第21章一元二次方程必考题检测卷（含答案）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第21章一元二次方程必考题检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 鄞州区期末）以方程x2+2x﹣3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（　　）
A．y2+5y﹣6＝0 B．y2+5y+6＝0 C．y2﹣5y+6＝0 D．y2﹣5y﹣6＝0
2．（2024秋 厦门期末）下列方程中有两个相等实数根的是（　　）
A．（x﹣1）（x+1）＝0 B．（x﹣1）（x﹣1）＝0
C．（x﹣1）2＝4 D．x（x﹣1）＝0
3．（2024秋 龙岗区校级期末）已知a、b、c是三个不全为0的实数，那么关于x的方程x2+（a+b+c）x+a2+b2+c2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个负根 B．有两个正根
C．两根一正一负 D．无实数根
4．（2024 武进区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 泰兴市期末）若方程（a+3）x2+x+9＝0是关于x的一元二次方程，则有（　　）
A．a＝3 B．a≠3 C．a＝﹣3 D．a≠﹣3
6．（2024秋 隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023春 松桃县期末）人文书店三月份销售某畅销书100册，五月份销售量达196册，设月平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．100（1+x）＝196 B．100（1+2x）＝196
C．100（1+x2）＝196 D．100（1+x）2＝196
8．（2024秋 宁德期末）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（　　）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 耒阳市期末）方程2x2﹣6x＝1的两根为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ．
10．（2025 陕西模拟）若一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ．
11．（2024秋 和平区期末）已知x＝m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣5的值为 　 　 ．
12．（2024秋 射阳县校级期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 　 　 ．
13．（2024 海淀区校级开学）如果a是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式3a（a﹣2）的值为 　 　 ．
14．（2024秋 仪征市期中）一个长方形花坛，长比宽多3m，面积为300m2，该花坛长为多少？若设花坛的长为x m，则可列方程为 　 　 ．
15．（2024 江阳区校级模拟）设x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则k的值是　 　 ．
16．（2023秋 武侯区校级期末）已知m，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．若关于x的一元一次方程的解是负整数，则满足条件所有整数t的和为 　 　 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2024秋 项城市期末）用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2；
（2）4x2+11x﹣3＝0；
（3）2x2﹣8x+3＝0；
（4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2．
18．（2024秋 耒阳市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0的两实根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x＝﹣1是方程的根，求k的值．
19．（2024秋 蓬莱区期末）已知实数a，b，c满足：，b﹣1是16的平方根，ab＜0，c是2的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）解关于x的方程（a+2）x2﹣b2＝1﹣c．
20．（2024秋 浦东新区校级期中）阅读、理解和应用
中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题．
杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位．1步＝5尺）
解：设宽为x步，则长为（x+12）步，得方程 　 　 ．
如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是 　 　 平方步，大正方形面积是 　 　 平方步，于是矩形的长与宽的和是 　 　 步，得到宽（即x的一个正数解）为 　 　 步．（在对应序号处填空，写在答题纸上）
请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程x2+5x﹣6＝0（求出一个正数解即可）．
（注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记）
21．（2024秋 西城区校级期中）某商场将进货价为40元的台灯以50元的销售价出售，平均每月能销售出600个．市场调研表明，当销售价每上涨1元时，其销售量将减少10个．若设每个台灯的销售价上涨m元．
（1）试用m的代数式填空：
①涨价后，每个台灯的销售价格为 　 　 元；
②涨价后每个台灯的利润为 　 　 元；
③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为 　 　 个；
（2）商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到12000元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个50元的基础上再上涨30元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个50元的基础上再上涨20元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由．
22．（2024秋 济源期末）新定义：若任意两数a、b，按规定V＝6a﹣b得到一个新数“V”，则称所得新数V是数a、b的“快乐返校学习数”．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求a、b的“快乐返校学习数”V；
（2）若a＝m2﹣2m﹣3，b＝4m2﹣8m，且m2﹣2m﹣1＝0，求a、b的“快乐返校学习数”V；
（3）当时，请直接写出关于x的方程的解．
第21章一元二次方程必考题检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D D D C D D
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 鄞州区期末）以方程x2+2x﹣3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（　　）
A．y2+5y﹣6＝0 B．y2+5y+6＝0 C．y2﹣5y+6＝0 D．y2﹣5y﹣6＝0
【解答】解：设α、β是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，那么
