第2章对称图形-圆易错精选题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

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第2章对称图形-圆易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．的半径，点C到圆心的距离为，则点C与的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定
2．如图，是的外接圆，已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形内接于，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．同一平面内，两条平行线永不相交
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相同
D．对角线相等的四边形是矩形
5．如图，已知四边形是的内接四边形，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，为互相垂直的两条弦，是上的点，且，则矩形的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
7．如图，在中，，分别以为圆心，以为半径画弧，则三条弧与边所围成的阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在半径为6的中，弦，则点O到弦的距离是（ ）

A．6 B． C． D．3
9．如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．4
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，曲线是由半径为4个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第2021秒时点的纵坐标为（　　）
A．2 B．0 C． D．
二、填空题
11．已知一个圆锥底面圆的半径为，高为，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
12．半径为4的正六边形的中心角是 °．
13．若的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是 ．
14．如图，是四边形的外接圆，是的直径，，则的长为 ．
15．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ．
16．如图，，是的两条弦，且，点，分别在弧，弧上，若，则的度数为 ．
17．如图，是的一条弦，于点C，交于点D，连接．若，，则的半径为 ．
三、解答题
18．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：．
19．如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
20．如图，在中，， 的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）．
21．如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线．
(1)如图1，若，求的大小；
(2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小．
22．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径；
(2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数）
23．某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究．
【问题呈现】
阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整．
证明：如图，在上截取，连接、、和．
是的中点．
___________．
又，，
______________________．
，
又，
___________．
．
即．
【变式探究】
如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】
如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值．
《第2章对称图形-圆易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D D D B B B D
1．C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，当时，点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点C在圆内．
根据点与圆的位置关系，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴点C在外，
故选：C
2．C
【分析】本题考查了三角形内角和性质定理，等边对等角，圆周角定理，先根据三角形内角和性质，等边对等角，求出，根据，则，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴
即，
∵，
∴，
故选：C
3．A
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴的度数，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查的是两直线的位置关系、正方形的判定、矩形的判定及圆周角定理，根据两直线的位置关系、正方形的判定、矩形的判定及圆周角定理作出判断即可．
【详解】解：A、同一平面内，两条平行线永不相交，正确，故本选项不符合题意；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相同，正确，故本选项不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角和为．根据已知条件，通过圆内接四边形对角互补即可计算出未知角的度数．
【详解】四边形是的内接四边形，
，
，
，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查求矩形面积，涉及矩形性质、垂径定理等知识，熟练掌握矩形性质与垂径定理是解决问题的关键．先由矩形性质得到，，再由垂径定理得到，，最后由矩形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：在矩形中，，则，，
在中，为互相垂直的两条弦，
由垂径定理可得，，
则矩形的面积为，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及扇形面积公式、直角三角形面积公式等知识，读懂题意，间接表示出三条弧与边所围成的阴影部分的面积求解是解决问题的关键．如图所示，由题意可得，，即可转化为以为半径的半圆面积，从而求出，由三条弧与边所围成的阴影部分的面积为，代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
由题意可得，，
在中，，
则可转化为以为半径的半圆面积，
即，
在中，，则，
三条弧与边所围成的阴影部分的面积是，
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理求出点O到弦的距离即可．
【详解】解：如图，连接，，过点O作于点C，
则，
∵，，
∴C为中点，，
在中，，，
∴，
∴
∴点O到弦的距离是．

