奥数思维拓展：比的认识（含解析）-2025-2026学年数学六年级上册北师大版

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奥数思维拓展：比的认识-2025-2026学年数学六年级上册北师大版
一、选择题
1．学校买来380本图书，按一定的比分给两个年级，这个比不可能是（ ）。
A．2∶3 B．10∶9 C．5∶4
2．甲数是乙数的，甲数和乙数的比是（ ）。
A．1∶3 B．3∶1 C．
3．大圆面积的等于小圆面积的，则大、小两个圆的面积之比是（ ）。
A．4∶1 B．9∶1 C．9∶4
4．如果被除数与除数的比是8∶3，则商与除数的比是（ ）。
A．8∶3 B．5∶8 C．8∶9
5．据《人民网》报道：教育部在今年4月22日首次向全国中小学生发布《阅读指导目录》，供学生自主选择阅读。《目录》分为小学、初中、高中三个学段，共300种书目，三个学段的书目比是11∶10∶9，其中小学学段有（ ）种书目。
A．100 B．110 C．90
6．一块长方形菜地周长是120m，长和宽的比是2∶1。这块长方形菜地的面积是（ ）m2。
A．3200 B．1600 C．800
7．一项工程，甲队单独做要10天，乙队要8天，甲乙两队工效比是（ ）。
A．10∶8 B．5∶4 C．4∶5
8．六（1）班男生人数比女生少，则六（1）班男生和女生人数的比是（ ）。
A．2∶3 B．4∶3 C．3∶4
二、填空题
9．一本故事书，小林第一天看了全书的，第二天看了36页，这两天看的页数与剩下页数的比是2∶7，这本书共有( )页。
10．为了庆祝六年级学生毕业，学校准备召开毕业典礼，要购买红、黄、蓝三种气球共400个来布置会场。已知红气球、黄气球、蓝气球的个数比是5∶2∶3，那么红气球有( )个，黄气球有( )个，蓝气球有( )个。
11．用一根长48厘米的铁丝围成一个长、宽、高的比是5∶4∶3的长方体框架，在这个长方体框架表面糊一层包装纸，至少需要( )平方厘米的纸，这个长方体的体积是( )立方厘米。
12．如图，大长方形被分成面积相等的四部分，其中的长和宽的比是，的长与宽之比是( )。
13．白粉笔是彩粉笔的4倍，如果每天用去4根彩粉笔，那么每天用去( )根白粉笔，若干天后，两种粉笔同时用完。
14．甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲乙丙三个数的和152，甲为( )，乙为( )，丙为( )。
三、判断题
15．当鸡的只数等于兔的只数时，鸡腿总数∶兔腿总数＝1∶2。( )
16．行驶同样的距离，甲车速度∶乙车速度＝5∶4，那么甲车行驶时间∶乙车行驶时间＝4∶5。( )
17．两个正方形周长的比是5∶3，那么这两个正方形的面积比也是5∶3。( )
18．若大圆与小圆半径的比是5∶3，则大圆与小圆面积的比也是5∶3。( )
19．小明和小丽今年的年龄比是5∶7，四年后他们的年龄比不变。( )
四、解答题
20．某车间组装一批电脑，第一天组装了这批电脑的18%，第二天组装了14台，这时已组装的电脑与未组装的电脑的数量比是1∶4，这批电脑一共有多少台？
21．某工厂共有474个零件需要加工，先由师傅加工1小时，再由师徒两人一起加工。已知徒弟每小时加工30个，师傅与徒弟的工作效率比是7∶5。
（1）师傅每小时加工零件多少个？
（2）两人一起加工后几小时可完成任务？
22．红叶服装厂生产一批校服，前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1∶3，如果再生产150套，则正好完成这批校服的40%。这批校服共有多少套？
23．甲、乙两人同时从地匀速走往地，当甲走了全程的时，乙走了240米。当甲走到B地时，乙还剩全程的。A、B两地相距多少千米？
24．水果店运进草莓1000千克，进价为15元/千克，售价为20元/千克。售出一部分后，为了尽快售完，余下的打折出售。如果售完这批草莓共盈利4200元。其中打折前和打折后的盈利比是5∶2，那么余下的草莓是按原售价的几折出售的？
