第21章一元二次方程易错精选题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第21章一元二次方程易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．设方程的两根分别是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（　　）人感染流感．
A．50 B．75 C．125 D．65
6．某县大力治理生态环境，发展生态旅游，吸引了全国各地的游客．2023年暑假，该县接待游客35万人次，2025年增长至86万人次．设这两年暑假，该县接待旅游人次的年平均增长率为，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
7．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　）
新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+
A．1 B． C． D．1或
二、填空题
9．一元二次方程 的根为 ．
10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
11．已知a，b是方程的两个根，则的值为
12．已知a是方程的解，则代数式的值为 ．
13．把一元二次方程化成的形式，则的值为 ．
14．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为 ．（参考数据：）
15．如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ．
16．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于．
三、解答题
17．用公式法解方程：．
18．用因式分解法解方程：．
19．用配方法解方程：．
20．先阅读例题，再解答问题：
例：解方程．
解：当时，，解得（不合题意，舍去），；
当时，．解得（不合题意，舍去），．
综上所述，原方程的解为或．
依照上例解法解方程：．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值．
22．某水果商场经销一种水果，原价每千克50元．
(1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？
23．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
(3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
《第21章一元二次方程易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C A C C A A
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程；一般形式为：．先将各个方程化简成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、方程，化简后为：，是关于的一元二次方程，符合题意；
B、方程不是整式方程，因此不是关于的一元二次方程，不符合题意；
C、方程，必须限定二次项系数不为0，即，因此不一定是关于的一元二次方程，不符合题意；
D、方程，化简后为：，不是关于的一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】解：因为方程的两根分别是，
所以．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法．
将已知根代入方程，求出m的值．
【详解】解：因为方程的一个根是1，
所以将代入方程可得：
，解得
故选：C．
4．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意，得到根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均每人传染了人，根据题意列出方程：求解即可；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人，
由题意得：，
解得：，（舍去），
则第三轮传染后有（人）；
故选：C ．
6．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握年平均增长率的计算方法是解题的关键．根据年平均增长率的概念，先求出2024年的游客人次，再求出2025年的游客人次，使其等于86万人次，从而列出方程．
【详解】解：由题意可得．
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系．
设年平均增长率为x，可得出2024、2025年投入研发资金，结合到2025年累计三年共投入研发资金364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得，
．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设这个数为x，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
这个数为1，
故选A．
9． ，
【分析】本题主要考查解一元二次方程—配方法，两边都加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式，继而开方可得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，，
故答案为：，．
10．
【分析】根据方程的根的判别式计算即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
11．5
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，结合整体思想即可解决问题．
【详解】解：因为a，b是方程的两个根，
所以，，
则，
所以
故答案为：
12．2024
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，整理得到，再整体代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵a是方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2024．
13．8
【分析】根据得故，类比，得到，解答即可．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方是解题的关键．
【详解】解：根据得，
故，
类比，
得到，
故．
故答案为：8．
14．
【分析】本题通过设每天“遗忘”的百分比为，依据“两天不练丢一半”这一条件建立一元二次方程，求解方程并结合实际意义确定的值．本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键．
【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得
．
解得，（，不符合题意，舍去 ）．
∵ ，
∴ 每天“遗忘”的百分比约为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，根据题意列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
∴垂钓通道的宽度为，
故答案为：．
16．秒或秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设经过秒钟，的面积等于，由题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设经过秒钟，的面积等于，由题意得，
，
，，
∴经过秒或秒时，的面积等于，
故答案为：秒或秒．
17．
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴
∴
18．
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴
19．，
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
即，
∴，
∴， ．
20．或
【分析】本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案．
【详解】解：当时，，
∴，
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；
当时，，
∴，
解得，．
综上所述，原方程的解为或．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
实数的取值范围为．
（2），是关于的一元二次方程的两实数根，
，．
，
，
，
，即，
解得：或，
当时，方程变为，
，不符合题意，舍去，
当时，方程变为，
，，
，
．
22．(1)
(2)5
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，具体涉及以下知识点：增长率/下降率问题模型，销售利润问题分析，考查了对实际问题的综合分析能力．
（1）根据原价和两次降价后的价格，利用降价公式建立方程求解降价百分率；
（2）依据每千克的盈利、销售量与涨价的关系，构建盈利方程来确定涨价金额．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x．
第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元．
已知两次降价后每千克32元，可得方程．
解得
当时，；
当时，（舍去）．
所以每次下降的百分率是．
（2）解：设每千克应涨价y元．
每千克盈利变为元，日销售量变为千克．
要保证每天盈利12000元，可列方程．
，
解得，．
因为每千克涨价不能超过8元，所以．
每千克应涨价5元．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)，，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用．
（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根．
（2）根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长．
（3）依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：．设是方程③和方程④的一个相同的实根，可得，可得．再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴
，
，
无论k为任意实数值方程，总有实数根．
（2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根，
∴，
∵b、c为直角边，斜边长，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
，
舍去，
∴，
∴的周长，
（3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减，
解得：．
设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减，
∴解得，
∴．
又方程①的两根之积等于1，
∴也是方程①的根，则．
又，
两方程相减，得．
若，则方程①无实根，
∴，
∴．
∴，
∴，
由④得：．
又，
解得：，．
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