α+β＝﹣2，αβ＝﹣3，
∴2﹣3＝﹣5，2×（﹣3）＝6，
若a＝1，则b＝5，c＝6，
∴所求方程是y2+5y+6＝0．
故选：B．
2．（2024秋 厦门期末）下列方程中有两个相等实数根的是（　　）
A．（x﹣1）（x+1）＝0 B．（x﹣1）（x﹣1）＝0
C．（x﹣1）2＝4 D．x（x﹣1）＝0
【解答】解：A、原方程转化为一般式方程为：x2﹣1＝0，Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意；
B、原方程转化为一般式方程为：x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的两个实数根，故符合题意；
C、原方程转化为一般式方程为：x2﹣2x﹣3＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意；
D、原方程转化为一般式方程为：x2﹣x＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，方程有两个不相等的两个实数根，故不符合题意．
故选：B．
3．（2024秋 龙岗区校级期末）已知a、b、c是三个不全为0的实数，那么关于x的方程x2+（a+b+c）x+a2+b2+c2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个负根 B．有两个正根
C．两根一正一负 D．无实数根
【解答】解：∵Δ＝（a+b+c）2﹣4（a2+b2+c2）
＝﹣3a2﹣3b2﹣3c2+2ab+2bc+2ac
＝﹣（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣a2﹣b2﹣c2，
而a、b、c是三个不全为0的实数，
∴﹣（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2≤0，﹣a2﹣b2﹣c2＜0，
∴Δ＜0，
∴原方程无实数根．
故选：D．
4．（2024 武进区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且Δ＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得a，
∵x1+x2，x1x2＝9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即91＜0，
解得a＜0，
最后a的取值范围为：a＜0．
故选D．
方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x＝1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x＝1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a，
∴a＜0，
故选：D．
5．（2024秋 泰兴市期末）若方程（a+3）x2+x+9＝0是关于x的一元二次方程，则有（　　）
A．a＝3 B．a≠3 C．a＝﹣3 D．a≠﹣3
【解答】解：根据题意，得
a+3≠0，
解得，a≠﹣3；
故选：D．
6．（2024秋 隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
则x2﹣3x1，即（x）2，
故选：C．
7．（2023春 松桃县期末）人文书店三月份销售某畅销书100册，五月份销售量达196册，设月平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．100（1+x）＝196 B．100（1+2x）＝196
C．100（1+x2）＝196 D．100（1+x）2＝196
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝196．
故选：D．
8．（2024秋 宁德期末）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（　　）
A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件
C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750
【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确，不符合题意；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确，不符合题意；
C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确，不符合题意；
D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 耒阳市期末）方程2x2﹣6x＝1的两根为x1，x2，则x1+x2＝　3　 ．
【解答】解：∵2x2﹣6x＝1，
∴2x2﹣6x﹣1＝0，
∴，
故答案为：3．
10．（2025 陕西模拟）若一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣5，c＝m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4m＞0，
解得，
故答案为：．
11．（2024秋 和平区期末）已知x＝m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m﹣5的值为 　5　 ．
【解答】解：∵把x＝m代入方程x2﹣3x﹣5＝0得m2﹣3m﹣5＝0，
∴m2﹣3m＝5，
∴2m2﹣6m﹣5＝2（m2﹣3m）﹣5＝2×5﹣5＝5．
故答案为：5．
12．（2024秋 射阳县校级期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 　1+x+x2＝31　 ．
【解答】解：根据题意可得1+x+x2＝31，
故答案为：1+x+x2＝31．
13．（2024 海淀区校级开学）如果a是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式3a（a﹣2）的值为 　18　 ．
【解答】解：由题意可知：a2﹣2a﹣6＝0，
a2﹣2a＝a（a﹣2）＝6，
原式＝3×6＝18．
14．（2024秋 仪征市期中）一个长方形花坛，长比宽多3m，面积为300m2，该花坛长为多少？若设花坛的长为x m，则可列方程为 　x（x﹣3）＝300　 ．
【解答】解：设花坛的长为x m，则该花坛的宽为（x﹣3）m，所以可列方程为：x（x﹣3）＝300，
故答案为：x（x﹣3）＝300．
15．（2024 江阳区校级模拟）设x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则k的值是　1　 ．
【解答】解：由题意得：Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2）≥0，解得k①
又x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2
所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1
＝k2+2+2（k+1）+1
＝k2+2k+5
由已知得k2+2k+5＝8，解得k＝﹣3，k＝1②
由①②得k＝1．
故答案为1．
16．（2023秋 武侯区校级期末）已知m，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．若关于x的一元一次方程的解是负整数，则满足条件所有整数t的和为 　﹣10　 ．
【解答】解：∵单项式﹣xny的次数为3，
∴n+1＝3，
解得：n＝2，
∵方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程，
∴m+1＝0，
∴m＝﹣1，
∴原方程为﹣x﹣tx+2+2＝0，
解得：x，
∵关于x的一元一次方程的解是负整数，
