第22章二次函数必考题检测卷（含答案）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第22章二次函数必考题检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 沙坪坝区期末）当x＝﹣3时，函数y＝x2的函数值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9
2．（2024秋 福州期中）抛物线y＝2x2+3与y轴的交点是（　　）
A．（0，5） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，1）
3．（2024秋 孟村县期末）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（4，﹣11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中正数（　　）
A．只有a B．只有b C．只有c D．只有a和b
4．（2024秋 永胜县校级月考）若抛物线y＝（m﹣2）x2﹣x+1的开口向上，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≠2 D．m≠0
5．（2024 新兴县二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 越秀区校级期中）已知x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于（　　）
A．7 B．9 C．3 D．5
7．（2024 鼓楼区校级一模）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+1
8．（2024 罗湖区校级模拟）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③2a﹣b＜0；
④b2+8a＞4ac．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
9．（2025 汝阳县一模）二次函数y＝x2﹣4x+5的最小值为　 　 ．
10．（2025 天津校级模拟）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为　 　 ．
11．（2024秋 新华区校级期中）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是 y1　 　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
12．（2024 玄武区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（﹣1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为　 　 ．
13．（2024秋 海陵区校级月考）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是c，且a，b满足|a+2|+（b+1）2＝0，c＝a2﹣b．若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 　 　 ．
14．（2024春 海曙区校级期末）如图，点A是抛物线y＝x2﹣4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为　 　 ．
15．（2024秋 成都期末）用一张边长为48cm的正方形纸，制成一个无盖的长方体盒子，需在四个角上都剪去一个同样大小的正方形（如图中虚线所示），当剪去的正方形边长为4cm时，折成的无盖的长方体的容积是 　 　 立方厘米；用你喜欢的方式探究，用这张正方形纸可制成的无盖的长方体盒子的最大容积是 　 　 立方厘米．
16．（2014 徐汇区校级自主招生）在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m的值等于　 　 ．
三．解答题（共7小题）
17．（2024秋 朝阳区校级期中）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2+2x﹣3的图象；
（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．
18．（2024秋 伊通县期末）已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
19．（2024秋 榆林期末）某商场一种商品标价为40元，试销中发现：①一件该商品打九折销售仍可获利20%；②每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y＝162﹣3x．
（1）求该商品的进价为多少元？
（2）在不打折的情况下，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元？最大销售利润为多少？
20．（2024 湖南模拟）对于给定的抛物线y＝x2+ax+b，使实数p、q适合于ap＝2（b+q）
（1）证明：抛物线y＝x2+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
21．（2024 龙岗区校级模拟）建立平面直角坐标系（如图所示），OA＝OB＝10，点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止，同时点D自原点出发沿x轴正方向匀速运动，在点P、D运动的过程中，始终满足PO＝PD，过点O、D向AB作垂线，垂足分别为点C、E，设OD的长为x
（1）求AP的长（用含x的代数式表示）
（2）在点P、D运动的过程中，线段PC与BE是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；
（3）设以点P、O、D、E为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
22．（2025 澄迈县模拟）已知二次函数的图象经过点（2，﹣4），与x轴交于点（4，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若抛物线与直线y＝m有交点，求m的取值范围；
（3）若把二次函数的图象沿x轴向右平移n（n＞0）个单位，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣3，求n的值．
23．（2025 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
第22章二次函数必考题检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A A A C B D
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 沙坪坝区期末）当x＝﹣3时，函数y＝x2的函数值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9
【解答】解：将x＝﹣3代入y＝x2得y＝9，
故选：C．
2．（2024秋 福州期中）抛物线y＝2x2+3与y轴的交点是（　　）
A．（0，5） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，1）
【解答】解：当x＝0时，y＝2×0+3＝3，所以交点是（0，3）．
故选：B．
3．（2024秋 孟村县期末）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（4，﹣11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中正数（　　）
A．只有a B．只有b C．只有c D．只有a和b
【解答】解：由题意，得
由（3）得，11（5）
由（1）（5）得，11＞0，即4a＞0，