25．一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成的时间和甲队单独完成的时间比为3∶2，现在这项工程先由甲、乙两队合作3天，剩下的由甲队继续完成。甲队还需要多少天才能完成这项工程？
《奥数思维拓展：比的认识-2025-2026学年数学六年级上册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C B C C C
1．C
【分析】380应该是两个年级分的份数和的整数倍，把两个年级的分的比的份数加起来，用总图书数除以总份数，有余数的就是不可能的。据此判断。
【详解】A．2＋3＝5，380÷5＝76，380除以5没有余数，这个比可能；
B．10＋9＝19，380÷19＝20，380除以19没有余数，这个比可能；
C．5＋4＝9，380÷9＝42……2，380除以9有余数，这个比不可能。
故答案为：C
2．A
【分析】如果甲数是乙数的，根据分数的意义，可以把乙数看作3，甲数看作1，那么甲数∶乙数＝1∶3。
【详解】通过分析可得：甲数是乙数的，甲数和乙数的比是1∶3。
故答案为：A
3．C
【分析】根据大圆面积的等于小圆面积的可写成关系式，即，则，要求大、小两个圆的面积之比，用小圆面积表示大圆面积代入比，化简比即可。
【详解】，则。
大圆面积∶小圆面积
＝（）∶小圆面积
＝∶1
＝（）∶（1×4）
＝9∶4
因此大、小两个圆的面积之比是9∶4。
故答案为：C
4．C
【分析】被除数与除数的比是8∶3，可以把被除数看作是8，除数是3；根据比与除法的关系：被除数做比的前项，除数做比的后项；被除数与除数的比是8∶3，即被除数÷除数＝8∶3，求出商；再根据比的意义，用商∶除数，即可解答。
【详解】8∶3
＝8÷3
＝
∶3
＝（×3）∶（3×3）
＝8∶9
如果被除数与除数的比是8∶3，则商与除数的比是8∶9。
故答案为：C
5．B
【分析】已知三个学段的书目比是11∶10∶9，则把小学、初中、高中三个学段的书目种类看作11份、10份、9份，用300÷（11＋10＋9）即可求出每份是多少，进而用乘法即可求出11份是多少。
【详解】300÷（11＋10＋9）
＝300÷30
＝10（种）
10×11＝110（种）
小学学段有110种书目。
故答案为：B
6．C
【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，即用120除以2即可得到长方形的长与宽的和，再根据按比分配问题求出长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式：S＝ab，据此计算即可。
【详解】120÷2＝60（m）
60÷（2＋1）
＝60÷3
＝20（m）
20×2＝40（m）
20×1＝20（m）
40×20＝800（m2）
则这块长方形菜地的面积是800m2。
故答案为：C
【点睛】本题考查按比分配问题，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。
7．C
【分析】把这项工程看作单位“1”，用1÷10，求出甲队的工作效率；用1÷8，求出乙队的工作效率，再根据比的意义，用甲的工作效率∶乙队的工作效率，化简即可。
【详解】（1÷10）∶（1÷8）
＝∶
＝（×40）∶（×40）
＝4∶5
一项工程，甲队单独做要10天，乙队要8天，甲乙两队工效比是4∶5。
故答案为：C
【点睛】利用工作效率、工作总量、工作时间三者的关系以及比的意义进行解答。
8．C
【分析】把女生的人数看作单位“1”，男生人数比女生少，则男生人数是（1－），再根据比的意义，用男生人数∶女生人数，化简即可。
【详解】设女生人数是1，则男生人数是：1－＝。
男生人数∶女生人数＝∶1＝3∶4
故答案为：C
【点睛】本题考查比的意义，关键是单位“1”的确定。
9．324
【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，这两天看的页数与剩下页数的比是2∶7，即两天一共看的页数占总页数的，那么第二天看的页数占总页数的（－），单位“1”未知，用第二天看的页数除以（－），求出这本书的总页数。