故选：B．
9．B
【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，中位线定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，，，，过点作于，则，进而得，根据，得，则，进而得，则，再根据三角形的中位线定理得，，则，由此得当为的直径时，为最大，最大值为4，据此可得的最大值．
【详解】解析：连接，，，，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，，
，
，
点，分别是，的中点，
，同理，
，
当最大时，为最大，
为的弦，
当为的直径时，为最大，
当时，为最大，最大值为．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查弧长的计算、点的坐标的特点，含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
过圆心B作于点D，交于点E， 求出，，得到，推导出点E的纵坐标为，由图可知，每走两个弧为一个循环，根据，得到一个循环需要4秒，继而推导出第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，即可解答．
【详解】解：如图，过圆心B作于点D，交于点E，有
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即点E的纵坐标为，
∵，
∴每4秒一个循环，
∵，
∴第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，为．
故选D．
11．
【分析】此题考查了勾股定理，圆锥的侧面积．先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可．解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线．
【详解】解：由题意得圆锥的母线长
∴圆锥的侧面积．
故答案为：
12．
【分析】本题考查了求正多边形的中心角，根据正六边形的性质，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：正六边形的中心角是，
故答案为：
13．相交
【分析】根据圆心距，半径之间的关系判断解答即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判定法则是解题的关键．
【详解】解：的半径R为3，圆心O到直线l的距离d为2，
故，
故直线l与的位置关系是相交，
故答案为：相交．
14．
【分析】题目主要考查圆周角定理，勾股定理解三角形，根据题意得，再由勾股定理确定，利用等弧和弦的关系得出，即可求解，综合运用这些知识点是解题关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．2
【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理．
根据题意可得出，由垂径定理得，由勾股定理得出，则液体的最大深度．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，
∴液体的最大深度，
故答案为：．
16．
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，最后依据圆内接四边形的性质求出的度数．
本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理．
根据垂径定理求出，根据勾股定理得出方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：设的半径是R，则，
∵，过圆心O，，
∴，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴的半径是，
故答案为：．
18．证明见解析
【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可．
【详解】证明：过作，垂足为E，
，，
，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理，三角形的面积，熟记切线的判定与性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据勾股定理得出，根据切线的性质得到，再根据勾股定理得出，根据勾股定理求出，然后利用三角形的面积即可得解．
【详解】（1）证明：连接，如图
，，
，
是的切线，
，
在与中，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
在中，，
、为的切线，
，
在中，，即，
，
在中，，
，
，
，
．
20．(1)直线与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线的性质，可证明，所以，即可判断及证明结论；
（2）根据圆周角定理可证明，然后根据直角三角形的性质可证明，再根据勾股定理可求得，最后根据阴影部分的面积及扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：直线与相切；
理由如下：
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
而为半径，
直线与相切；
（2）解：，
，
，
在中，，
，
解得或（舍去），
阴影部分的面积
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积计算，熟练掌握圆的切线的判定及扇形的面积计算是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）四边形内接于，，则，即可求解；
（2）连接，由， ，得；再由同弧所对的圆周角相等可得；由是的直径，得，从而求得．
【详解】（1）解：∵四边形内接于，，
，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，弧、弦及圆周角的关系，直径对的圆周角为直角，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．
22．(1)5米
(2)25盏
【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
（1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可；
（2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：，
∴，
∵D是弦的中点，
∴平分弦，，
∴，
∴，
∴，
解得：米；
答：喷泉的半径为5米；
（2）解：由题意，得：（米），
（盏）；
答：大约需要安装25盏景观灯．
23．【问题呈现】；；；
【变式探究】，证明见解析
【实践应用】 的值为 或
【分析】【问题呈现】根据相等的弧所对的弦相等，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一依次补充完整证明过程．
【变式探究】在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，进而利用线段之间的数量关系等量代换可得结论．
【实践应用】分点在下方和点在上方两种情况讨论，分别对应【变式探究】和【问题呈现】两种情况的结论即可求解，注意构造辅助线过点作的垂线．
【详解】解：【问题呈现】；；；．
【变式探究】．
证明：如图，在上截取，连接、、、，
点是的中点，
，，
又， ，
，
，
，
又，
，
，即；
【实践应用】如图，当点在下方时，过点作于点，连接，
是的直径，
，
的半径为，
，
在中，，
，
，
，
点为的中点，
，
，即， 解得，
；
如图，当点在上方时，过点作于点，
同理可得，，即，解得，
，
；
综上所述：的值为或．
【点睛】本题考查的是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，理解阿基米德折弦定理是解题的关键．
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