∴a＞0 （6）
由（2）（6）得，c＜0
由（4）（6）得，b＜0
∴a＞0，b＜0，c＜0
故选：A．
4．（2024秋 永胜县校级月考）若抛物线y＝（m﹣2）x2﹣x+1的开口向上，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≠2 D．m≠0
【解答】解：由题意，
∵抛物线y＝（m﹣2）x2﹣x+1的开口向上，
∴m﹣2＞0．
∴m＞2．
故选：A．
5．（2024 新兴县二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意；
A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论一致，A选项符合题意；
C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论矛盾，C选项不合题意；
故选：A．
6．（2024秋 越秀区校级期中）已知x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于（　　）
A．7 B．9 C．3 D．5
【解答】解：∵x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，
∴二次函数y＝x2+4x+6的对称轴为直线x，
又∵二次函数y＝x2+4x+6的对称轴为直线x＝﹣2，
∴2，
∴3m+3n+2＝﹣4，m+n＝﹣2，
∴当x＝3（m+n+1）＝3（﹣2+1）＝﹣3时，
x2+4x+6＝（﹣3）2+4×（﹣3）+6＝3．
故选：C．
7．（2024 鼓楼区校级一模）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+1
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣1﹣2，即y＝2（x+1）2﹣3，
故选：B．
8．（2024 罗湖区校级模拟）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③2a﹣b＜0；
④b2+8a＞4ac．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵该函数图象的开口向下，∴a＜0；
又对称轴x0，
∴b＜0；
而该函数图象与y轴交于正半轴，故c＞0，
∴abc＞0，正确；
②当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0；正确；
③根据题意得，对称轴﹣1＜x0，∴2a﹣b＜0，正确；
④∵2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
即b2+8a＞4ac，正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2025 汝阳县一模）二次函数y＝x2﹣4x+5的最小值为　1　 ．
【解答】解：配方得：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+22+1＝（x﹣2）2+1，
当选x＝2时，二次函数y＝x2﹣4x+5取得最小值为1．
10．（2025 天津校级模拟）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为　y＝（x+1）2﹣3　 ．
【解答】解：由“上加下减”的法则可知，抛物平移后的表达式为y＝x2+2x﹣2，即y＝（x+1）2﹣3．
故答案为：y＝（x+1）2﹣3．
11．（2024秋 新华区校级期中）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是 y1　＞　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【解答】解：∵点A（0，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣2）2+1图象上的两点，
∴y1＝5，y2＝2．
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
12．（2024 玄武区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（﹣1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为　﹣4　 ．
【解答】解：由于二次函数的图象过点A（﹣1，4），点B（2，1），
所以，
解得
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，
所以Δ＝b2﹣4ac＞0，
（﹣a﹣1）2﹣4a（3﹣2a）＞0，即（9a﹣1）（a﹣1）＞0，
由于a是正整数，故a≥2，
又因为b+c＝﹣3a+2≤﹣4，
故b+c的最大值为﹣4．
故答案为﹣4．
13．（2024秋 海陵区校级月考）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是c，且a，b满足|a+2|+（b+1）2＝0，c＝a2﹣b．若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 　4　 ．
【解答】解：∵|a+2|+（b+1）2＝0，
∴a+2＝0，b+1＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，
∴c＝（﹣2）2﹣（﹣1）＝5，
∵将数轴折叠，使得点A与点C重合，
∴折叠的点为：，
∴与点B重合的点表示的数是；
故答案为：4．
14．（2024春 海曙区校级期末）如图，点A是抛物线y＝x2﹣4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为　（2，﹣1）或（2，2）　 ．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x对称轴为直线x2，
∴设点A坐标为（2，m），
如图，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x＝2，
∴∠APO＝∠AQO′＝90°，
∴∠QAO′+∠AO′Q＝90°，
∵∠QAO′+∠OAQ＝90°，
∴∠AO′Q＝∠OAQ，
又∠OAQ＝∠AOP，
∴∠AO′Q＝∠AOP，
在△AOP和△AO′Q中，
∵，
∴△AOP≌△AO′Q（AAS），
∴AP＝AQ＝2，PO＝QO′＝m，
则点O′坐标为（2+m，m﹣2），
代入y＝x2﹣4x得：m﹣2＝（2+m）2﹣4（2+m），
解得：m＝﹣1或m＝2，
∴点A坐标为（2，﹣1）或（2，2），
故答案为：（2，﹣1）或（2，2）．
15．（2024秋 成都期末）用一张边长为48cm的正方形纸，制成一个无盖的长方体盒子，需在四个角上都剪去一个同样大小的正方形（如图中虚线所示），当剪去的正方形边长为4cm时，折成的无盖的长方体的容积是 　6400　 立方厘米；用你喜欢的方式探究，用这张正方形纸可制成的无盖的长方体盒子的最大容积是 　8192　 立方厘米．
【解答】解：（48﹣8）2×4＝6400（立方厘米），
设减去的正方形的边长为x cm，制成的无盖的长方体盒子的容积是y cm2，
则y＝x（48﹣2x）2，
x，y对应值列表如下：
由上表格知：当x＝8时，y最大，最大值为：8192，
故答案为：6400，8192．
16．（2014 徐汇区校级自主招生）在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m的值等于　2　 ．
【解答】解：设方程x2+mxm2＝0的两根分别为x1、x2，且x1＜x2，则有x1+x2＝﹣m＜0，x1x2m2＜0，
所以x1＜0，x2＞0，由，可知OA＞OB，又m＞0，
所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA＝|x1|＝﹣x1，OB＝x2，
所以，即，
故，
解得m＝2．
故答案为：2
