2025-2026学年人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程 单元测试卷（含解析）

第二十一章 一元二次方程单元测试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．关于x的一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ）
A． B． C．3 D．以上都不对
3．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
4．用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　）
A．10 B．4 C．4或 D．4或或10
6．关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D．
7．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （ ）人
A．8 B．9 C．10 D．11
8．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
9．设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
10．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分 ）
11．将一元二次方程化为一般形式是 ．
12．已知直角三角形的三边长恰好是三个连续的偶数，则这个直角三角形的斜边长是 ．
13．分解因式： ．
14．2020年1月某市房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套，若每月平均增长的百分率相同，则该公司这两个月住房销售量的平均增长率为 ．
15．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 .
16．已知关于x的方程=5x+p有且只有一个正实数根，则p的范围为 .
17．多项式的最小值是 ．
18．假如关于的一元二次方程有两个实数根，，且它们满足不等式，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
19．（5分）已知a是方程的一个根，求代数式的值．
20．（8分）解方程．
(1)；
(2)
21．（7分）已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
22．（8分）年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同．
(1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元；
(2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值．
23．（8分）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？
24．（8分）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．
(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)汽车滑行20米时用了多长时间？
25．（10分）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计：
(1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？
(2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明；
(3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________．
26．（12分）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；.
(1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________
(2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？
(3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A B D B C C A
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中称为二次项，称为一次项，c称为常数项．其中a，b，c分别称为二次项系数，一次项系数，常数项．
根据一元二次方程系数的定义，即可知道的二次项系数．
【详解】解：关于x的一元二次方程的二次项系数为3．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：因为方程0是一元二次方程，
所以 ，
解得．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．
由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为3．
【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3．
故选B．
4．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选A．
5．B
【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可．
【详解】解：∵当时，则，当时，，
∴当时，
解得，不符合题意，舍去；
当时，则，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综上，，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，设一元二次方程的两个根分别为，根据方程有两个不相等的正实数根，可得，由此可得出m的取值范围．
【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为，
关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，
，
解得，
解得，
解得，
解④得，当时，恒成立，
m的取值范围是，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人，
根据题意可得，
整理得，
∴，
∴或（不合题意，舍去）
∴每轮传染中平均一个人传染 人．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后整体代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：把代入方程中得：，
∴，
∴
，
故选：C．
9．C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，．
∴．
故选：C．
10．A
【分析】从图中可以看出，正方形的边长，所以面积，矩形的长和宽分别是，，面积，两图形面积相等，列出方程得，其中，求的值，即可求得正方形的面积．
【详解】解：根据图形和题意可得，其中，
则方程是
解得：（负值舍去），
所以正方形的面积为，
故选：A．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a、b、c为常数，掌握这一形式是解题的关键，方程去括号、移项、再合并同类项即可化为一般形式．
【详解】解：去括号得：，
移项、合并同类项得：，
即一般形式为．
12．
【分析】本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的应用，利用勾股定理得到三边的关系是解决本题的关键，首先设较小的边长为，表示出其余两边长，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设较小的边长为，则另一边长为，斜边长为，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
故斜边长为，
故答案为：10．
13．
【分析】本题主要考查了因式分解、公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
首先将原式整理为，进而利用提公因式法进行因式分解，再利用公式法确定方程的解，然后进一步因式分解即可．
【详解】解：
∵对于方程，可有，
∴，
∴可有，即该方程的解为，
∴原式．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司这两个月住房销售量的平均增长率为，根据2020年1月及3月该市房地产公司的住房销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设该公司这两个月住房销售量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：（舍去），．
故答案为：．
15．
【分析】将原方程化为一般式，根据一元二次方程中，二次项系数不能为零求解即可.
【详解】原方程可化为：，
∵方程是关于的一元二次方程，
∴，即，
故答案为.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握二次项系数不能为零这一点是解题关键.
16．p≥-5
【分析】把方程=5x+p转化为9x2-5x-p-5=0,然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】原方程变形为9x2-5x-p-5=0,
∵关于x的方程=5x+p有且只有一个正实数根,
∴设方程的两个实根为x1,x2,
即 ≥0且x1,x2≤0,
∴25+36(p+5) ≥0且-p-5≤0,
解得p≥-5,
故答案为p≥-5.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 =b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 <0时，一元二次方程没有实数根.
17．4
【分析】本题考查完全平方式的非负性，配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．将代数式配方，利用完全平方式的非负性求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：4．
18．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系为：， ，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得的取值范围，再根据根的判别式求得的取值范围，最后综合情况，求得的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵
∴
解得，
又∵方程有两个实数根，
∴，
即，
解得，
综合以上可知实数m的取值范围是．
故答案为：
19．23
【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键．
根据a是方程的一个根，可以得到，然后将所求式子化简，再将整体代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
20．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用因式分解法求解；
（2）利用公式法求解．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
，
，．
21．(1)证明见解析
(2)或．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键．
（1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
不论为何值时，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得，
∵即： ，
∴，
解得，
∴m的值为或．
22．(1)普通票每张为元，票的每张为元
(2)
【分析】本题考查分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
（1）设普通票的每张为元，则票的每张为元，根据用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）由题意先表示出第二天普通票和票的单价和销量，再根据第二天总销售额比首日少了元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：普通票每张为元，票的每张为元；
（2）解：，
，
，（舍），
答：的值为．
23．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)增加4条或条生产线
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设增加x条生产线．
，
解得，，
答：增加4条或条生产线．
24．(1)15米/秒；2秒
(2)15米/秒
(3)秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
（1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米，
则在这段时间内的平均车速为米/秒；
从刹车到停车所用的时间是秒；
（2）从刹车到停车车速的减少值是，
从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，
则这段路程内的平均车速为米/秒，
所以，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒．
25．(1)15
(2)小江说的有道理，理由见详解；
(3)4
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）由题意，得6个人需比赛的局数为；
（2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为，
答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛；
（2）解：小江说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，由题意得，整理得，
解得，不为整数，
∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，
得，整理得，
解得，
当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去．
∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4．
故答案为：4．
26．(1)；
(2)公顷
(3)万元
【分析】（）根据成正比例的定义列出函数式即可；
（）根据题意列出方程求出的值，进而结合资金不超过万元解答即可求解；
（）根据（）的结果列出算式计算即可求解；
本题考查了列函数式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：；；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，
∴，
整理得，，
当时，，符合题意；
当时，，不合题意；
∴，
答：应该修建公顷的大棚；
（3）解：万元，
答：他三年的纯收益共有万元．
答案第1页，共2页
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