正数与负数
素养目标
1.理解正、负数的概念，能准确判断一个数是正数还是负数
2.熟练掌握用正、负数表示具有相反意义的量，学会用数学方法描述实际情境
3.经历从生活实例中抽象出数学概念的过程，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力
二、教学重难点
重点：
1.准确判断正数、负数，能够熟练运用正负数表示具有相反意义的量
2.理解正数、负数及 0 的意义，掌握它们在实际情境中的应用
难点：
深入理解负数产生的背景及意义，尤其是负数在实际问题中的具体含义
正确区分两种不同意义的量，准确把握 “0” 在不同情境中的作用
知识回顾
引导学生回顾小学学过的数，如自然数（0，1，2，3……）、分数（如 等）、小数（如 0.5，1.25 等），让学生举例说明。并提问：这些数之间有什么关系呢？引导学生思考它们的分类和相互转化等关系，为后续引入负数做铺垫
情景导入
展示教材 P1 引言中的三个问题：
1.北京冬季某一天的最高气温为零上 3 摄氏度，最低气温为零下 3 摄氏度，如何用数区分 “零上 3 摄氏度” 和 “零下 3 摄氏度”？
2.某公司今年 7 月份盈利 50 万元，8 月份亏损 10 万元。该公司在记账时如何用数分别表示 “盈利 50 万元” 和 “亏损 10 万元”？
3.某年，我国棉花产量比上年增长 7.8%，玉米产量比上年减少 0.7%。统计这两种农作物产量的变化情况时，如何用数分别表示 “增长 7.8%” 和 “减少 0.7%”？
引导学生思考：“零下 3 摄氏度”“亏损 10 万元”“减少 0.7%” 能否用小学学过的数表示？让学生感受到已学过的数在表示这些实际问题时存在局限性，从而激发学生对新知识的探索欲望，顺利引入新课
合作探究
正数、负数的概念
展示温度的例子，零上温度和零下温度是以 0℃为分界点的具有相反意义的量。零上 3 摄氏度用 3℃表示，零下 3 摄氏度用 -3℃表示。类似地，盈利额和亏损额是具有相反意义的量，如果用 50 万元表示盈利 50 万元，就可以用 -10 万元表示亏损 10 万元；增长的百分率和减少的百分率是具有相反意义的量，如果用 7.8% 表示增长 7.8%，就可以用 -0.7% 表示减少 0.7%。
引导学生观察 3， -3，50， -10，7.8%， -0.7% 这些数，组织学生自主交流它们的特点。
教师给出正数、负数的概念
在数学中，像 3，50，7.8% 这样大于 0 的数叫作正数，像 -3， -10， -0.7% 这样在正数前加上符号 “-” 的数叫作负数，其中符号 “ - ” 是负号，读作 “负”。有时，为了明确表达与负数的相反意义，在正数的前面也加上符号 “ + ”（读作 “正”）
强调：0 既不是正数，也不是负数
用正数和负数表示具有相反意义的量
提出问题：
1.如果水位升高 3m 时，水位变化记作 +3m，那么水位下降 3m 时，水位变化记作多少米？
2.水位不升不降时，水位变化应如何表示？
3.数字 0 一般表示什么含义呢？在小学的学习中，数字 0 一般表示 “没有”，在这里 “0” 还有什么意义？
让学生分小组探讨，教师巡视各小组讨论情况，适时给予指导
小组代表发言，分享小组讨论结果，教师进行总结：
1.水位下降 3m 时，水位变化记作 -3m，因为 “升高” 和 “下降” 是表示相反意义的量，升高记为正，下降就记为负
水位不升不降时，水位变化表示为 0
2.“0” 除了表示 “没有” 外，还是正数与负数的分界。在实际问题中，“0” 还可以作为基准。例如，在表示海拔高度时，规定海平面的海拔高度为 0m，高于海平面的用正数表示，低于海平面的用负数表示
六、归纳总结
1.正数是大于 0 的数，负数是在正数前加上 “-” 号的数，0 既不是正数也不是负数，是正负数的分界。
2.具有相反意义的量的特点：成对出现、属性相同（同类量）、意义相反。当一个问题中出现具有相反意义的量时，可以用正数和负数分别表示它们。通常把其中一种意义的量规定为正数，另一种与它相反意义的量规定为负数
3.在实际问题中，0 的意义不仅表示 “没有”，还可以作为基准，比如温度中的 0℃，海拔高度中的 0m 等
七、例题精讲
例题1.某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装。一箱橘子的标准质量为 2.5kg。如果用正数表示超过标准质量的克数，那么
比标准质量多 65g 和比标准质量少 30g 各怎么表示？
50g， -27g 各表示什么意思？
例 2（1）一个月内，李明体重增加 1.2kg，张华体重减少 0.5kg，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值
（2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A 品牌减少 2%，B 品牌增长 4%，C 品牌增长 1%，D 品牌减少 3%。写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率