三．解答题（共7小题）
17．（2024秋 朝阳区校级期中）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2+2x﹣3的图象；
（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4．
（2）图象如图所示：
（3）由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0）和（﹣3，0），
∴y＞0时x的取值范围是x＞1或x＜﹣3．
18．（2024秋 伊通县期末）已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx得
，
解得，
因此二次函数的关系式y＝2x2﹣4x；
（2）∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，﹣2）．
19．（2024秋 榆林期末）某商场一种商品标价为40元，试销中发现：①一件该商品打九折销售仍可获利20%；②每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y＝162﹣3x．
（1）求该商品的进价为多少元？
（2）在不打折的情况下，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元？最大销售利润为多少？
【解答】解：（1）设该商品的进价为m元，由题意得40×0.9﹣m＝20% m，
∴m＝30，
∴该商品的进价为30元；
（2）在不打折的情况下，商场获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣30）（162﹣3x）＝﹣3（x﹣42）2+432 （30≤x≤54），
∵a＝﹣3＜0，
∴当x＝42时，w最大＝432，
∴如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为42元为最合适，最大销售利润为432元．
20．（2024 湖南模拟）对于给定的抛物线y＝x2+ax+b，使实数p、q适合于ap＝2（b+q）
（1）证明：抛物线y＝x2+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
【解答】证明：（1）由ap＝2（b+q），得qb，代入抛物线y＝x2+px+q，
得：﹣y+x2﹣b+p（x）＝0，
得，
解得：，
故抛物线y＝x2+px+q通过定点（，）．
（2）由2q＝ap﹣2b得p2﹣4q＝p2﹣2 2q＝p2﹣2（ap﹣2b）＝（p﹣a）2﹣（a2﹣4b），
∴（p2﹣4q）+（a2﹣4b）＝（p﹣a）2≥0，
∴p2﹣4q，a2﹣4b中至少有一个非负，
∴x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．
21．（2024 龙岗区校级模拟）建立平面直角坐标系（如图所示），OA＝OB＝10，点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止，同时点D自原点出发沿x轴正方向匀速运动，在点P、D运动的过程中，始终满足PO＝PD，过点O、D向AB作垂线，垂足分别为点C、E，设OD的长为x
（1）求AP的长（用含x的代数式表示）
（2）在点P、D运动的过程中，线段PC与BE是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；
（3）设以点P、O、D、E为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）作PG⊥x轴于点G，PF⊥y轴于点F，
在Rt△APF中，
∵OA＝OB，
∴∠PAF＝45°，
∴PF＝AP sin45°AP，
∵OG＝PF，即AP，
∴APx．
（2）结论：PC＝BE．
①当0≤x＜10时，
∵PC＝AC﹣AP＝5x，BEBD（10﹣x），
∴PC＝BE，
②当10≤x≤20时，如图
∵PC＝AP﹣AC，BEBD（x﹣10），
∴PC＝BE，
综合①②PC＝BE；
（3）①当0＜x＜10时，
S四边形PODE＝S△AOB﹣S△AOP﹣S△DEB，
，
x2x+25，
②当10≤x≤20时，
S四边形PODE＝S△POD+S△DOE
x（10）x ，
x．
22．（2025 澄迈县模拟）已知二次函数的图象经过点（2，﹣4），与x轴交于点（4，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若抛物线与直线y＝m有交点，求m的取值范围；
（3）若把二次函数的图象沿x轴向右平移n（n＞0）个单位，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣3，求n的值．
【解答】解：（1）将（2，﹣4），（4，0）代入，得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2），即：x2﹣2x﹣8﹣2m＝0，
∵抛物线与直线有交点，则4﹣4×（﹣8﹣2m）≥0，
解得；
（3）由（2）可得的对称轴为直线x＝1，
且抛物线在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大，
∴抛物线在x＝2时有最小值为﹣4，
①向右平移n个单位，当平移后对称轴在2左边时，即n≤1，函数在x＝2处取得最小值﹣3，
即，
解得：，都不符合题意；
②当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
③当平移后对称轴在3右边时，即n≥2时，函数在x＝3时，存在y的最小值﹣3，
∴，
解得：，，（舍去）
∴，综上所述，．
23．（2025 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，
∴，
解得，
则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x；
（2）当k＝1时，则y＝x﹣1，
∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1，
∴D（0，﹣1），E（2，1），
∵y＝（x﹣h）2﹣1，
∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，
∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，
∴联立，
整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0，
∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0，
即时，满足题意，
将开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点，
∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1，
解得：，
∴当时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点；
（3）存在，
∵y＝kx﹣k，
∴当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点C在抛物线的对称轴上，
∵PQ过点C，且与直线AB垂直，
∴直线PQ的解析式为：，即：，
联立，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0，
∴xA+xB＝k+2，，
∵M为AB的中点，
∴M，
联立，
同理可得：N，
作MH⊥CT，NF⊥CT，
∵TC 平分∠MTN，
∴∠NTF＝∠MTH，
∴tan∠NTF＝tan∠MTH，
∴，
设T（1，t），则，
解得：，
∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN．
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