【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.4 第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及性质的应用 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共65张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　三角函数
5.4　函数 y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
第2课时　函数 y＝A sin (ωx＋φ)的图象及性质的应用
学习任务 核心素养
1．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．(重点) 2．能够根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式．(易错点) 3．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质，能够利用性质解决相关问题．(重点) 1．通过“五点法”作函数的图象，培养直观想象的素养．
2．借助函数图象求解析式，培养直观想象及数学运算的素养．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
【例1】　已知函数y＝sin ，x∈R．
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
[解]　(1)列表：
2x＋ 0 π 2π
x －
y＝sin 0 0 － 0
描点、连线，如图所示．
(2)函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin 的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin 的图象．
反思领悟　1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表．
ωx＋φ 0 π 2π
x －
f (x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
[跟进训练]
1．已知函数f (x)＝cos ，在给定坐标系中作出函数f (x)在[0，π]上的图象．
[解]　f (x)＝cos ，列表如下．
2x－ － 0 π π π
x 0 π π π π
f (x) 1 0 －1 0
图象如图．
类型2　求三角函数的解析式
【例2】　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
借助函数图象你能发现哪些信息？参数A，ω，φ的求解分别与哪些信息相关？
[解]　法一(逐一定参法)：
由题干图象知A＝3， T＝＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝3sin (2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin ．
法二(五点对应法)：
由题干图象知A＝3．
∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin ．
法三(图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
∴y＝3sin ，即y＝3sin ．
反思领悟　给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z．
(2)五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
[跟进训练]
2．(1)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式为(　　)
A．y＝2cos ＋4
B．y＝2cos ＋4
C．y＝4cos ＋2
D．y＝4cos ＋2
√
(2)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f (x)的解析式．
(1)A　[由函数f (x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f (x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f (x)的图象上，
所以6＝2cos ＋4，所以cos ＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝－，所以f (x)＝2cos ＋4．]
(2)[解]　由最低点M，得A＝2．
在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，
即T＝π，ω＝＝＝2．
由点M在函数图象上得
2sin ＝－2，即sin ＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，
∴φ＝．故f (x)＝2sin ．
类型3　函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的综合应用
【例3】　已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[解]　∵f (x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f (x)取得最大值或最小值，
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z．
又0≤φ<π，∴φ＝．
由f (x)的图象关于点M对称，
可知sin ＝0，解得ω＝k－，k∈Z．
又f (x)在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，
∴0<ω≤2，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2．
综上，φ＝，ω＝或2．
[母题探究]
将本例中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上单调递增”，试求ω的最大值．
[解]　因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0．
因为f (x)＝sin ωx在上单调递增．
所以 ，
于是，解得0＜ω≤，所以ω的最大值为．
反思领悟　研究函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的基本策略
(1)首先将所给函数的解析式转化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式．
(2)熟记正弦函数y＝sin x的图象与基本性质．
(3)充分利用整体代换思想解决问题．
(4)熟记有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．
[跟进训练]
3．(多选题)已知函数f (x)＝sin ，以下命题中为真命题的是(　　)
A．函数f (x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f (x)的一个零点
C．函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f (x)在上单调递增
√
√
√
ABD　[令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，即函数f (x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f (x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故
f (x)在上单调递增，选项D正确．故选ABD．]
1．已知函数f (x)＝A sin (A＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[函数f (x)＝A sin (A>0)的周期T＝＝＝6．
∵函数f (x)＝A sin (A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，∴＝，
∴A＝2，故选B．]
2．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)
A．A＝4 B．ω＝1
C．φ＝ D．B＝4
√
C　[由题干图象可知，A＝2，B＝2，T＝＝，T＝π，ω＝2．因为2×＋φ＝，所以φ＝，故选C．]
3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
√
C　[由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A．由(2)(3)知x＝时，f (x)取得最大值，验证知只有C符合要求．]
4．(教材P195练习T3改编)某同学用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的简图时，列表如下：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
则根据表格可得出A＝_______，ω＝_________，φ＝_________．
2
3
－
2　3　－　[由表格得A＝2，T＝π－＝，
∴ω＝3，
∴ωx＋φ＝3x＋φ．
∵当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，
且|φ|<，
∴φ＝－．]
5．已知函数f (x)＝sin (2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为__________．
－π　[由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－π．]
－π
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？
[提示]　逐一定参法；五点对应法；图象变换法．
2．在研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？
[提示]　采用“换元”法整体代换，将(ωx＋φ)看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝A sin z的性质求解．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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一、选择题
1．若函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝(　　)
A．5　　　 　 B．4　　　 　
C．3　　　 　 D．2
课时分层作业(四十九)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及性质的应用
√
B　[由函数的图象可得＝＝－x0＝，解得ω＝4．]
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2．若函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)，x∈R的最小正周期是π，且f (0)＝，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝
√
D　[∵＝π，∴ω＝2．
∵f (0)＝，∴2sin φ＝，
∴sin φ＝．∵|φ|<，∴φ＝．]
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3．把函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数
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√
A　[y＝sin ＝sin 的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝sin ＝sin 2x，为奇函数．]
4．(多选题)若函数f (x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x有f ＝f ，
则f 等于(　　)
A．－3 B．－1
C．0 D．3
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√
AD　[由于函数f (x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f ＝f ，则函数f (x)的图象关于直线x＝对称，则f 是函数f (x)的最大值或最小值，则f ＝－3或3．]
√
5．函数f (x)＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f (x)的图象，下列说法正确的是(　　)
A．关于点对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
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D　[将函数f (x)＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos 的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f (x)＝cos ．令x＝－，求得f (x)＝cos ＝－，故A错误．
令x＝－，求得f (x)＝cos ＝0，故B错误．令x＝，求得f (x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故C错误，D正确．]
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二、填空题
6．已知函数y＝2sin (ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________，φ＝________．
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2　　[由题意知，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2．
又因为当x＝时有最大值2，
f ＝2sin ＝2sin ＝2，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且|φ|≤，所以φ＝．]
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7．函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝__________．
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　[由题干图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f (0)＝sin φ＝sin ＝．]
8．某同学利用描点法画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如下表：
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x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式应是____________________．
y＝2sin
y＝2sin 　[在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．
根据函数图象的大致走势，
可知点(1，0)不符合题意；
又因为0因为函数图象过点(0，1)，所以2sin φ＝1，
又因为－<φ<，所以φ＝，
由(0，1)，(2，1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6．
所以ω＝．所以y＝2sin ．]
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三、解答题
9．已知f (x)＝sin (2x－φ)－1(0<φ<π)的一个零点是．
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数的最大值以及最小值．
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[解]　(1)依题意有f ＝0，
所以sin －1＝0．
因此cos φ＝．又因为0<φ<π，所以φ＝．
故f (x)＝sin －1，其最小正周期T＝＝π．
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(2)由x∈，得2x－∈，
则sin ∈，
所以－－1≤sin －1≤－1，
所以函数y＝f (x)的最大值为－1，最小值为－－1．
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10．已知函数f (x)＝sin ．
(1)请用“五点法”画出函数f (x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)试问f (x)是由g(x)＝sin x经过怎样的变换得到？
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[解]　(1)列表如下：
2x－ 0 π 2π
x
f (x) 0 1 0 －1 0
描点连线，图象如图所示．


(2)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的，即可得到f (x)的图象．
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11．设函数f (x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如图，则f (x)的最小正周期为(　　)
A．
C．
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√
C　[由题图知，f ＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f (x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，
∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝．故选C．]
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12．(多选题)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f (x)的图象关于点对称
C．函数f (x)在区间上单调递增
D．函数y＝1与y＝f (x)的图象的所有交点的横坐标之和为
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√
√
√
BCD　[由函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<|φ|<π)的图象可得，
A＝2，＝＝，因此T＝π，
所以ω＝＝2，所以f (x)＝2sin (2x＋φ)，过点，
因此＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<|φ|<π，
所以φ＝，所以f (x)＝2sin ．
当x＝时，f ＝－1，故A错误；
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当x＝－时，f ＝0，故B正确；
当x∈时，2x＋∈，所以f (x)＝2sin 在x∈上单调递增，故C正确；
由f (x)＝2sin ＝1，得sin ＝，∴2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z．取k＝0，得x＝0或；取k＝1，得x＝π或．∴函数y＝1与y＝
f (x)的图象的所有交点的横坐标之和为0＋＋π＋＝，故D正确．]
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13．已知函数f (x)＝sin (ω>0)，f ＝f ，且f (x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝__________．
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　[依题意知f (x)的图象关于直线x＝对称，
即关于直线x＝对称，且∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω<12，∴ω＝．]
8　8　[函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点即方程2sin πx＝的根，
作函数y＝2sin πx与y＝的图象如图．由图可知共有8个公共点，所以原函数有8个零点．
y＝2sin πx－＝2sin π(1－x)－，
令t＝1－x，则y＝2sin πt－，t∈[－3，3]，
该函数是奇函数，故零点之和为0．所以原函数的零点之和为8．]
14．函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点个数为________，所有零点之和为________．
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15．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
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x －
y －1 1 3 1 －1 1 3
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(1)根据表格提供的数据求函数f (x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f (kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f (kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
[解]　(1)设f (x)的最小正周期为T，则T＝＝2π，由T＝，得ω＝1，又解得令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－，
∴f (x)＝2sin ＋1．
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(2)∵函数y＝f (kx)＝2sin ＋1的最小正周期为，且k＞0，∴k＝3．令t＝3x－，
∵x∈，∴t∈，
作出y＝sin t的图象，如图所示，
当sin t＝s在上有两个不同的实数解时，s∈，∴当x∈时，由方程f (kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1，3)．
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谢 谢！