【详解】36÷（－）
＝36÷（－）
＝36÷
＝36×9
＝324（页）
这本书共有324页。
10． 200 80 120
【分析】将比的各项看成份数，总个数÷总份数＝一份数，一份数分别乘红气球、黄气球、蓝气球的对应份数，即可求出红气球、黄气球、蓝气球的个数。
【详解】400÷（5＋2＋3）
＝400÷10
＝40（个）
40×5＝200（个）
40×2＝80（个）
40×3＝120（个）
红气球有200个，黄气球有80个，蓝气球有120个。
11． 94 60
【分析】根据题意，用一根铁丝围成一个长方体框架，那么长方体的棱长总和就是铁丝的长度；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4；
已知长、宽、高的比是5∶4∶3，即长、宽、高各占5份、4份、3份，一共是（5＋4＋3）份；用长方体的长、宽、高之和除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽、高的份数，即可求出长、宽、高；
在这个长方体框架表面糊一层包装纸，求至少需要纸的面积，就是求长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解；
根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出这个长方体的体积。
【详解】长、宽、高之和：48÷4＝12（厘米）
一份数：12÷（5＋4＋3）
＝12÷12
＝1（厘米）
长：1×5＝5（厘米）
宽：1×4＝4（厘米）
高：1×3＝3（厘米）
表面积：
（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（平方厘米）
体积：
5×4×3＝60（立方厘米）
在这个长方体框架表面糊一层包装纸，至少需要（94）平方厘米的纸，这个长方体的体积是（60）立方厘米。
12．9∶2
【分析】设A的宽为1份，根据A长和宽比2：1，得A长为2份，算出A面积为2×1＝2份。因为大长方形被分成面积相等的四部分，所以B、C、D面积也为2份，大长方形总面积是4×2＝8份。D是三角形，面积2份，高和A长相等为2份，根据三角形面积公式S＝×底×高，算出D的底为2份（2×2÷2＝2 ）。结合图形边长关系，推出B的长和宽，进而求出长与宽的比
【详解】设A宽为1，则A长为2，A面积＝2×1＝2。
因为四部分面积相等，所以B面积＝2，且A的长2为B的宽。
D是三角形，面积＝2，高＝2（同A长），由三角形面积公式得D底＝2×2÷2＝2 。
通过图形边长关联，可知B长为，所以B长：宽＝∶2＝9∶2 。
【点睛】抓住“四部分面积相等”，利用面积公式关联边长，快速推导比例。
13．16
【分析】已知白粉笔是彩粉笔的4倍，即白粉笔与彩粉笔的总数比是4∶1；要在用了若干天后，两种粉笔同时用完，也就是两种粉笔使用的时间相同，那么白粉笔与彩粉笔每天用去的数量比等于它们的总数比即4∶1，据此求出白粉笔每天用去的数量。
【详解】白粉笔每天用去的数量∶彩粉笔每天用去的数量＝4∶1
4÷1×4＝16（根）
那么每天用去（16）根白粉笔，若干天后，两种粉笔同时用完。
14． 40 48 64
【分析】假设乙数是6份，已知甲数是乙数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则甲数是（份），又知乙数是丙数的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，则丙数是（份），即可知，甲∶乙∶丙＝5∶6∶8，根据比的应用可知，甲是三数和的，乙是三数和的，丙数三数和的，据此用152分别乘甲、乙、丙三数对应的分率即可得解。
【详解】假设乙数是6份
甲数是（份）
丙数是（份）
甲∶乙∶丙＝5∶6∶8
甲：
乙：
丙：
甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲乙丙三个数的和152，甲为40，乙为48，丙为64。
15．√
【分析】假设出鸡和兔的只数，一只鸡有2条腿，一只兔有4条腿，用含有字母的式子表示出鸡腿总数和兔腿总数，最后根据比的意义化简求出鸡腿总数和兔腿总数的最简整数比，据此解答。
【详解】假设鸡和兔均有a只，则鸡有2a条腿，兔有4a条腿。
鸡腿总数∶兔腿总数
＝2a∶4a
＝（2a÷2a）∶（4a÷2a）
＝1∶2
所以，当鸡的只数等于兔的只数时，鸡腿总数∶兔腿总数＝1∶2，题目说法正确。
故答案为：√
16．√
【分析】假设总路程和甲乙两车的速度，再根据“时间＝路程÷速度”表示出甲车行驶时间和乙车行驶时间，最后根据比的意义化简求出它们行驶时间的最简整数比，据此解答。
【详解】假设总路程为1，甲车速度为，乙车速度为。
甲车行驶时间：1÷＝
乙车行驶时间：1÷＝
甲车行驶时间∶乙车行驶时间
＝∶
＝（×）∶（×）
＝4∶5
所以，甲车行驶时间∶乙车行驶时间＝4∶5，题目说法正确。
故答案为：√
17．×
【分析】假设两个正方形的周长分别是5厘米和3厘米，根据正方形的周长＝边长×4，分别求出两个正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出两个正方形的面积，再进行比即可解答。
【详解】假设两个正方形的周长分别是5厘米和3厘米。
5÷4＝（厘米）
3÷4＝（厘米）
（×）∶（×）
＝∶
＝（×16）∶（×16）
＝25∶9
所以两个正方形周长的比是5∶3，那么这两个正方形的面积比是25∶9。
原题说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】根据大圆和小圆的半径之比是5∶3，可以把小圆的半径看作3，大圆的半径看作5，再根据圆的面积：面积＝π×半径2，分别求出大圆和小圆面积，再根据比的意义，用大圆面积∶小圆面积，化简比即可。
【详解】假设小圆半径是3，大圆半径是5。
（π×52）∶（π×32）
＝25π∶9π
＝25∶9
若大圆与小圆半径的比是5∶3，则大圆与小圆面积的比25∶9。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】熟练掌握圆的面积公式以及比的意义是解答本题的关键。
19．×
【分析】根据题意可知：小明和小丽今年的年龄比是5∶7，假设小明今年5岁，则小丽今年7岁，四年后小明（5＋4）岁，小丽（7＋4）岁，年龄比为9∶11，进而得出结论。
【详解】假设小明今年5岁，则小丽今年7岁，四年后小明（5＋4）岁，小丽（7＋4）岁，可得：
（5＋4）∶（7＋4）
＝9∶11
＝
5∶7＝
≠
所以，小明和小丽今年的年龄比是5∶7，四年后他们的年龄比改变了，故原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查的是比的基本性质应用，解题的关键是根据比值是否相等，进行判断，进而得出答案；注意在年龄问题中，两人的年龄之差不会改变。
20．700台
【分析】由题可知，已组装的电脑与未组装的电脑数量比是1∶4，则已组装的电脑数量占这批电脑总数的比例为已组装份数除以总份数，即1÷（1＋4）＝，第一天组装了总数的18%，所以第二天组装的14台对应的分率为已组装的分率减去第一天组装的分率，即－18%；第二天组装的14台对应的分率是2%，根据“总数＝部分量÷对应分率”，用14台除以2%即可求出电脑总数。
【详解】
（台）
答：这批电脑一共有700台。
21．（1）42个；
（2）6小时
【分析】（1）先根据比的意义，用徒弟每小时加工的个数除以5即可得到一份是多少，再用一份乘师傅的工作效率对应的份数7即可解答；
（2）先用零件的总个数减去师傅1小时加工的个数即可得到剩下的个数，再用剩下的个数除以师傅和徒弟两人的效率之和即可解答。
【详解】（1）30÷5×7
＝6×7
＝42（个）
答：师傅每小时加工零件42个。
（2）（474－42）÷（30＋42）
＝432÷72
＝6（时）
答：两人一起加工后6小时可完成任务。
