【学霸笔记：同步精讲】第6章 6.2 6.2.2 分层抽样 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共62张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第6章　统计学初步
6.2　抽样
6.2.2　分层抽样
学习任务 核心素养
1．通过实例，了解分层抽样的特点和适用范围．(重点) 2．了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．(重点、难点) 3． 结合具体实例，掌握分层抽样的样本均值．(重点) 1．通过对分层抽样的学习，培养数学抽象素养．
2．通过对分层抽样的应用，培养数据分析素养．
假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人．此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查．
你认为应当怎样抽取样本？
必备知识·情境导学探新知
知识点　分层抽样
当总体由____________的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照____________或____________划分为____________的层，然后对各层按其在总体中____________独立进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样．
差异明显
某种特征
某种规则
互不交叉
所占比例
思考　哪种情况下适合选用分层抽样？
[提示]　在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层抽样的效果一般会好于简单随机抽样．
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小．
(　　)
(2)分层抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的． (　　)
(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层抽样．
(　　)
×
×
×
体验　2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样　 B．抽签法
C．随机数法 D．分层抽样
√
D　[从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层抽样．]
体验　3．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是(　　)
A．高一学生被抽到的可能性最大
B．高二学生被抽到的可能性最大
C．高三学生被抽到的可能性最大
D．每位学生被抽到的可能性相等
√
D　[按照分层抽样，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于＝．]
体验　4．某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．
40　[C专业的学生有1 200－380－420＝400(名)，由分层抽样原理，
应抽取120×＝40(名)．]
40
关键能力·合作探究释疑难
类型1　对分层抽样概念的理解
【例1】　(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　)
A．抽签法 B．随机数法
C．简单随机抽样法 D．分层抽样
√
(2)分层抽样即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行
(　　)
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
√
(1)D　(2)C　[(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]
反思领悟　1．使用分层抽样的前提
分层抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．
2．使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[跟进训练]
1．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
√
B　[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．]
类型2　分层抽样的应用
【例2】　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．
[解]　抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝．
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
反思领悟　分层抽样的步骤
[跟进训练]
2．在一批电视中，有甲厂生产的56台，乙厂生产的42台，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本．
[解]　(1)确定各厂被抽取电视机的台数，
抽样比为＝，
故从甲厂抽取56×＝8(台)，从乙厂抽取42×＝6(台)．
(2)在各厂用简单随机抽样的方法抽取作为样本的电视机．
(3)合成每层抽样，组成样本．
类型3　分层抽样中的计算问题
【例3】　(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
√
(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
20
(1)在分层抽样中，N为总体容量，n为样本容量，如何确定各层的个体数？
(2)在分层抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？
(1)B　(2)20　[(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，
所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，
所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人)．
(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，总体中每个个体被抽到的可能性相等，∴分层抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体．
反思领悟　进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系
(1)＝．
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
[跟进训练]
3．生物等级考试成绩位次由高到低分为A，B，C，D，E．各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加生物等级考试的学生中抽取300人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为(　　)
A．95　　　B．144　　　C．120　　　D．165
√
D　[设该样本中获得A或B等级的学生人数为x，则＝，∴x＝165．故选D．]
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层抽样 D．随机数法
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样．]
2．(教材P220练习T1改编)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人
√
B　[先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)．故选B．]
3．已知A，B，C三个社区的居民人数分别为600，1 200，1 500，现从中抽取一个样本量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则n等于
(　　)
A．33 B．18
C．27 D．21
√
A　[依题意得，＝，
∴n＝33．]
4．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
60　[根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60．]
60
5．某校高二年级有1 500名学生，为了了解学生选课的状况，对学生按首选物理和历史采用同比例分层抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为120的样本，样本中有80人首选物理，则该年级首选历史的学生有________人．
500　[设该年级首选历史的学生有x人，
则＝，
解得x＝500．
故该年级首选历史的学生有500人．]
500
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．简单随机抽样和分层抽样有什么区别和联系？
[提示]　区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分配抽取样本．
联系：(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样．
2．在分层抽样中，N为总体容量，n为样本容量，如何确定各层的个体数？
[提示]　每层抽取的个体的个数为ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1，2，…，k)层的个体数， 为抽样比．
3．在分层抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？
[提示]　设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1，2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则＝，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
课时分层作业(五十三)　分层抽样
对于上述问题，下列说法正确的是(　　)
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述两种抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①②　　　B．①③　　　C．①④　　　D．②③
题号
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√
B　[根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误．由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．故①③正确．]
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2．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是(　　)
