【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.3 5.3.1 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共61张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　三角函数
5.3　三角函数的图象与性质
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象
学习任务 核心素养
1．了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点) 2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点) 3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点) 1．通过作正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养．
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，
这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动
的图象．物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”
或“余弦曲线”．你能描述一下该类曲线的特征吗？
必备知识·情境导学探新知
知识点　正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键 五点 (0，0)，，(π，0)，，(2π，0) (0，1)，，______________，，(2π，1)
正(余) 弦曲线 正(余)弦函数的______叫作正(余)弦曲线
(π，－1)
图象
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同． (　　)
(2)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称． (　　)
(3)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称． (　　)
√
×
×
体验　2．函数y＝cos x，x∈R图象的一条对称轴是(　　)
A．x轴 B．y轴
C．直线x＝ D．直线x＝
√
B　[易知y＝cos x的图象关于y轴对称．故选B．]
体验　3．函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝1的交点有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
√
A　[结合y＝sin x，x∈[0，π]的图象可知，直线y＝1与其有且只有一个交点．故选A．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
【例1】　(1)下列叙述中正确的个数是(　　)
①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0　　 　B．1　　 　C．2　　 　D．3
√
(2)函数y＝sin |x|的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B


C　　　　　　　　　D
√
(1)D　(2)B　[(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象(略)，由图象观察可知①②③均正确．
(2)y＝sin |x|＝
结合选项可知B正确．]
反思领悟　1．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
2．正、余弦曲线的对称性
对称中心 对称轴
y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos x(x∈R) ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1．
[跟进训练]
1．下列函数图象相同的是(　　)
A．f (x)＝sin x与g(x)＝sin (π＋x)
B．f (x)＝sin 与g(x)＝sin
C．f (x)＝sin x与g(x)＝sin (－x)
D．f (x)＝sin (2π＋x)与g(x)＝sin x
√
D　[对于选项A，g(x)＝sin (π＋x)＝－sin x，故两函数图象不同；
对于B，f (x)＝－cos x，g(x)＝cos x，故两函数图象不同；
对于C，g(x)＝sin (－x)＝－sin x，故两函数图象不同；D中f (x)＝
sin (2π＋x)＝sin x＝g(x)，符合题意，故选D．]
类型2　用“五点法”作三角函数的图象
【例2】　【链接教材P179例1】
用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
y＝sin x及y＝cos x的图象分别由哪五个关键点决定？能否借助这五个关键点作出相应函数的图象？
[解]　(1)①取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
②描点连线，如图所示．
(2)①取值列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1＋cos x 0 －1 －2 －1 0
②描点连线，如图所示．
【教材原题·P179例1】
例1　用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)y＝1＋sin x，x∈[0，2π]；
(2)y＝2cos x，x∈[0，2π]．
[解]　(1)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1＋sin x 1 2 1 0 1
描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图5.3-5．
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2cos x 2 0 －2 0 2
描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图5.3-6．
反思领悟　用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)或y＝A cos x＋b(A≠0)在[0，2π]上简图的步骤
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x (或cos x) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1 (或0) 0(或1)
y b (或A＋b) A＋b (或b) b (或－A＋b) －A＋b (或b) b
(或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1，2，3，4，5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝A sin x＋b(y＝A cos x＋b)(A≠0)的图象．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．
[跟进训练]
2．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的图象．
[解]　取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
＋sin x －
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)．
类型3　正弦(余弦)函数图象的应用
【例3】　利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sin x≥；(2)cos x≤．
[解]　(1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z．
(2)作出余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z．
反思领悟　利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的3个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x的值．
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
提醒：解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
[跟进训练]
3．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是___________．
　[在同一平面直角坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，2π)与y＝cos x，x∈(0，2π)的图象如图所示，
由图象可观察出当x∈时，sin x>cos x．]
1．(教材P180练习(2)改编)函数y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　)
学习效果·课堂评估夯基础
A　　　　　　B
C　　　　　　D
√
B　[y＝sin (－x)＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称．]
2．(多选题)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是
(　　)
A．都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin (－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
√
√
√
3．在区间[－2π，2π]上满足sin x＝0的x的值有(　　)
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
√
B　[如图，在[－2π，2π]上使sin x＝0的x的值共有5个，故选B．]
