【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.4 第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共66张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　三角函数
5.4　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
学习任务 核心素养
1．理解匀速圆周运动的数学模型．(重点) 2．理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响．(重点) 3．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点) 1．通过匀速圆周运动的数学模型的学习，培养数学建模的素养．
2．借助函数图象的变换，培养数学抽象素养．
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．
必备知识·情境导学探新知
(1)　　　　　　　(2)
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝A sin (ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
知识点1　A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
左
右
缩短
伸长
(3)A(A＞0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
扩大
缩小
思考　由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin (ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
[提示]　∵y＝sin (ωx＋φ)＝sin ω，∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移个单位长度．
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位长度所得图象的解析式是y＝
sin ． (　　)
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x． (　　)
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x． (　　)
×
×
×
体验　2．把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)
A．y＝sin x－　 B．y＝sin x＋
C．y＝sin D．y＝sin
D　[根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin 的图象．]
√
如图所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置．将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运动．从某一时刻开始，如果记t s后小球的位移为x cm，则由物理学知识可知x与t的关系可以写成x＝A sin (ωt＋φ)的形式，其中A，ω，φ都是常数．
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i＝Im sin (ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．
显然，上述x与i都是t的函数．那么，这种
类型的函数在生产生活中有哪些应用？
知识点2　函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
A
ωx＋φ
φ
体验　3．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π， B．6π，
C．3π，3，－ D．6π，3，
√
B　[y＝sin 的周期T＝＝6π，振幅为，初相为．]
体验　4．函数y＝3sin 的频率为____，相位为________，初相为________．
x－　－　[频率为＝，相位为x－，初相为－．]
x－
－
关键能力·合作探究释疑难
类型1　平移变换
【例1】　【链接教材P192例4】
(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)
A．y＝sin ＋2 B．y＝sin －2
C．y＝sin －2 D．y＝sin ＋2
√
(2)要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象
(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
√
(1)D　(2)B　[(1)向左平移个单位长度得y＝sin ，再向上平移2个单位长度得y＝sin ＋2，故选D．
(2)由y＝sin ＝sin 4可知，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度即可，故选B．]
【教材原题·P192例4】
例4　在同一直角坐标系中画出y＝sin x，y＝sin ，y＝sin 在一个周期内的图象，分析它们之间的变化关系．
[解]　通过“五点法”画出函数y＝sin x，y＝sin ，y＝sin 在一个周期内的简图，如图5.4-7．
观察图5.4-7，可以发现：
y＝sin 的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的纵坐标不变、横坐标减去得到，也就是将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到．
y＝sin 的图象可以由y＝sin x的图象上每一点(x，sin x)的纵坐标不变、横坐标加上得到，也就是将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到．
反思领悟　在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：
(1)平移之前应先将函数解析式化为同名的函数．
(2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚．
(3)左右平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是 ．
[跟进训练]
1．为了得到y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个单位长度．
　[y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ，
只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin 的图象．]
类型2　振幅变换与伸缩变换
【例2】　已知函数y＝sin ，该函数的图象可由y＝
sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)
先由y＝sin x平移得到y＝sin ，再伸缩得到y＝sin 与先伸缩得到y＝sin 2x，再平移得到y＝sin ，两次平移的量是否相同？
[解]　法一(先平移后伸缩)：
①把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数
y＝sin 的图象；
②把函数y＝sin 的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin 的图象；
③把函数y＝sin 的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数y＝sin 的图象；
④再把得到的函数y＝sin 的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin 的图象．
法二(先伸缩后平移)：
①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象；
②把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin 的图象；
③把函数y＝sin 的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin 的图象；
④再把得到的函数y＝sin 的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin 的图象．
反思领悟　三角函数图象伸缩变换的方法
法一：y＝A1sin ω1xy＝A2sin ω1x
y＝A2sin ω2x．
法二：y＝A1sin ω1xy＝A1sin ω2x
y＝A2sin ω2x．
[跟进训练]
2．把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
√
B　[依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f (x)＝sin 的图象．]
类型3　简谐振动模型
【例3】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，
＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解]　列表如下：
t －
2t＋ 0 π 2π
sin 0 1 0 －1 0
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin ，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm．
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm．
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s．
反思领悟　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝
A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
[跟进训练]
3．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin 来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V．
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s．
(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
1．要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan 的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
学习效果·课堂评估夯基础
√
2．若函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f (x)的图象，则(　　)
A．f (x)＝cos 2x　 B．f (x)＝sin 2x
C．f (x)＝－cos 2x D．f (x)＝－sin 2x
√
A　[依题意得f (x)＝sin ＝sin ＝cos 2x．故选A．]
3．(多选题)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是
(　　)
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
√
√
AD　[由题图可知T＝0.6，∴T＝0.8．振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0．故选AD．]
4．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
　[函数y＝cos xy＝cos x．所以ω＝．]
5．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin 的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．
　[y＝3sin xy＝3sin
y＝3sin ，
y＝3sin xy＝3sin
y＝3sin ＝3sin ．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能描述一下由y＝sin x的图象，通过图象变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)的图象的变换途径吗？
