究释疑难
类型1　直接应用同角三角函数关系求值
【例1】　【链接教材P168例5、P169例6】
(1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________．
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
－
(1)－　[由已知得
由①得sin α＝2cos α，
代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝．
又α∈，所以cosα＜0，所以cos α＝－．]
(2)[解]　∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tanα＝＝＝－．
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tanα＝．
【教材原题·P168例5、P169例6】
例5　已知sin α＝－，求cos α，tan α的值．
[解]　因为sin α<0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α＋cos2α＝1得
cos2α＝1－sin2α＝1－＝．
如果α是第三象限角，那么cosα<0．于是cos α＝－＝－，
从而tan α＝＝＝．
如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－．
例6　已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α．
[解]　由角α在第三象限知：sin α<0，cos α<0．
由＝tan α＝k，得sin α＝k cos α．
将上式代入sin2α＋cos2α＝1，
得k2cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝．
因此cosα＝－，sin α＝tan α·cos α＝－．
反思领悟　求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
[跟进训练]
1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
[解]　∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α．
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cosα＝±．
又由sin α＝－3cos α，
可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；
当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－．
类型2　应用同角三角函数关系式化简、证明
【例2】　(1)化简＝________．
(2)求证：．
1
(1)1　[原式＝＝＝1．]
(2)[证明]　法一(切化弦)：
左边＝，
右边＝＝．
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)，
所以＝，
所以左边＝右边．所以原等式成立．
法二(由右至左)：
因为右边＝＝
＝＝
＝＝左边，
所以原等式成立．
反思领悟　1．三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1．
(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
[跟进训练]
2．(1)化简tanα，其中α是第二象限角；
(2)求证：＝．
(1)[解]　因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0．
故tan α＝tan α·＝－1．
(2)[证明]　左边＝
＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
类型3　灵活应用同角三角函数关系式求值
【例3】　(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________．
(2)已知＝2，计算下列各式的值．
①；
②sin2α－2sinαcos α＋1．
－
(1)sin α±cos α，sin αcos α之间存在怎样的内在联系？
(2)你能从“tan α＝”中体会到怎样的变换技巧？
(1)－　[法一(构建方程组)：
因为sin α＋cos α＝，①
所以sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，即2sin αcos α＝－．
因为α∈(0，π)，2sin αcos α＝－<0，
所以α∈，所以sin α＞0，cos α＜0．
所以sin α－cos α＝＝＝．②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝＝－．
法二(弦化切)：
同法一求出sin αcos α＝－，
整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，
解得tan α＝－或tan α＝－．
由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，
故tan α＝－．]
(2)[解]　由＝2，化简，
得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3．
①法一(换元)：原式＝＝＝．
法二(弦化切)：原式＝＝＝．
②原式＝＝＋1＝．
[母题探究]
将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？
[解]　由例(1)求出2sinαcos α＝－，
因为α∈(－π，0)，所以α∈，所以sin α＜0，cos α＞0，
所以sin α－cos α＝－＝－＝－．
与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝－，cos α＝，所以tan α＝＝－．
反思领悟　1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
2．已知tan α，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法
已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式(每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同)的值．
(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以cos α；形如式，可将分子、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的分式求解．
[跟进训练]
3．若sinαcos α＝－，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝________．
－　[因为sin αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0，
cos α－sin α＝－＝－＝－．]
－
B　[因为tan α＝，所以cos α＝＝＝．]
学习效果·课堂评估夯基础
1．已知sin α＝，tan α＝，则cos α＝(　　)
A．　　　　C．　　　　D．
√
2．已知tan α＝－，则的值是(　　)
A． B．3　　　
C．－　　　 D．－3
√
A　[因为tanα＝－，
所以．]
3．化简的结果是(　　)
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
√
C　[因为是第二象限角，所以cos ＜0，
所以＝＝＝－cos ．]
4．(教材P169练习T1改编)已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________．
－　[因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限角，所以cosα＜0，所以cos α＝－．]
－
5．化简(1－cos α)的结果是___________．
sin α　[
＝sin α．]
sin α
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．sin α，cos α，tan α间存在怎样的等量关系？
[提示]　sin2α＋cos2α＝1，tanα＝，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝tan αcos α，…．
2．如何实现“sin α＋cos α”“sin α－cos α”及sin α·cos α之间的互化？
[提示]　借助(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α实现三者之间的转化．
3．常用哪些方法证明三角恒等式？
[提示]　(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．
更多三角函数及关系式
除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数．
事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝，则r>0，此时
(1)称为α的正割，记作sec α，即
sec α＝；
阅读材料·拓展数学大视野
(2)称为α的余割，记作csc α，即
csc α＝；
(3)称为α的余切，记作cot α，即
