【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.3 5.3.1 第3课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共65张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　三角函数
5.3　三角函数的图象与性质
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第3课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
学习任务 核心素养
1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 3．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点) 1．通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养．
2．结合函数图象，培养直观想象素养．
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下过山车那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)几个循环路径．
(1)函数y＝sin x与y＝cos x也像过山车一样“爬升”
“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的哪些性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝
sin x，y＝cos x的哪些性质？y＝sin x，y＝cos x在什么位置取得最大(小)值？
必备知识·情境导学探新知
知识点　正弦函数、余弦函数的图象和性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 ______________ ______________
[－1，1]
[－1，1]
单 调 性 在________________________上单调递增， 在_________________________上单调递减 在_______________________
上单调递增，
在_______________________上单调递减
最 值 x＝__________________时，ymax＝1；x＝_______________时，ymin＝－1 x＝___________时，ymax＝1；x＝_______________时，ymin＝－1
＋2kπ，k∈Z
2kπ，k∈Z
π＋2kπ，k∈Z
思考　1．函数y＝sin x的单调递增区间唯一吗？
[提示]　不唯一．
思考　2．函数y＝sin x取得最大值时对应的x的值唯一吗？
[提示]　不唯一．
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在R上都是单调函数． (　　)
(2)存在x∈R满足cos x＝1.2． (　　)
(3)函数y＝－sin x，x∈的最大值为0． (　　)
×
×
√
体验　2．(多选题)在下列区间中，函数y＝sin x是单调递增的是
(　　)
A．[0，π]　　 B．
C．
√
√
体验　3．函数y＝－2cos x的最大值为_________________，此时x＝__________________________．
2　π＋2kπ，k∈Z　[当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y＝－2cos x 取得最大值2．]
2
π＋2kπ，k∈Z
关键能力·合作探究释疑难
类型1　求正弦函数、余弦函数的单调区间
【例1】　【链接教材P183例4】
求函数y＝2sin 的单调区间．
[解]　令z＝x－，则y＝2sin z．
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增时，
函数y＝2sin 也单调递增．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin 的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin 的单调递减区间为(k∈Z)．
[母题探究]
1．求函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调区间．
[解]　由例题知f (x)＝2sin 的单调递增区间为，k∈Z．又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为．
∴函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递增区间为，单调递减区间为．
2．求函数y＝sin 的单调递增区间．
[解]　y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin 的单调递增区间为，k∈Z．
【教材原题·P183例4】
例4　求函数y＝sin 的单调递增区间．
[解]　令z＝2x＋，则y＝sin ＝sin z．因为函数y＝sin z的单调递增区间是，k∈Z，于是由－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，得－π＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
因此，函数y＝sin 的单调递增区间是，k∈Z．
反思领悟　1．求形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b或形如y＝A cos (ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
[跟进训练]
1．(1)函数y＝sin ，x∈的单调递减区间为_____________________________．
(2)已知函数y＝cos ，则它的单调递减区间为
____________________________________．
(k∈Z)
(1)　(2)(k∈Z)　[(1)由＋2kπ≤3x＋＋2kπ(k∈Z)，
得≤x≤(k∈Z)．
又x∈，所以函数y＝sin ，
x∈的单调递减区间为．
(2)y＝cos ＝cos ，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数y＝cos 的单调递减区间是(k∈Z)．]
类型2　利用三角函数的单调性比较大小
【例2】　【链接教材P182例3】
利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 与sin ；
(2)sin 196°与cos 156°；
(3)cos 与cos ．
[解]　(1)∵－＜－＜－＜，
∴sin ＞sin ．
(2)sin 196°＝sin (180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos (180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，
即sin 196°＞cos 156°．
(3)cos ＝cos π＝cos ＝cos π，
cos ＝cos π＝cos ＝cos ．
∵0＜＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是单调递减的，
