第1章一元二次方程易错精选题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

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第1章一元二次方程易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．a取任意实数
2．已知m，n是一元二次方程的两个根，则___________．（　　）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．、是方程的两个根，则（ ）
A．4 B．10 C． D．
6．用配方法解方程，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．开学季，数学兴趣小组调查了学校门口的一家文具店，发现这家文具店第一天利润是300元，第三天利润是507元．设该文具店的利润日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知，，则a、b、c中最小值的最大值为 ．
10．已知的两根为2，3，则的两个根分别为 ．
11．已知满足，则当最大时，的值为 ．
12．若关于的方程恰有1个不同的实数根，实数的值为 ．
13．关于的一元二次方程有两个实数根，若，则 ．
14．“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，年平均亩产量约公斤，年平均亩产量约公斤，则平均亩产量的年平均增长率为 ，则可列方程为 ．
15．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数的解为
16．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为 ．
三、解答题
17．解关于x的方程：
(1)；
(2)．
18．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围．
19．数字经济为乡村振兴战略的实施注入新动能．某村农产品通过电商平台进行销售，2018年的人均收入为元，2020年的人均收入为元．求该村人均收入的年平均增长率．
20．为迎接德强中学办学三十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为100元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为81元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该文化衫每次降价的百分率；
(2)若该文化衫每件的成本价为70元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于4400元？
21．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．
例如，一元二次方程的两个根是1和3，则方程 就是“三倍根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“三倍根方程”？
(2)若是“三倍根方程”，求n的值．
22．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价）
类别价格 款钥匙扣 款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
23．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为．
(1)求当为何值时，四边形是矩形；
(2)求当为何值时，四边形是菱形；
(3)在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
《第1章一元二次方程易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A A C B B
1．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是理解一元二次方程的定义；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得，
∴；
故选B．
2．C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出和的值，再将通分变形，代入求值．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根，
∴ ，．
∴
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
根据根的判别式判断即可．
【详解】解：∵
∴根的情况是有两个相等的实数根
故选：B
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，得出和的值是解题关键．根据一元二次方程根和系数的关系，得到，，再将代数式变形，整体代入计算即可．
【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故选A．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，即，，
∴．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形．根据配方法的步骤求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查一元二次方程应用增长率问题，根据增长率意义，经过两天后利润可表示为，构建方程．
【详解】解：由题意，两天后利润为，则
；
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，观察函数图象，找出该厂家2月及4月的口罩产量，再利用该厂家4月份的口罩产量该厂家2月份的口罩产量（增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式；设，由已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，可把a、b看作方程的两根，再利用判别式的意义得到，然后解此不等式即可．
【详解】解：设，即a、b、c中的最小值为c，
∵，，
∴，，
是一元二次方程的解，
，
即，
∵，，
∴为负数，
∴，
，
的最大值是，
即a、b、c中的最小值的最大值为，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，则，则方程即为方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵的两根为2，3，
∴，
∴，
∴方程即为，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
11．3
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式等知识点，解题的关键是掌握根的判别式．
根据题意转换成关于的一元二次方程，根据根的判别式求出的最大值，求出的值，再分别求出的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
将上式看作关于的一元二次方程，且为实数，
∴，
整理得，
当时最大，
此时或，
当时，代入得，
，
解得，
∴；
当时，代入得，
，
解得，
∴；
∴的值为3．
12．
【分析】本题考查了绝对值的意义和一元二次方程根的情况，分情况讨论，再进行解答即可．
【详解】解：由得，，
，
，
当时，，不符合题意；
当时，，
即，
方程只有一个实数根，
，
解得或（舍），
当时，，
即，
方程只有一个实数根，
，
解得或（舍），
当时，
若时，则方程为，
，
该方程有两个相等的实数根，
若时，则方程为，
，
该方程有两个不相等的实数根，
综上可知，当时，原方程有三个根，不符合题意；
当时，
若时，则方程为，
，
该方程无实数根，
若时，则方程为，
，
该方程有两个相等的实数根，
综上可知，当时，原方程有一个根， 符合题意；
实数的值为．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，即得到，得到，进而根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
又∵，
当时，，符合题意，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
根据增长率的实际意义，以年平均亩产量建立等量关系，列方程即可．
【详解】解：根据题意可得
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查了利用图形求一元二次方程的解，先把方程化为指定的形式，根据题意，得，确定，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可．
【详解】解：由得，
∵阴影部分的面积为，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴大正方形的面积为，
∴方程的正数解为，
故答案为：．
16．有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可.
【详解】解：∵
∴
即
∴
∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根
故答案为：有两个不相等的实数根
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后再运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴，
∴．
（2）解：，
，
，
∴或，
∴．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于0证明即可；
（2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可．
【详解】（1）证明：，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
或，
方程有一个根为非负数，
，
．
19．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该村人均收入的年平均增长率为，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设该村人均收入的年平均增长率为，
根据题意，列方程得，
解方程得，（不合题意，舍去），
答：该村人均收入的年平均增长率为．
20．(1)该文化衫每次降价的百分率为
(2)至少要售出400件，总利润才能不低于4400元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该文化衫每次降价的百分率为x，根据原计划每件的售价为100元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为81元，并且每次降价的百分率相同，列出一元二次方程，解方程即可；
（2）设要售出y件，总利润才能不低于4400元，根据该文化衫每件的成本价为70元，每件的售价为81元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设该文化衫每次降价的百分率为x，
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该文化衫每次降价的百分率为；
（2）解：设要售出y件，总利润才能不低于4400元，
由题意得：，
解得，
答：至少要售出400件，总利润才能不低于4400元．
21．(1)方程是“三倍根方程”
(2)或9
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断；
（2）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义求出n的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得，，
∴，
∴方程是“三倍根方程”；
（2）∵，
∴，
解得，，
∵是“三倍根方程”，
∴或，
即或，
∴或9．
22．(1)购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件
(2)当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元
(3)30元
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数以及一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，根据网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，根据进货总价不高于2200元，列出不等式求出的范围，设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，根据总利润等于两款钥匙扣的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可；
（3）设每件款钥匙扣的售价定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
依题意得：，
解得：．
答：购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件．
（2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设每件款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
为了尽快减少库存
售价应定为30元
答：将销售价定为每件30元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
23．(1)
(2)
(3)1或3
【分析】（1）由题意得，，，根据矩形的性质可得，，，当时，四边形是矩形，据此列出关于的方程，即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解；
（3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，，，
在矩形中，，，，
当时，四边形是矩形，则，解得，
∴当时，四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
根据勾股定理得：，
则，
解得，
∴当时，四边形是菱形；
（3）解：如图2，
由折叠的性质可得，，，，，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得，，
即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键．
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