22．
2250套
【分析】已知前5天完成的套数与这批校服总套数的比是1∶3，所以前5天完成的校服占总套数的，设这批校服共有x套，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则前5天完成x套；
已知再生产150套，正好完成这批校服的40%，求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，则总共完成40%x套；
根据数量关系可列方程为40%x－x＝150，将40%化为，先计算出x－x，然后根据等式的性质，方程两边同时乘15求解出x，即这批校服的总套数。
【详解】解：设这批校服共有x套。
40%x－x＝150
x－x＝150
x－x＝150
x＝150
x×15＝150×15
x＝2250
答：这批校服共有2250套。
23．
1.44千米
【分析】当甲走到B地时，乙还剩全程的，说明此时乙走了全程的1－＝；因为甲、乙两人是同时从A地匀速走向B地，所以在相同时间内，甲、乙的路程比是固定的，即甲走完全程（路程为1）时，乙走了，所以甲、乙的路程比为1∶＝3∶2，即相同时间内，甲走路程是乙走路程的；
当甲走了全程的时，乙走了240米，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，此时甲走了240×＝360米，对应全程的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。据此计算出A、B两地间的距离，最后将米换算为千米（1千米＝1000米）。
【详解】1∶（1－）
＝1∶
＝（1×3）∶（×3）
＝3∶2
3∶2＝3÷2＝
240×＝360（米）
360÷
＝360×4
＝1440（米）
1440米＝1.44千米
答：A、B两地相距1.44千米。
24．九折
【分析】根据题意，打折前和打折后的盈利比是5∶2，即把这批草莓总盈利分成了5＋2＝7份，用总盈利的钱数÷总份数，求出1份是多少，进而求出打折前盈利的钱数和打折后盈利的钱数；再用售价－进价，求出每千克草莓盈利的价钱；用打折前盈利的钱数÷每千克草莓盈利的价钱，求出打折前卖出草莓的重量；再用运进草莓的重量－打折前卖出草莓的重量，求出打折后草莓的重量；用打折后草莓盈利的钱数÷打折后草莓的重量，求出每千克草莓盈利的钱数，再用每千克草莓盈利的钱数加上进价，求出打折后每千克草莓卖的价格，最后用打折后每千克草莓卖的价格÷原来售价×100%即可求出打折后草莓的价格是原来售价的百分之几十，打几折就是百分之几十，据此解答。
【详解】5＋2＝7（份）
4200÷7×5
＝600×5
＝3000（元）
4200－3000＝1200（元）
3000÷（20－15）
＝3000÷5
＝600（千克）
1000－600＝400（千克）
1200÷400＝3（元）
（15＋3）÷20×100%
＝18÷20×100%
＝0.9×100%
＝90%
90%＝九折
答：余下的草莓是按原售价的九折出售的。
25．5天
【分析】根据题意，乙队单独完成的时间和甲队单独完成的时间比为3∶2，即乙单独完成的时间是甲队的，用甲队单独完成的时间×，求出乙队单独完成的时间，即10×＝15（天）；根据工作效率＝工作总量÷工作时间；把这项工程看作单位“1”，用1÷甲队单独完成的时间，即1÷10＝，求出甲队的工作效率；用1÷乙队单独完成的时间；即1÷15＝，求出乙队的工作效率；再用甲队工作效率＋乙队工作效率，求出甲队与乙队的工作效率和，再乘3，求出3天甲队与乙队完成这项工程的工作量；再用1减去甲队与乙队3天完成这项工程的工作量，求出剩下这项工程的工作量，再根据工作总量÷工作效率，用剩下这项工程的工作量除以甲队的工作量，即可解答。
【详解】10×＝15（天）
[1－（＋）×3]÷
＝[1－（＋）×3]÷
＝[1－×3]÷
＝[1－]÷
＝÷
＝×10
＝5（天）
答：甲队还需要5天才能完成这项工程。
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