北师大九年级数学上册第一次月考复习题

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北师大九年级数学上册第一次月考复习题
一．选择题（共8小题）
1．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
3．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12＝0 B．x2+7x+12＝0
C．x2+7x﹣12＝0 D．x2﹣7x﹣12＝0
4．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
5．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
二．填空题（共5小题）
9．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的值为　 　 ．
10．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有　 　 人．
11．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式α2+αβ+α﹣β的值为 　 　 ．
12．已知s满足2s2﹣3s﹣1＝0，t满足2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，则s+t＝　 　 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝　 　 秒时，S1＝2S2．
三．解答题（共13小题）
14．用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2；
（2）4x2+11x﹣3＝0；
（3）2x2﹣8x+3＝0；
（4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2．
15．已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值．
16．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足3x1x2，求实数p的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足|x1﹣x2|＝3，求a的值．
18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
20．如图，有一块矩形纸板，长为20cm，宽为14cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖的长方体盒子，如果这个无盖的长方体底面积为160cm2，那么该长方体盒子体积是多少？
21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
23．列方程解决实际问题：
某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝　 　 米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
25．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
26．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
北师大九年级数学上册第一次月考复习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C C D B B
一．选择题（共8小题）
1．把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：由方程x（x+2）＝5（x﹣2），得
x2﹣3x+10＝0，
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．
3．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12＝0 B．x2+7x+12＝0
C．x2+7x﹣12＝0 D．x2﹣7x﹣12＝0
【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2＝0，列出方程进行判断即可．
【解答】解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12＝0，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2＝0是具体点关键．
4．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β、αβ＝﹣3，将其代入中即可求出结论．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴α+β，αβ＝﹣3，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
6．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次降价后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2＝315，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
二．填空题（共5小题）
9．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的值为　﹣1　 ．
【分析】由关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，可得|m|+1＝2，m﹣1≠0，从而可得答案．
【解答】解：由题意得，|m|+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键．
10．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有　512　 人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中被感染了x个人，第二轮传染中被感染了x（1+x）人，根据“一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入64（1+x）中，即可求出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中被感染了x个人，第二轮传染中被感染了x（1+x）人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
即（1+x）2＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去），
∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512（人），
∴经过三轮传染后患流感的人数共有512人．
故答案为：512．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式α2+αβ+α﹣β的值为 　2　 ．
【分析】根据α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，得出α2+2α﹣2025＝0，α+β＝﹣2，αβ＝﹣2025，据此求解即可．
【解答】解：根据题意得：α2+2α﹣2025＝0，α+β＝﹣2，αβ＝﹣2025，
∴α2＝2025﹣2α，
∴α2+αβ+α﹣β
＝2025﹣2α+αβ+α﹣β
＝2025+αβ﹣（α+β）
＝2025﹣2025+2
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
12．已知s满足2s2﹣3s﹣1＝0，t满足2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，则s+t＝　　 ．
【分析】由题意可知实数s、t是关于x的方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由此可得答案．
【解答】解：∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，
∴实数s、t是关于x的方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
∴s+t．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝　6　 秒时，S1＝2S2．
【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1＝2S2，即可列方程求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝8cm，
又∵APt，
则S1AP BD8t＝8t，PD＝8t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴，
∴PE＝APt，
∴S2＝PD PE＝（8t） t，
∵S1＝2S2，
