第22章二次函数易错精选题（含答案）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第22章二次函数易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向向下 B．形状与相同
C．顶点是 D．函数最大值为4
3．“不等式在上恒成立”的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … 0 2 …
y … 15 0 0 …
则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
6．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数的图像与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．A，B两点之间的距离为7
D．当时，y随x值的增大而增大
8．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图像的对称轴是y轴；②函数的最小值为2．
10．抛物线与轴交于，两点，则的长为 ．
11．二次函数，自变量x与函数y的对应值如表：则当时，y满足的范围是 ．
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 5 12 …
12．若抛物线与x轴交于点，则 ．
13．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ．
14．定义运算：，例如，则函数的最小值是 ．
15．如图，，C是线段上一动点（不与点A，B重合），以为边作正方形，以为边作菱形（正方形与菱形在的同侧），连接，当时，面积的最大值为 ．
16．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ．
三、解答题
17．如图，已知直角坐标平面上的，，，且，，．若抛物线经过、两点．
(1)求、的值；
(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点，求新抛物线的解析式．
18．已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A．
(1)若时，求m的值．
(2)求m与k的关系式．
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围．
19．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交BC于点E．
(1)若，求点D的坐标；
(2)求的最大值．
20．如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，且抛物线经过点．
(1)求此抛物线的解析式及A，B两点坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH的值最小，并求出点H的坐标；
21．已知二次函数．
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)根据图象，写出当时，的取值范围：
(3)若将此图象沿轴向左平移3个单位，请写出平移后图象对应的函数解析式．
22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1050元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？
(2)能否通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利最大？若能，求出最大值；若不能，请说明理由．
23．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中，顶点，点E为对称轴上的点，D、F为抛物线上点（点D位于对称轴左侧），且四边形是正方形.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求正方形面积；
(3)如图2、图3，连接，且与交于点M，与y轴交于点N，点P为抛物线上位于下方的点，点Q为直线上点，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P坐标．
《第22章二次函数易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A A B C D A
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如、、 为常数， 的函数，称为二次函数，对照函数的解析式，根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】A．不是二次函数，故选项A不符合题意；
B．不是二次函数，故选项B不符合题意；
C．是二次函数，故选项C符合题意；
D．不是二次函数，故选项D不符合题意．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及拋物线的开口方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键．
根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、抛物线，抛物线开口向下，此选项正确；
B、抛物线形状与相同，此选项正确；
C、抛物线顶点坐标是，此选项错误；
D、抛物线抛物线开口向下，顶点坐标是，函数有最大值为4，此选项正确．
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，涉及到分类讨论思想和一元二次方程判别式的应用．当时，当时，两种情况进行讨论，即可解答．
【详解】解：①当时，原不等式变为，即，
∴不能在上恒成立，不合题意，
∴；
②当时，不等式是一元二次不等式，
对于一元二次函数，
当时，函数图象开口向上，要使恒成立，即函数图象在轴上方，
∴需要满足判别式，
由不等式，得，，，
∴，
即，
解得：，
当时，二次项系数，二次函数的图象开口向下，必然存在实数使得不满足不等式，在上恒成立．
综上可得：．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据表格信息求解的对称轴为直线，再进一步求解即可.
【详解】解：由表格信息可得：的对称轴为直线，
而当时，，
根据对称性可得：
当时，，
∴的解为：，；
故选：A
5．B
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数、的图象都经过，
∴，，
解得，，
∴、，
∴，
抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为；
故选：B．
6．C
【分析】根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”来求解平移后的抛物线解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
【详解】解： 原抛物线的解析式为
将其向左平移 个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到
再向下平移 个单位长度，根据“上加下减”的原则
得到
故选：
7．D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
先运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴，解得：，
∴二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，y的值随x值的增大而增大，即当时，y随x值的增大而增大；故D选项正确，符合题意；
当时，，解得，，
∴，
∴，故C选项不正确，不符合题意．
故选：D．
8．A
【分析】本题可根据二次函数的图象与性质，分别对五个结论进行分析判断．本题主要考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的对称轴、与轴交点个数与判别式的关系以及最短路径问题是解题的关键．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点
，即，故①正确
对称轴为
，即，，故②错误
当时，
，故③错误
抛物线开口向下，
当时，
，，
又，
无法确定与的大小关系，故④错误
抛物线的对称轴为，
点关于对称轴的对称点为
的周长为
的周长的最小值为
，
的周长的最小值为，故⑤正确
综上，正确的结论有①⑤，共个
故选：A．
9．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，设函数为由图像对称轴为y轴知，从而，再由函数有最小值2，可知，进而可以得解．
【详解】解：由题意得：设函数为，
图像对称轴为y轴，
，
，
又函数的最小值为2，
，，
，
若取，则二次函数表达式为．
故答案为：（答案不唯一）．
10．7
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程中的抛物线与轴交点的知识，掌握以上知识，是解答本题的关键；
本题先把代入，求得，在求得，然后即可求解；
【详解】解：把代入，
解得：，
∴，
∴令，解得：，，
∴，
∵，
∴的长为，
故答案为：7；
11．
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．根据表格结合二次函数的图象上点的坐标特征及其性质可得出其对称轴，顶点坐标和开口方向，即可得出当时y的取值范围．