[提示]　(1)y＝sin xy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin ＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)．
2．上述两种途径的变换顺序不同，其中变换的量又分别是多少？
[提示]　若先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度；若先周期变换后相位变换，平移个单位长度．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．下列表示函数y＝sin 在区间上的简图正确的是(　　)
课时分层作业(四十八)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
A　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
√
A　[当x＝π时，y＝sin ＝－，排除B、D．
当x＝时，y＝sin 0＝0，排除C，故选A．]
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2．将函数y＝sin 的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
√
B　[平移后得解析式为y＝sin ＝sin ，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得解析式为y＝sin ，故选B．]
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3．要得到函数y＝sin 的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
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√
C　[因为y＝sin ＝sin ，
所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin ＝sin 的图象．]
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4．(多选题)函数y＝3sin 的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下列哪项变换而得到(　　)
A．向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍
B．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍
C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
D．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
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√
√
BD　[先平移后伸缩：y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin 的图象y＝3sin 的图象．
先伸缩后平移：y＝sin x的图象y＝sin 2x的图象y＝sin ＝sin 的图象y＝3sin 的图象，故BD正确．]
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5．将函数f (x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
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B　[将函数f (x)＝sin 的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin ＝sin 的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，故选B．]
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二、填空题
6．将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为__________________．
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y＝－2cos 4x
y＝－2cos 4x　[将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2cos ＝2cos (2x－π)＝－2cos 2x的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝－2cos 4x的图象．]
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7．将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝
sin (4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为__________．
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　[将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，
得y＝sin ＝sin 的图象，所以φ的值为．]
8．将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标__________(填“伸长”或“缩短”)为原来的__________倍，将会得到函数y＝3sin 的图象．
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伸长　3　[A＝3＞0，故将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin 的图象．]
伸长
3
三、解答题
9．已知函数f (x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f (x)的解析式．
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[解]　逆向思维，
y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin 的图象，即f (x)＝sin ．
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10．函数f (x)＝5sin －3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
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[解]　先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin 的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin 的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得函数y＝5sin 的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数f (x)＝5sin －3的图象．(答案不唯一)
11．要得到y＝cos 的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
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√
A　[因为y＝cos ＝sin ＝sin ＝sin 2，
所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，
得到y＝cos 的图象．]
12．(多选题)以下结论正确的是(　　)
A．将y＝sin x的图象向右平移π个单位长度，得到y＝－sin x的图象
B．将y＝sin x的图象向右平移2个单位长度，得到y＝sin (x＋2)的图象
C．将y＝sin (－x)的图象向左平移2个单位长度，得到y＝sin (－x－2)的图象
D．将y＝sin (－x)的图象向左平移π个单位长度，得到y＝sin x的图象
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√
√
√
ACD　[将y＝sin x的图象向右平移π个单位长度所得图象的解析式为y＝sin (x－π)＝－sin (π－x)＝－sin x，所以A正确；将y＝sin x的图象向右平移2个单位长度得到图象的解析式为y＝sin (x－2)，所以B错误；将y＝sin (－x)的图象向左平移2个单位长度所得图象的解析式为y＝sin [－(x＋2)]＝sin (－x－2)，所以C正确；将y＝sin (－x)的图象向左平移π个单位长度，得到y＝sin x的图象，D正确．]
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13．已知函数f (x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，为了得到g(x)＝
sin 的图象，只需将y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的________倍．
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4　[∵f (x)的最小正周期为π，∴＝π．∴ω＝2．∴f (x)＝sin ．
又g(x)＝sin ＝sin ，
∴只需将y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin 的图象．]
4
14．将函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝A sin x的图象，则ω＝________，φ＝__________．
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　[y＝A sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝A sin 的图象，再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝A sin 的图象即为f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象，
所以f (x)＝A sin ，所以ω＝，φ＝．]
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图1)．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图2)．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒(视为质点)的运动规律，将筒车抽象为一个几何图形，建立平面直角坐标系(如图3)，设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点
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P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H(单位：m)，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω(单位：rad/s)，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t(单位：s)．已知r＝3 m，h＝2 m，筒车每分钟转动(按逆时针方向)1.5圈，点P0距离水面的高度为3.5 m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，将点P距离水面的高度H表示为时间t
的函数，求此函数表达式．
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图1　 　　图2　　 　 　图3
[解]　过P0向x轴作垂线，垂足为A，
则P0A＝3.5－2＝1.5＝r， ∴∠P0OA＝，
筒车的角速度ω＝＝，
∴H＝3sin ＋2．
题号
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谢 谢！