【学霸笔记：同步精讲】第6章 6.4 6.4.3 用频率分布直方图估计总体分布 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(共69张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第6章　统计学初步
6.4　用样本估计总体
6.4.3　用频率分布直方图估计总体分布
学习任务 核心素养
1．通过对实例的分析，体会总体分布的意义和作用． 2．在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图，体会它们各自的特点，学会应用频率分布直方图分析个体在总体中的分布位置．(重点) 3．会利用样本数据的四种图表估计总体分布． 1．通过对问题中数据样本进行分析，培养数据分析素养．
2．通过对样本数据的计算，培养数学运算素养．
必备知识·情境导学探新知
知识点　众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的_________与小矩形的______的乘积之和近似代替．
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______．
(3)众数：众数是频率分布直方图中______矩形所在区间的中点所对应的数据．
横坐标
面积
相等
最高
关键能力·合作探究释疑难
类型1　频率分布直方图、折线图的制作与应用
【例1】　有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1 L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1 L所行路程试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，其分组如表所示：
(1)完成上面的频率分布表；
(2)根据上表，在坐标系中画出频率分布直方图及频率折线图；
(3)根据上述图表，估计总体数据落在[12.95，13.95)中的可能性．
分组 频数 频率
[12.45，12.95)
[12.95，13.45)
[13.45，13.95)
[13.95，14.45)
总计 10 1.0
[解]　(1)频率分布表如表所示．
分组 频数 频率
[12.45，12.95) 2 0.2
[12.95，13.45) 3 0.3
[13.45，13.95) 4 0.4
[13.95，14.45) 1 0.1
总计 10 1.0
(2)频率分布直方图及频率折线图如图．




(3)根据上述图表，可知数据落在[12.95，13.95)中的频率为0.3＋0.4＝0.7，故总体数据落在[12.95，13.95)中的可能性为0.7．
反思领悟　1．制作频率分布直方图的方法步骤
(1)制作频率分布表．
(2)建立直角坐标系：把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，纵轴表示．
(3)画矩形：在横轴上标明各组端点值，以相邻两点间的线段为底，作高等于该组的的矩形，这样得到一系列矩形，就构成了频率分布直方图．
2．频率折线图的制作步骤
(1)取每个矩形上底边中点．
(2)用线段顺次连接各个中点．
(3)取值区间两端点需分别向外延伸半个组距，并取此组距上在x轴上的点与折线的首、尾分别相连．
3．频率分布直方图的相关计算
(1)×组距＝频率，即小矩形的高乘宽即为落在相应区间数据的频率．
(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量．
提醒：频率分布直方图中，每个矩形的高为，面积为对应组的频率．
[跟进训练]
1．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家进行健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10 000的职工予以奖励，图(1)为甲、乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图(2)为根据这星期内某一天全体职工的运动步数作出的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15 000的人数；
(2)如果当天甲的排名为130，乙的排名为40，试判断作出的是星期几的频率分布直方图．
[解]　(1)由题图(2)可知，
(0.02＋0.03＋0.04＋0.06＋m)×5＝1，
解得m＝0.05，
∴该天运动步数不少于15 000的人数为
(0.05＋0.03)×5×200＝80．
(2)40÷200＝0.2，130÷200＝0.65．
假设甲的步数为x千步，乙的步数为y千步，
由频率分布直方图可得0.2－0.15＝(20－y)×0.05，
解得y＝19．
(1－0.65)－0.3＝(x－10)×0.06，
解得x＝≈10.833，
故作出的是星期二的频率分布直方图．
类型2　根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
【例2】　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
(1)频率分布直方图中每个小矩形的面积代表什么？
(2)在频率分布直方图中，如何确定众数和中位数？
[解]　(1)由题图知众数为＝75分．
(2)设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3分．
[母题探究]
1．若例3的条件不变，求这次测试数学成绩的平均分．
[解]　由题图知这次数学成绩的平均数为×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72(分)．
2．若例3条件不变，求80分以下的学生人数．
[解]　[40，80)分的频率为(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，
所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56．
反思领悟　众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形所在区间的中点所对应的数据．
(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与每个小矩形底边中点的横坐标的乘积之和．
[跟进训练]
2．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对他们的“平均送达时间”进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
使用A款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图
使用B款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图
(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
[解]　(1)依题意，可得该市使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数约为55(min)，平均数约为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40(min)．
(2)该市使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数约为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40(min)，所以选B款订餐软件．
1．众数、平均数、中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图所示的分布形态中，平均数、众数和中位数的大小关系是(由小到大排列)(　　)
A．众数<中位数<平均数
B．平均数<众数<中位数
C．中位数<平均数<众数
D．众数<平均数<中位数
学习效果·课堂评估夯基础
√
A　[众数是最高矩形的底边中点横坐标，因此众数在第二列的中点处．
因为直方图第二、三列所占数据较多，且在右边“拖尾”，所以平均数大于中位数，因此有众数<中位数<平均数．故选A．]
2．如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，则在区间[4，5)上的数据的频数为(　　)
A．10
B．15
C．20
D．30
√
D　[由频率分布直方图可知，各组的频率分别为0.05，0.1，0.4，x，0.15，故x＝1－0.05－0.1－0.4－0.15＝0.3，在区间[4，5)上的数据的频数为100×0.3＝30．故选D．]
3．如图是某高速公路测速点在某月1日8：00到18：00测得的过往车辆的速度(单位：km/h)的频率分布直方图，则该段时间内过往车辆速度的中位数约为________km/h，平均速度约为________km/h．
102.5
102
102.5　102　[依题意，得(m＋0.03＋0.02＋0.01)×10＝1，得m＝0.04．从左往右，各组的频率为0.1，0.3，0.4，0.2，故该段时间内过往车辆速度的中位数约为100＋10×＝102.5(km/h)，平均速度约为85×0.1＋95×0.3＋105×0.4＋115×0.2＝102(km/h)．]