∴4是t+1的负整数倍，
∴t+1取﹣4，﹣2，﹣1，
∴t等于﹣5，﹣3，﹣2，
∴满足条件所有整数t的和为（﹣5）+（﹣3）+（﹣2）＝﹣10．
故答案为：﹣10．
三．解答题（共6小题）
17．（2024秋 项城市期末）用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2；
（2）4x2+11x﹣3＝0；
（3）2x2﹣8x+3＝0；
（4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2，
（2x﹣1）2﹣（2﹣x）2＝0，
（2x﹣1+2﹣x）（2x﹣1﹣2+x）＝0，
（x+1）（3x﹣3）＝0，
则x+1＝0或3x﹣3＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝1；
（2）4x2+11x﹣3＝0，
（x+3）（4x﹣1）＝0，
则x+3＝0或4x﹣1＝0，
所以；
（3）2x2﹣8x+3＝0，
x2﹣4x，
x2﹣4x+4，
（x﹣2）2，
则x﹣2，
所以；
（4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2，
x2﹣8x+16+16x2﹣24x+9﹣9x2﹣6x﹣1＝0，
8x2﹣38x+24＝0，
4x2﹣19x+12＝0，
（x﹣4）（4x﹣3）＝0，
则x﹣4＝0或4x﹣3＝0，
所以．
18．（2024秋 耒阳市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0的两实根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x＝﹣1是方程的根，求k的值．
【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0的两实根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣3）≥0，
解得：k≥﹣2；
（2）∵x＝﹣1是方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0的根，
∴（﹣1）2﹣2（k+1）×（﹣1）+k2﹣3＝0，
解得：k＝0或k＝﹣2．
19．（2024秋 蓬莱区期末）已知实数a，b，c满足：，b﹣1是16的平方根，ab＜0，c是2的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）解关于x的方程（a+2）x2﹣b2＝1﹣c．
【解答】解：（1）根据已知，得2a+1+2a﹣5＝0，b﹣1＝±4，ab＜0，45，c是2的整数部分，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
（2）由（1）可得方程为3x2﹣9＝3，
3x2＝12，
x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
20．（2024秋 浦东新区校级期中）阅读、理解和应用
中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题．
杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位．1步＝5尺）
解：设宽为x步，则长为（x+12）步，得方程 　x（x+12）＝864　 ．
如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是 　144　 平方步，大正方形面积是 　3600　 平方步，于是矩形的长与宽的和是 　60　 步，得到宽（即x的一个正数解）为 　24　 步．（在对应序号处填空，写在答题纸上）
请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程x2+5x﹣6＝0（求出一个正数解即可）．
（注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记）
【解答】解：设宽为x步，则长为（x+12）步，得方程x（x+12）＝864；
由题目条件可知小正方形面积是12×12＝144（平方步）；
大正方形面积是4×864+144＝3600（平方步）；
于是矩形的长与宽的和是x+x+1260（步），
∴矩形的宽为x＝（60﹣12）÷2＝24（步）．
故答案为：x（x+12）＝864；144；3600；60；24；
∵x2+5x﹣6＝0，
∴x2+5x＝6，
∴x（x+5）＝6，如图所示：
∴S小＝5×5＝25；矩形的面积S＝6，
∴[x+（x+5）]2＝25+6×4＝49，
∴x+（x+5）＝7，
∴x＝1．
21．（2024秋 西城区校级期中）某商场将进货价为40元的台灯以50元的销售价出售，平均每月能销售出600个．市场调研表明，当销售价每上涨1元时，其销售量将减少10个．若设每个台灯的销售价上涨m元．
（1）试用m的代数式填空：
①涨价后，每个台灯的销售价格为 　（50+m）　 元；
②涨价后每个台灯的利润为 　（10+m）　 元；
③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为 　（600﹣10m）　 个；
（2）商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到12000元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个50元的基础上再上涨30元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个50元的基础上再上涨20元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由．
【解答】解：（1）①涨价后，每个台灯的销售价格为（50+m）元，
故答案为：（50+m）；
②涨价后每个台灯的利润为（50+m﹣40）元，即（10+m）元，
故答案为：（10+m）；
③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为（600﹣10m）个，
故答案为：（600﹣10m）；
（2）甲、乙的说法都是正确的，理由如下：
由题意得：（10+m）（600﹣10m）＝12000，
整理得：m2﹣50m+600＝0，
解得：m1＝30，m2＝20，
即商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到12000元，在原销售价每个50元的基础上再上涨30元或20元，
∴甲、乙的说法都是正确的．
22．（2024秋 济源期末）新定义：若任意两数a、b，按规定V＝6a﹣b得到一个新数“V”，则称所得新数V是数a、b的“快乐返校学习数”．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求a、b的“快乐返校学习数”V；
（2）若a＝m2﹣2m﹣3，b＝4m2﹣8m，且m2﹣2m﹣1＝0，求a、b的“快乐返校学习数”V；
（3）当时，请直接写出关于x的方程的解．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，
∴V＝6a﹣b＝6﹣（﹣2）＝8，
∴a、b的“快乐返校学习数”V＝8，
（2）∵m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∵a＝m2﹣2m﹣3，b＝4m2﹣8m，
∴V＝6a﹣b，
＝6（m2﹣2m﹣3）﹣（4m2﹣8m）
＝6m2﹣12m﹣18﹣4m2+8m
＝2m2﹣4m﹣18，
＝2（m2﹣2m）﹣18＝2×1﹣18＝﹣16；
（3）∵，
∴，
解得：，
∴V＝6a﹣b，
∴方程，即，
去分母得，﹣6（x﹣2）＝3﹣3x，
去括号得，﹣6x+12＝3﹣3x，
移项得，3x﹣6x＝3﹣12，
合并同类项得，﹣3x＝﹣9，
解得：x＝3．
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