∴cos π＜cos ，
即cos ＜cos ．
【教材原题·P182例3】
例3　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin (－1)，sin (－1.1)；(2)cos ，cos ．
[解]　(1)由于－<－1.1<－1<，且y＝sin x在区间上单调递增，
因此sin (－1)>sin (－1.1)．
(2)由于π<<<2π，且y＝cos x在区间[π，2π]上单调递增，因此
cos 反思领悟　三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
(2)不同名的函数化为同名的函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
[跟进训练]
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是
(　　)
A．sin α＜sin β　 B．cos α＜sin β
C．cos α＜cos β D．cos α ＞cos β
(2)比较下列各组数的大小：
①cos ，cos ；②cos 1，sin 1．
√
(1)B　[α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞，α＞－β，α∈－β∈，
所以cos α＜cos ＝sin β．]
(2)[解]　①cos ＝cos ，cos ＝cos ，因为0＜＜＜π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos ＞cos ，即cos ＞cos ．
②因为cos 1＝sin ，而0＜－1＜1＜且y＝sin x在上单调递增，所以sin ＜sin 1，
即cos 1＜sin 1．
类型3　正弦函数、余弦函数的最值问题
【例3】　【链接教材P182例2】
(1)求函数y＝2cos ，x∈的值域；
(2)求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．
(1)常借助三角函数的哪些性质求形如y＝a sin x，x∈[m，n]的最值？
(2)对于形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的函数如何探求其最值？
[解]　(1)∵－∴0<2x＋<，
∴－∴函数y＝2cos ，x∈的值域为(－1，2)．
(2)y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx
＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sin x－2)2＋5．
所以当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4．
所以ymax＝4，此时x的取值集合是；
ymin＝－4，此时x的取值集合是．
【教材原题·P182例2】
例2　求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合：
(1)y＝2sin 2x，x∈R；(2)y＝2－cos x，x∈R．
[解]　(1)令z＝2x，使函数y＝2sin z，z∈R取得最大值的z的集合是．
由2x＝z＝＋2kπ，得x＝＋kπ，k∈Z．因此，使函数y＝2sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是，最大值是2．
(2)当函数y＝2－cos x，x∈R取得最大值时，cos x取最小值－1，此时x的集合是{x|x＝π＋2kπ，k∈Z}．
因此，使函数y＝2－cos x，x∈R取得最大值的x的集合是{x|x＝π＋2kπ，k∈Z}，最大值是3．
反思领悟　三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
[跟进训练]
3．求函数y＝cos2x－sinx，x∈的最值．
[解]　y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝＋．
因为－≤x≤，－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝．
1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)
A．增函数　　 B．减函数
C．先减后增函数 D．先增后减函数
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[因为y＝cos x在区间上先单调递增后单调递减，所以y＝－cos x在区间上先单调递减后单调递增．]
2．函数f (x)＝2sin x在区间上的最大值为(　　)
A．0 B．－
C． D．2
√
D　[∵x∈，
∴0≤sin x≤1，
∴f (x)＝2sin x∈[0，2]．故选D．]
3．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是(　　)
A．
C．
√
C　[由y＝|sin x|的图象(图略)，易得函数y＝|sin x|的单调递增区间为，k∈Z，当k＝1时，得为函数y＝|sin x|的一个单调递增区间，故选C．]
4．(教材P183练习T3改编)sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
＞　[sin ＝sin ＝sin ，
因为0＜＜＜，y＝sin x在上单调递增，
所以sin ＜sin ，即sin ＞sin ．]
＞
5．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间为______________________．
(k∈Z)　[求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是
(k∈Z)．]
(k∈Z)
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间？
[提示]　把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．如何利用函数单调性比较sin α与sin β的大小关系？
[提示]　比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数最值或值域的常用方法有哪些？
[提示]　单调性法、配方法或换元法等．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
一、选择题
1．y＝2cos x的值域是(　　)
A．[－2，2]　　　 B．[0，2]
C．[－2，0] D．R
课时分层作业(四十六)　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
√
A　[因为x∈R，所以y＝2cos x∈[－2，2]．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
√
D　[作出四个函数的图象(图略)，知y＝sin x，y＝cos x在上单调递减，不符合；而y＝－sin x的图象虽满足在上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D．]
3．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°．因为0°＜11°＜12°＜80°＜90°，所以sin 11°<