4．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05．则：
(1)高一参赛学生成绩的中位数为________分；
(2)高一参赛学生的平均成绩约为________分．
65
67
(1)65　(2)67　[∵第一个小矩形的面积为0.3，前两个小矩形的面积和为0.3＋0.4＝0.7＞0.5，
∴设第二个小矩形底边的一部分长为x，
则x×0.04＝0.2，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65(分)．
依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．画频率分布直方图大体分几步？
[提示]　求极差、决定组数和组距→分组→制作频率分布表→画频率分布直方图．
2．由频率分布直方图我们可以获取哪些信息？
[提示]　①组距、频率，倘若已知样本容量，我们可以计算每个区间上的样本数．
②可以粗略感知数据的分布情况．
3．频率分布直方图中，小矩形的面积和为多少？
[提示]　1．
4．众数、中位数、平均数与频率分布直方图存在怎样的关系？
[提示]　(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
(3)众数：众数是最高小矩形所在区间的中点所对应的数据．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．某校高一(3)班的40位同学对班内一名准备参加学校绘画比赛的同学的绘画作品进行打分(满分100分，分数均在[80，96]内)，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是(　　)
A．打分在[94，96]内的有2人　
B．中位数在[86，88]内
C．众数是90　
D．平均数大于90
课时分层作业(五十七)　用频率分布直方图估计总体分布
√
B　[对于A，根据频率分布直方图可知，打分在[94，96]内的人数为0.012 5×2×40＝1，故A错误；
对于B，前三组的频率之和为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0)×2＝0.35<0.5，前四组的频率之和为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0＋0.100 0)×2＝0.55>0.5，故中位数在[86，88]内，故B正确；
对于C，众数为最高小长方形底边中点的横坐标，故众数是89，故C错误；
对于D，根据频率分布直方图得平均数为81×2×0.037 5＋83×2×0.062 5＋85×2×0.075＋87×2×0.1＋89×2×0.112 5＋91×2×0.075＋93×2×0.025＋95×2×0.012 5＝87.3<90，故D错误．故选B．]
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2．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为(　　)
A．20
B．25
C．22.5
D．22.75
√
C　[设中位数为x，则0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5．]
3．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
题号
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根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　)
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
题号
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√
C　[对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，故C错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正确．]
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4．将容量为100的样本数据，从小到大排列，分成8个组，如表：
则第5组数据的频率是(　　)
A．0.15 B．0.4
C．0.3 D．0.2
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√
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 14 x 13 12 9
A　[8个小组的频数之和等于样本容量100，故第5组的频数x＝100－(10＋13＋14＋14＋13＋12＋9)＝15．所以第5组数据的频率为＝0.15．]
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5．(多选题)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值代表，则(　　)
A．成绩在[70，80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
题号
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√
√
√
ABC　[显然A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40，60)内的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正确；因为成绩在[40，70)内的频率为0.45，[70，80)内的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．]
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二、填空题
6．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，60)内的频率为0.6，则样本中在[40，60)内的数据的频率为________．
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0.2
0.2　[样本中在[40，60)内的数据的个数为30×0.6－8－4＝6，故样本中在[40，60)内的数据的频率为＝0.2．]
7．据调查，某地6岁至17岁青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解该地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是________．
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53.75
53.75　[∵(0.01＋0.03)×5＝0.2<0.5，0.2＋0.08×5＝0.6>0.5，
∴该地中学生体重的中位数位于[50，55)内，
设中位数为m，则0.2＋(m－50)×0.08＝0.5，
解得m＝53.75．]
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8．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”党史知识竞赛，并将1 000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是________．(填序号)
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①a的值为0.005；②估计这组数据的众数为75；③估计成绩低于60分的有25人．
①②
①②　[对①：10×(2a＋3a＋3a＋6a＋5a＋a)＝1，即10×20a＝1，a＝0.005，故①正确；
对②：由面积最大的小矩形可知，估计这组数据的众数为75，故②正确；
对③：成绩低于60分的频率为0.025×10＝0.25，故估计成绩低于60分的有1 000×0.25＝250(人)，③错误，故填①②．]
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三、解答题
9．现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：kW·h)的数据，根据这些数据，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)分组的频率分布直方图如图所示．
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(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？
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[解]　(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5，
故直方图中x的值是0.007 5．
(2)月平均用电量的众数为＝230(kW·h)．
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，0.45＋0.0125×20＝0.7>0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，
由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，得a＝224，
即月平均用电量的中位数为224(kW·h)．
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(3)月平均用电量在[220，240)内的有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量在[240，260)内的有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量在[260，280)内的有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280，300]内的有0.002 5×20×100＝5(户)，
抽取比例为＝，
∴月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取25×＝5(户)．
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10．已知50个数据的分组以及各组的频数如下：
[153.5，155.5)，2；[155.5，157.5)，7；
[157.5，159.5)，9；[159.5，161.5)，11；
[161.5，163.5)，10；[163.5，165.5)，6；
[165.5，167.5)，4；[167.5，169.5)，1．
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．
题号
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[解]　(1)频率分布表如表所示．
题号
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分组 频数 频率
[153.5，155.5) 2 0.04
[155.5，157.5) 7 0.14
[157.5，159.5) 9 0.18
[159.5，161.5) 11 0.22
[161.5，163.5) 10 0.20
题号
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分组 频数 频率
[163.5，165.5) 6 0.12
[165.5，167.5) 4 0.08
[167.5，169.5) 1 0.02
合计 50 1.00
题号
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(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示．
11．甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为(　　)
A．s1＞s2＞s3
B．s1＞s3＞s2
C．s3＞s1＞s2
D．s3＞s2＞s1
题号
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√
B　[根据频率分布直方图中的数据信息知乙的分数比较集中，故s2最小，甲的分数比较分散，故s1最大，所以s1＞s3＞s2．]
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12．(多选题)容量为100的样本，其数据分布在[2，18)内，将样本数据分为4组：[2，6)，[6，10)，[10，14)，[14，18)，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．样本数据分布在[6，10)内的频率为0.32
B．样本数据分布在[10，14)内的频数为40
C．样本数据分布在[2，10)内的频数为40
D．估计总体数据大约有10%分布在[10，14)内
题号
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√
√
√
ABC　[对于A，由题图可得，样本数据分布在[6，10)内的频率为0.08×4＝0.32，所以A正确．对于B，由题图可得，样本数据分布在[10，14)内的频数为100×(0.1×4)＝40，所以B正确．对于C，由题图可得，样本数据分布在[2，10)内的频数为100×(0.02＋0.08)×4＝40，所以C正确．对于D，由题图可估计，总体数据分布在[10，14)内的比例为0.1×4＝0.4＝40%，所以D错误．故选ABC．]
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13．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
题号
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(1)直方图中a的值为________；
(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前4组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，则这100户居民月均用水量的方差为___________．
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0.30
1.113 6
(1)0.30　(2)1.113 6　[(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30．
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(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是＝0.25，＝0.75，＝1.25，＝1.75，＝2.25，＝2.75，＝3.25，＝3.75，＝4.25，
这100户居民的月均用水量为＝0.04×0.25＋0.08×0.75＋0.15×1.25＋0.21×1.75＋0.25×2.25＋0.15×2.75＋0.06×3.25＋0.04×3.75＋0.02×4.25＝2.03(吨)，
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则这100户居民月均用水量的方差为
s2＝＋0.25×[0.4＋(2.25－2.03)2]＋0.15×[0.4＋(2.75－2.03)2]＋0.06×[0.4＋(3.25－2.03)2]＋0.04×[0.4＋(3.75－2.03)2]＋0.02×[0.4＋(4.25－2.03)2]＝1.113 6．]
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14．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)．
(1)求图中a的值；
(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．
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分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
[解]　(1)由频率分布直方图知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1，解得a＝0.005．
(2)估计这次语文成绩的平均分＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)．
所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．
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(3)分别求出语文成绩在分数段[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为0.05×100＝5，0.4×100＝40，0.3×100＝30，0.2×100＝20．
所以数学成绩分数段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为5，20，40，25．
所以数学成绩在[50，90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．
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谢 谢！