A．20　　B．40　　C．60　　D．80
√
B　[由题可知抽样比为k＝＝，故在青年人中的抽样人数为800×＝40．]
3．某集团生产小、中、大三种型号的客车，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中小型客车18辆，则样本容量n＝(　　)
A．54 B．90
C．45 D．126
题号
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√
B　[依题意得×n＝18，解得n＝90．即样本容量为90．]
4．“互联网＋”时代，全民阅读的内涵已然多元化，某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1 800名高一学生中，采用分层抽样的方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人．则该校高一男生共有(　　)
A．1 098人 B．1 008人
C．1 000人 D．918人
题号
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√
B　[设该校高一男生有x人．
法一：由题意可得＝，
求得x＝1 008．故选B．
法二：＝，求得x＝1 008．故选B．]
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5．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有(　　)
A．1人 B．2人
C．5人 D．6人
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√
C　[设这两项成绩均合格的人数为x，则立定跳远合格但100米跑不合格的人数为30－x，则30－x＋35＋5＝45，得x＝25，
即这两项成绩均合格的有25人，
则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×＝5(人)．故选C．]
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二、填空题
6．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．
题号
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12　[抽取女运动员的人数为×28＝12．]
12
7．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
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15　[高二年级学生人数占总数的，样本容量为50，则50×＝15．]
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8．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值可能是________．(选填序号)
①n＝360，m＝14；②n＝420，m＝15；③n＝540，m＝18；④n＝660，m＝198．
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①②
①②　[某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，样本中的中年人为6人，则老年人为120×＝2(人)，青年人为n＝，2＋6＋＝m 8＋＝m，代入序号内的数计算，③④不成立，①②能成立．]
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三、解答题
9．(源自北师大版教材)某公司有1 000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者．要对该公司员工的具体收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样抽样比较合理？
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[解]　可以采用分层抽样的方法．按照该公司员工的收入水平分成三层：高收入者、中等收入者、低收入者．高收入者为50名，占所有员工的比例为＝5%，为保证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的比例也应为5%，即100×5%＝5，所以应抽取5名高收入者比较合理．同理，抽取15名中等收入者、80名低收入者，再对他们的具体收入状况分别进行调查．
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10．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下表格：


由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据．
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[解]　根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1 700－m)件，样本容量为n－10．
根据分层抽样的特点可得＝＝，解得m＝900，n＝90，故补全后的表格如下：
题号
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产品类型 A B C
产品数量/件 900 1 300 800
样本容量 90 130 80
11．分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是(　　)
A．甲应付51钱 B．乙应付32钱
C．丙应付16钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
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√
B　[由分层抽样可知，抽样比为＝，
则甲应付×560＝51(钱)；
乙应付×350＝32(钱)；
丙应付×180＝16(钱)．]
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12．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如表所示：


其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为(　　)
A．25 B．35
C．45 D．55
题号
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高一年级 高二年级 高三年级
跑步人数 a b c
登山人数 x y z
√
C　[由题意知，全校参加跑步的人数占总人数的，高三年级参加跑步的总人数为×2 000×＝450，由分层抽样的特征得高三年级参加跑步的学生中应抽取×450＝45(人)．]
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13．(多选题)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，
6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(　　)
A．应采用分层抽样抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
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√
√
√
ACD　[由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层抽样抽取，A正确；
因为总体量较大，故不宜采用抽签法，所以B错误；
设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，
则有＝＝＝，
解得所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，
故C正确；由分层抽样的意义可知D也正确．]
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14．某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男女生人数如表所示，已知在全年级中随机抽取1名学生，抽到二班女生的概率是0.2，则x＝________．现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
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12
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15
一班 二班 三班
女生人数 20 x y
男生人数 20 20 z
24
9
24　9　[由题意可得＝0.2，解得x＝24．
三班总人数为120－20－20－24－20＝36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，每个学生被抽到的概率为＝，故应从三班抽取的人数为36×＝9．]
题号
2
1
3
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5
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8
7
9
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15．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%．为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
题号
2
1
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[解]　(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，
则有＝47.5%，＝10%．
解得b＝50%，c＝10%．
故a＝1－50%－10%＝40%．即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为40%，50%，10%．
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；
抽取的中年人人数为200××50%＝75；
抽取的老年人人数为200××10%＝15．
题号
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1
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10
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15
谢 谢！