sin 12°4．函数f (x)＝2sin ，x∈[－π，0]的单调递增区间是(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
D　[令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，故选D．]
5．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为(　　)
A．[－1，1] B．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[令sin x＝t，则t∈[－1，1]，∴f (t)＝t2＋t－1＝－，
∴当t＝－时，f (t)min＝－；当t＝1时，f (t)max＝1．故选C．]
二、填空题
6．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[0，2]　[因为－1≤cos x≤1，要使cos x＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2．]
[0，2]
7．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(－π，0]　[因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]
(－π，0]
8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为____________________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
cos 150°＜cos 760°＜sin 470°　[cos 150°＜0，sin 470°＝
sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞
cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°．]
cos 150°＜cos 760°＜sin 470
三、解答题
9．已知函数f (x)＝cos ，x∈，求：
(1) f (x)的最大值和最小值；(2) f (x)的单调递减区间．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)∵x∈，∴2x－∈，
易知y＝cos x在上单调递增，在上单调递减，
故当2x－＝0，即x＝时，f (x)max＝1．
当2x－＝，即x＝时，f (x)min＝－．
(2)由函数y＝cos x的图象知，y＝cos x在上的单调递减区间为．
令0≤2x－，解得≤x≤，故f (x)的单调递减区间为．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．已知函数f (x)＝a sin ＋b(a＞0)．当x∈时，f (x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　∵0≤x≤，∴－≤2x－，
∴－≤sin ≤1，
∴f (x)max＝a＋b＝，f (x)min＝－a＋b＝－2．
由得
11．函数f (x)＝sin ＋cos 的最大值为(　　)
A． B．1
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A　[∵＝，
∴f (x)＝sin ＋cos
＝sin ＋cos ＝sin ＋sin
＝sin ．
∴f (x)max＝．
故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．(多选题)已知函数f (x)＝2sin ＋1，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f (x)的图象关于点对称
B．函数f (x)图象的一条对称轴是x＝－
C．若x∈，则函数f (x)的最小值为＋1
D．若0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
BC　[对于函数f (x)＝2sin ＋1，
当x＝时，f (x)＝＋1，故选项A错误；当x＝－时，f (x)＝－1，为最小值，故函数f (x)图象的一条对称轴是x＝－，故选项B正确；x∈，2x－∈，故当2x－＝或时，f (x)取得最小值，为＋1，故选项C正确；若0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．若函数f (x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________，f (x)在上的值域为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[0，1]
　[0，1]　[根据题意知f (x)在x＝处取得最大值1，
∴sin ＝1，
∴＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝6k＋，k∈Z．
又0＜ω＜2，
∴ω＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
又f (x)＝sin x，x∈，
∴x∈，
∴当x＝，即x＝时，f (x)max＝1．
当x＝0，即x＝0时，f (x)min＝0，
∴f (x)在上的值域为[0，1]．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．已知函数y＝sin 在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8　[因为T＝＝6，所以在[0，＋∞)上第一次出现最大值x＝＝，
第二次出现最大值x＝，所以t≥．
又因为t∈Z，
所以t的最小值为8．]
8
15．在①f (x)的图象关于直线x＝对称，②f (x)的图象关于点对称，③f (x)在上单调递增这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．
已知函数f (x)＝4sin (ω∈N＋)的最小正周期不小于，且________，是否存在ω的值满足条件？若存在，求出ω的值；若不存在，请说明理由．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　由于函数f (x)的最小正周期不小于，
所以，所以1≤ω≤6，ω∈N＋．
若选择①，即f (x)的图象关于直线x＝对称，
则有ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N＋，k∈Z，所以k＝3，ω＝4．
故存在ω＝4满足条件．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
若选择②，即f (x)的图象关于点对称，则有ω＋＝kπ(k∈Z)，
解得ω＝k－(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N＋，k∈Z，所以k＝1，ω＝3．故存在ω＝3满足条件．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
若选择③，即f (x)在上单调递增，
则有(k∈Z)，解得(k∈Z)，
由于1≤ω≤6，ω∈N＋，k∈Z，
所以k＝0，ω＝1．
故存在ω＝1满足条件．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢！