吉林省松原市前郭县王府镇蒙古族学校、洪泉乡中学2026届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

前郭县王府镇蒙古族学校、洪泉乡中学2025—2026学年上学期九年级期初考试暨第一次联考试卷 数学试卷　
一、单选题
1．要使式子有意义，则x的值可以是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．9
2．下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
4．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1， B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
5．下列说法中正确的是 （ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．计算： ．
8．对于函数y＝（m﹣2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围 ．
9．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据，若要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选择 ．
10．如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D．已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是
11．如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边 ．
三、解答题
12．化简：．
13．计算：．
14．已知，，求的值．
15．已知某一次函数的图像经过点 ，且与正比例函数 的图像相交于点．求这个一次函数的解析式．
16．如图，是的高，是的中线．若，，求的长．
17．如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．
(1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；
(2)若，求工厂C到B市的距离．
18．如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1)求证∶ 为直角三角形．
(2)画出边上的高，并说明理由．
19．如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
20．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
(1)本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
(2)本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
(3)全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
21．五一假期，小明一家人驾驶私家车外出游玩，在某段高速路上经过一段长度为20千米的区间测速路段（区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度），从该路段起点开始，他们先匀速行驶5分钟，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他们到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（分）之间的函数图象如图所示．
(1)的值为________；
(2)当时，求与之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）．
22．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，垂足为，交直线于点，连接，．
(1)求证：；
(2)当点为的中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（）的条件下，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形？
参考答案
1．D
【详解】∵式子有意义，
∴x-50，
∴x5，
观察个选项，可以发现x的值可以是9.
故选D.
2．C
【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意；
B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意；
C、，是最简二次根式；故C选项符合题意；
D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意；
故选C．
3．C
解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝3，
∴BC＝2×3＝6．
故选：C．
4．A
解：A.，故能构成直角三角形，符合题意；
B.，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C.，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D.，故不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A
5．D
【详解】A选项中四边相等的四边形不能证明是正方形,有可能是菱形.则A错误.
B选项一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形，所以B错误.
C选项中，对角线互相垂直，不能判定四边形是菱形.
根据正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，即可得出本题正确答案为D.
6．A
解：由题意，将点代入一次函数得：，解得，
∴点的坐标为，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴关于的方程的解是，
故选：A．
7．
解： ∵，
∴，
故答案为：．
8．m＞2
解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+1，若y随x的增大而增大，
∴m﹣2＞0，
解得，m＞2．
故答案是：m＞2．
9．甲
解：∵，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵，
∴选择甲参赛，
故答案为：甲．
10．4
解：连接，过点C作于E，作于F，
∵村庄C到公路的距离为，
∴
∵四边形是菱形
∴平分，
∴，
即C到公路的距离是．
故答案为：4．
11．48
解：，是的高，且，
，
在中，，
，
故答案为：48
12．
解：原式=
=
13．
解：原式=，
=，
=
14．10
解：，
，．
．
15．
解：把代入，
可得，
即一次函数的图像与正比例函数图像的交点坐标为，
设该一次函数的解析式为，
把点，代入，
得 ，解得，
∴这个一次函数的解析式为．
16．
解：，
，
，，
，
是中线，
∴E是的中点，
是斜边上的中线，
．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
（1）解：∵，，．
且，
∴，
∴，
根据垂线段最短，
∴长是工厂C到公路的最短距离．
（2）解：设，则，
根据勾股定理，得，
解得，
答：工厂C到B市的距离为．
18．(1)证明见解析
(2)画图见解析；理由见解析
【详解】（1）证明：，
，
∴为直角三角形；
（2）解：如图连为所求，
∵，为的中点，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）知：四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴．
20．(1)50，补图见解析
(2)15，15
(3)220人
（1）解： （人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
（2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15；
（3）捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人），
所以全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人，
21．(1)12
(2)
(3)该辆汽车减速前没有超速，理由见解析
（1）解：用时为小时分钟，
故答案为：；
（2）由题意可知：与成一次函数，
设，
依图象可知：当时，；当时，；
∴，
解得：，，
∴与之间的函数关系式，
当分时，；
（3）解：∵5分钟小时
∴减速前的速度：小时
∵
∴该辆汽车减速前没有超速．
22．(1)见解析
(2)四边形是菱形，见解析
(3)当时，四边形是正方形，理由见解析
（1）解：证明∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）四边形是菱形，
理由是：∵点为的中点，
∴，由（）得，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）时，四边形是正方形.
理由：∵，，
∴，
由（）可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．