4．要得到y＝cos x，x∈[－2π，0]的图象，只需将y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向________平移________个单位长度．
左　2π　[向左平移2π个单位长度即可．]
左
2π
5．在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集为_____________．
　[由图可知，当x∈时，不等式sin x<－成立．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．画正(余)弦曲线的五个关键点分别是什么？
[提示]　正弦曲线：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦曲线：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦曲线与余弦曲线的形状相同吗？如何由正弦曲线平移得到余弦曲线？
[提示]　相同，把正弦曲线向左平移个单位长度即可得到余弦曲线．(方法不唯一)
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．用“五点法”作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　)
A．0，，π，，2π　 B．0，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，
课时分层作业(四十四)　正弦函数、余弦函数的图象
√
A　[依据“五点法”作图规则可知选A．]
题号
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2．若点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于(　　)
A．0 B．1
C．－1　　　　 D．2
√
C　[当x＝时，y＝sin ＝1，故－m＝1，m＝－1．]
3．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
题号
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√
C　[由解析式可知若y＝cos x的图象过点(a，b)，则y＝－cos x的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．]
4．已知f (x)＝sin ，g(x)＝cos ，则f (x)的图象(　　)
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位长度，得到g(x)的图象
D．向右平移个单位长度，得到g(x)的图象
题号
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√
D　[f (x)＝sin ＝cos x，g(x)＝cos ＝cos ＝sin x，
f (x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象．]
A　　　　　B　　　　C　　　　D
5．函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图是(　　)
题号
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√
A　[y＝2－sin x，x∈[0，2π]的图象可由y＝－sin x的图象向上平移2个单位长度得到．故选A．]
二、填空题
6．用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是_________________________________________．
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(0，0)，，(π，2)，，(2π，0)　[x依次取0，，π，，2π得五个关键点(0，0)，，(π，2)，，(2π，0)．]
(0，0)，，(π，2)，，(2π，0)
7．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表．
题号
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x 0 ① 2π
－sin x ② －1 0 ③ 0
①________；②________；③________．
π
0
1
π　0　1　[用“五点法”作y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，故①为π，②为0，③为1．]
题号
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8．函数y＝lg (－2cos x)的定义域是____________________________．
题号
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　[由－2cos x＞0得cos x＜，
作出y＝cos x的图象和直线y＝，
由图象可知cos x＜的解集为．]
三、解答题
9．用“五点法”作下列函数的简图．
(1)y＝2sin x(x∈[0，2π])；
(2)y＝sin ．
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[解]　(1)列表如下：
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x 0 π 2π
2sin x 0 2 0 －2 0
描点连线如图：
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(2)列表如下：
x π 2π
sin 0 1 0 －1 0
描点连线如图：
10．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1．
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
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[解]　列表如下：
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x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，
所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1．
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1题号
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11．(多选题)下列命题中的真命题是(　　)
A．y＝sin |x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B．y＝cos (－x)的图象与y＝cos |x|的图象相同
C．y＝|sin x|的图象与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cos x的图象与y＝cos (－x)的图象相同
题号
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√
√
BD　[对于B，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对于D，y＝cos (－x)＝cos x，故这两个函数图象相同，作图(图略)可知A，C均是假命题．]
题号
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12．如图所示，函数y＝cos x·|tan x|的图象是(　　)
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A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
C　[当0≤x＜时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；
当＜x≤π时，y＝cos x·|tan x|＝－sin x；
当π＜x＜时，y＝cos x·|tan x|＝sin x，故其图象为C．]
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A　[在同一平面直角坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．]
13．方程sin x＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8
C．9　　　　 D．10
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√
14．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，则这个封闭图形的面积为________．
题号
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4π
4π　[观察题干图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4．
因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形的面积，可以等价转化为矩形OABC的面积．
∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S矩形OABC＝2×2π＝4π，
∴所求封闭图形的面积为4π．]
题号
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[解]　f (x)＝sin x＋2|sin x|＝
图象如图所示，若使f (x)的图象与直线
y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上
图可得k的取值范围是(1，3)．
15．函数f (x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
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谢 谢！