【详解】解：根据表格可知，该二次函数对称轴为，故顶点为，即当时，函数有最小值．
∴抛物线开口向上，
∴当时，取最大值5．
∴当时，．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系，根据根与系数关系定理求解即可．
【详解】解：由题可知，是方程的两根，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键．
把代入中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合知区间的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可．
【详解】解：∵把代入中，得：,
∴，
∴函数解析式为：，
∵，
∴二次函数开口向上，对称轴为轴，
∵，
∴，，
①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，
解得：，
且，
则有，
解得：；
②当，即时，函数在处取得最大值，
∴，
解得：，这与矛盾，故不成立；
综上可得：．
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：，
，
即，
当时，函数有最小值，最小值是，
故答案为：．
15．4
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，正方形的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由菱形的性质得到，则可求出，则；设，则，由正方形的性质得到，则，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于F，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴当，即时，有最大值，最大值为4，
故答案为：4．
16．或
【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
由图象可知：不等式的解集为或；
故答案为：或．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式等知识，求得B的坐标是解题的关键．
（1）只需把点、的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；
（2）可设新抛物线的解析式为，然后求出点的坐标，并把点的坐标代入新抛物线的解析式，就可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，
解得：．
（2）解：设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点，
则新抛物线的解析式为，
∵，，
∴，
∵，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴新抛物线的解析式为．
18．(1)0或3
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键．
（1）把代入，即可求解；
（2）求得平移后的函数解析式，根据题意得到，消去a即可求得；
（3）根据对称轴直线，分对称轴在区间左侧、右侧、区间内三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得或，
故m的值为0或3．
（2）解：抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（）后得到抛物线的解析式为，
∵平移后的图象也经过点，
∴，
消去a，得；
（3）解：对称轴为直线．
①当时，
当时，y取最大值，
当时，代入得y取最小值，
所以，
解得（舍去）．
②当时，
．当时，
当 时，代入得y取到最大值，
当时，代入得y取到最小值，
所以，符合题意．
．当时，
当时，y取到最大值，
当时，y取到最小值
所以
解得（均舍去）．
综上所述，．
由，得．
19．(1)点D的坐标为或
(2)的最大值为
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是对二次函数性质的应用．
（1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求直线的解析式，设，则，然后根据得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可；
（2）根据（1）中关于m的解析式和m的取值范围，由二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得，
∴，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
∴的最大值为．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）将代入抛物线解析式，求得c，从而求得抛物线解析式，令得一元二次方程，解方程，进一步求得结果；
（2）点B是点A关于抛物线的对称轴的对称点，连接交对称轴即为点H，可求的解析式，将代入，求得H点纵坐标，进而求得H点坐标；
本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是需要较强的计算能力．
【详解】（1）解：将点代入得
∴，
∴抛物线的解析式是：，
令，即：，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵点在抛物线对称轴上，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，最小，此时点为与抛物线对称轴的交点，
设直线的解析式是：，
∴，
∴
∴，
当时，，
∴．
21．(1)见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）根据列表，描点，连线画图象的基本步骤解答即可；
（2）根据图象，确定抛物线与x轴交点的横坐标，根据图象写出解集即可：
（3）根据左加右减计算即可．
本题考查了图象的画法，抛物线的性质，平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，列表如下：
x 0 1 …
y 0 3 4 3 0 …
描点，连线，画图如下：
（2）解：根据题意，得抛物线与x轴的交点坐标为，
故当时，或．
（3）解：∵抛物线解析式为，
故将此图象沿轴向左平移3个单位，平移后图象对应的函数解析式．
22．(1)衬衫的单价应降25元
(2)能通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利最大，且最大值1250元
【分析】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题意列出对应的式子是解决问题的关键．
（1）根据题意列出一元二次方程，正确的解方程并根据实际意义取值即可；
（2）在（1）的基础上列出二次函数的解析式，根据二次函数图象的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设衬衫的单价降了x元，根据题意，得
即
解方程，得，，
因为要尽快减少库存，所以销量应尽可能大．
当时，销量为件；
当时，销量为件．
因为，所以应取，
答：衬衫的单价应降25元．
（2）解：
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y最大值为1250，
答：能通过降价后商场销售这批衬衫每天盈利最大，且最大值1250元．
23．(1)
(2)32
(3)或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、正方形的性质、二次函数的图象及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值即可解答；
（2）如图1：过点F作交于点R，设，则，可得，再由正方形的性质，列方程求得即可解答；
（3）由题可知，，直线的解析式为，设，分两种情况讨论：①当Q点在直线下方时，过点Q作交于点G，作交于点T，可证明，能求出，即可求；②当Q点在直线上方时，过点Q作交于S点，过点P作交于K点，可证明，能求出，则可求．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
将点代入，得，解得：，
∴，即．
（2）解：如图1：过点F作交于点R，
设，则，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，解得：（舍）或，
∴，
∴，
∴，
∴正方形CFED的面积是32．
（3）解：由题可知，，
∴直线的解析式为，
设，
①如图2，当Q点在直线下方时，过点Q作交于点G，作交于点T，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵P点在抛物线上，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴；
②如图3，当Q点在直线上方时，过点Q作交于S点，过点P作交于K点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵P点在抛物线上，
∴，解得：或，
∵，
∴，
∴．
综上，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，点P坐标为或．
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