∴8t＝2（8t） t，
解得：t＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．
三．解答题（共13小题）
14．用适当的方法解下列方程：
（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2；
（2）4x2+11x﹣3＝0；
（3）2x2﹣8x+3＝0；
（4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2．
【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
（3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可；
（4）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2，
（2x﹣1）2﹣（2﹣x）2＝0，
（2x﹣1+2﹣x）（2x﹣1﹣2+x）＝0，
（x+1）（3x﹣3）＝0，
则x+1＝0或3x﹣3＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝1；
（2）4x2+11x﹣3＝0，
（x+3）（4x﹣1）＝0，
则x+3＝0或4x﹣1＝0，
所以；
（3）2x2﹣8x+3＝0，
x2﹣4x，
x2﹣4x+4，
（x﹣2）2，
则x﹣2，
所以；
（4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2，
x2﹣8x+16+16x2﹣24x+9﹣9x2﹣6x﹣1＝0，
8x2﹣38x+24＝0，
4x2﹣19x+12＝0，
（x﹣4）（4x﹣3）＝0，
则x﹣4＝0或4x﹣3＝0，
所以．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣公式法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
15．已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值．
【分析】设另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5，先求出t，然后解关于m的一元二次方程．
【解答】解：设另一根为t，
根据题意得2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5，
所以t＝4，m2﹣2m+5＝8，即m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣1，
所以另一个根为4，m的值为3或﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
16．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足3x1x2，求实数p的值．
【分析】（1）化成一般形式，求根的判别式，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程．
【解答】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，
x2﹣5x+6﹣p2＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝25﹣24+4p2＝1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，
∵3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3x1x2，
∴52＝5（6﹣p2），
∴p＝±1．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：
（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2，则有，．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足|x1﹣x2|＝3，求a的值．
【分析】（1）计算判别式有Δ＝（a﹣2）2≥0，然后根据判别式的意义即可得到结果．
（2）依据题意，x1+x2＝a，x1 x2＝a﹣1，则|x1﹣x2|2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4a+4＝9，故a2﹣4a﹣5＝0，计算即可得解；
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：由题意，x1+x2＝a，x1 x2＝a﹣1，
∴|，
∴a2﹣4a﹣5＝0．
∴a＝5或a＝﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、根与系数的关系、根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
19．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积＝整个地毯面积的，列出方程求解即可；
（2）根据总价＝单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5+2x×4﹣4x25×4，
解得：x1（不符合，舍去），x2．
答：配色条纹宽度为米．
（2）条纹造价：5×4×200＝850（元）
其余部分造价：（1）×4×5×100＝1575（元）
∴总造价为：850+1575＝2425（元）
答：地毯的总造价是2425元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
20．如图，有一块矩形纸板，长为20cm，宽为14cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖的长方体盒子，如果这个无盖的长方体底面积为160cm2，那么该长方体盒子体积是多少？
【分析】易得底面积的长＝原来的长﹣2×切去的正方形的边长，宽＝原来的宽﹣2×切去的正方形的边长，根据长×宽＝160列方程求得合适解即可．
【解答】解：设切去的小正方形的边长为x cm．
（20﹣2x）（14﹣2x）＝160．
解得x1＝2，x2＝15．
当x＝15时，20﹣2x＜0，
∴x＝15不合题意，应舍去．
∴长方体盒子体积是160×2＝320（cm3）．
答：纸板各角应切去边长为320cm3的正方形．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到无盖方盒的底面积的边长是解决本题的突破点．
21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝8，AC＝4，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE，
在Rt△AEC中，AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OEAC．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
23．列方程解决实际问题：
某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝　（48﹣3x）　 米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB．
【分析】（1）根据篱笆总长及长、宽关系列代数式即可，注意前端有2个小门；
（2）根据长宽之积为180列一元二次方程，求出解后判断BC是否小于墙的最大可用长度即可．
【解答】解：（1）由题意知，BC＝46﹣3x+2＝48﹣3x，
故答案为：（48﹣3x）；
（2）由题意得x（48﹣3x）＝180，
整理得x2﹣16x+60＝0，
解得x＝6或x＝10，
当x＝6时，BC＝48﹣3×6＝30＞22，不合题意；
当x＝10时，BC＝48﹣3×10＝18＜22，符合题意；
故宽AB为10米．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
25．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）能，首先证明四边形AEFD为平行四边形．当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解决问题．
（2）分三种情形讨论即可．
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即40﹣4t＝2t，解得t．
∴当t秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴ADAE＝t，
又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题；
（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；
②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM．
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