cot α＝．
由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，cot α，csc α没有意义．
正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即
sec α＝，
csc α＝，
cot α＝．
另外，由于
tan2α＋1＝＋1
＝
＝＝sec2α，
因此
tan2α＋1＝sec2α．
类似地，还能得到
cot2α＋1＝csc2α．
习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：
图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即
cosαsec α＝1，
sin αcsc α＝1，
tan αcot α＝1．
每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．
你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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一、选择题
1．已知α是第三象限角，且sinα＝－，则3cos α＋4tan α＝(　　)
A．－　　　　　 B．
C．－
课时分层作业(四十一)　同角三角函数的基本关系
√
A　[因为α是第三象限角，且sin α＝－，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以tanα＝＝＝，
所以3cos α＋4tan α＝－2＝－．]
题号
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2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A．
C．1　　　　 D．
√
C　[原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1．]
3．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B．－
C．
题号
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√
B　[sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－．]
4．化简cos2x等于(　　)
A．tanx B．sin x
C．cos x D．
题号
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√
D　[原式＝·cos2x＝·cos2x
＝·cos2x＝＝．]
5．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝(　　)
A．　　　　B．－　　　　C．　　　　D．－
题号
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√
B　[由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，得2sin θcos θ＝，
则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，由0<θ≤，知sin θ－cos θ
≤0，所以sin θ－cos θ＝－．]
二、填空题
6．已知＝－5，则tan α＝________．
题号
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－　[∵＝＝－5，
∴tan α－2＝－15tan α－25，
∴16tan α＝－23，即tan α＝－．]
－
7．化简：·sin2x＝________．
题号
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tanx　[原式＝·sin2x＝·sin2x＝＝tan x．]
tanx
8．已知cos α＋2sin α＝－，则tan α＝________．
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2　[由
得(sin α＋2)2＝0，
∴sin α＝－，cos α＝－，∴tan α＝2．]
2
三、解答题
9．求证：＝．
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[证明]　法一：由cos x≠0，知sin x≠－1，
所以1＋sin x≠0，于是
左边＝＝＝＝＝右边．
所以，原式成立．
法二：因为(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2x＝cos2x＝cosx cos x，
且1－sin x≠0，cos x≠0，
所以＝．
题号
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10．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝．
(1)求sin A cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
题号
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[解]　(1)∵sin A＋cos A＝， ①
两边平方，得1＋2sin A cos A＝，
∴sin A cos A＝－．
(2)由sin A cos A＝－<0，且0可知cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
题号
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(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝1＋＝，
又∵sin A>0，cos A<0，
∴sin A－cos A>0，
∴sin A－cos A＝． ②
由①②可得sin A＝，cos A＝－，
∴tan A＝＝＝－．
题号
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11．若＝－，则的值是(　　)
A．　　　　B．－　　　　C．　　　　D．－
题号
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√
D　[由sin2α＋cos2α＝1，得1－cos2α＝sin2α，
∴．
∵＝－，∴＝－，即＝－．]
12．(多选题)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的是(　　)
A．tan α＝　　　　　　　
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝
D．sin α－cos α＝－
题号
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√
√
AB　[∵sin α＝，且α为锐角，
∴cos α＝＝＝，故B正确，
∴tanα＝＝＝，故A正确，
∴sin α＋cos α＝＝≠，故C错误，
∴sin α－cos α＝＝≠－，故D错误．故选AB．]
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13．已知sin θ＝，cos θ＝，则m的值为________，tan θ＝_________________．
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0或8　－或－　[因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以＋＝1．
整理得m2－8m＝0，解得m＝0或8．
又tanθ＝＝，当m＝0时，tan θ＝－；
当m＝8时，tan θ＝－．]
0或8
－或－
14．已知sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＝________．
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±　[＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋
2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±．]
±
15．(1)分别计算cos4 －sin4 和cos2 －sin2 ，cos 的值，你有什么发现？
(2)计算cos4 －sin4 ，cos2 －sin2 ，cos 的值，你有什么发现？
(3)证明： x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x．
(4)推测 x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明．
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[解]　(1)cos4 －sin4 ＝
＝cos2 －sin2 ＝＝＝cos ．
(2)cos4 －sin4 ＝
＝cos2 －sin2 ＝＝0＝cos ．
(3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x．
(4)推测cos2x－sin2x＝cos2x．
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谢 谢！