八、针对训练
1.下列各数中，哪些是正数，哪些是负数？
-2，0， +3.5， -1.732， 30， ， 50%
2.如果收入 100 元记作 +100 元，那么支出 80 元记作______元
某仓库运进面粉 7.5 吨记作 +7.5 吨，那么运出 3.8 吨应记作______吨
一种零件的内径尺寸在图纸上是 10±0.05（单位：mm），表示这种零件的标准尺寸是 10mm，加工要求最大不超过标准尺寸______mm，最小不小于标准尺寸______mm
某食品包装袋上标有 “净含量 385±5g”，这包食品的合格净含量范围是______g 到______g
课堂总结
与学生一起回顾本节课所学内容：正数和负数的概念、如何用正数和负数表示具有相反意义的量、0 的意义等
强调重点和难点，让学生再次明确判断正数和负数的方法，以及在实际问题中准确运用正负数表示相反意义量的要点
鼓励学生分享在本节课学习中的收获和困惑，教师进行答疑和总结
作业布置
基础作业：
教材 P5 练习第 1，2，3 题
写出 5 个正数和 5 个负数，并分别说明它们在生活中的实际意义
拓展作业
调查生活中至少 3 个可以用正负数表示的例子，记录下来并分析其正负数所代表的含义课题 1.2.1有理数的概念
素养 目标 深入理解有理数的概念，明晰有理数的内涵与外延，能够准确判断一个数是否为有理数 熟练掌握有理数的分类方法，包括按定义分类（整数和分数）以及按正负性分类（正有理数、零、负有理数），并能将给定的有理数正确归类 通过对有理数分类的探讨，发展学生的逻辑推理能力，让学生学会有条理地思考问题，体会分类讨论这一重要数学思想在数学学习中的应用
教 学 重 难 点 重点： 精准把握有理数的概念，透彻理解整数、分数与有理数之间的关系 熟练运用有理数的两种分类方法，准确对有理数进行分类 难点： 深刻领会有理数分类标准的合理性，避免在分类过程中出现概念混淆、分类重叠或遗漏等问题 理解有限小数和无限循环小数为何属于分数，进而明确其在有理数范畴内的归属
知 识 回 顾 引导学生回顾上节课所学正数与负数的相关内容， 提问：“什么是正数？什么是负数？” 请学生举例说明，如生活中海拔高度用正数表示高于海平面的高度，负数表示低于海平面的高度等，强化对正负数概念及应用场景的记忆 让学生列举小学学过的数，如自然数（0，1，2，3……）、分数（如 ，等）、小数（如 0.5，1.25 等），并思考这些数与正负数之间的联系，为引入有理数概念做铺垫
情 景 导 入 某超市本月盈利 3000 元，记作 +3000 元，上月亏损 1500 元，记作 -1500 元，本月与上月盈利情况的数据表示涉及到哪些数？ 某运动员在跳远比赛中的成绩分别为 5.8 米、 -0.2 米（犯规成绩），这里出现的数有什么特点？ 温度记录中，某天最高气温是零上 10℃，记作 +10℃，最低气温是零下 5℃，记作 -5℃，这些表示温度的数又属于什么类型？ 提问：“我们学过的这些数能否进行更系统的分类呢？它们之间存在怎样的关联？” 从而引出本节课对有理数概念及分类的探究。
合 作 探 究 有理数的概念 展示一组数：3， -5，0，， -，2.5， -1.333…（3 循环），让学生观察这些数的特征，并尝试按照自己的理解进行分组 引导学生回顾小学所学整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的知识，结合之前学的正负数，给出有理数的定义：整数和分数统称为有理数 强调：整数可以看作分母为 1 的分数，例如 3 = ， -5 = -等，所以有理数都可以写成分数的形式（其中分母不为 0）。像有限小数（如 2.5 = ）和无限循环小数（如 -1.333…（3 循环） = -）都能转化为分数，因此它们也属于分数，进而属于有理数 思考：上面这些数能写成分数的形式吗？试一试 有理数除了按照分类定义还可以怎么定义？ 有理数的分类 按定义分类 1.让学生根据有理数的定义，将有理数分为整数和分数两类 2.进一步细分，整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。可以通过举例说明，如正整数有 1，2，3…；负整数有 -1， -2， -3…；正分数有 ，，0.75（即 ）等；负分数有 -， -， -0.2（即 -）等 3.用集合的形式展示按定义分类的有理数 按正负性分类 1.引导学生思考，有理数除了按定义分类，还可以按照数的正负性进行分类 2.分为正有理数、0、负有理数。正有理数包括正整数和正分数，如 +2， +等；负有理数包括负整数和负分数，如 -3， - 等 3.分为正有理数、0、负有理数。正有理数包括正整数和正分数，如 +2， + 等；负有理数包括负整数和负分数，如 -3， -2/5 等
归 纳 总 结 有理数的概念：整数和分数统称为有理数，所有有理数都能写成分数形式（分母不为 0），有限小数和无限循环小数属于分数，是有理数的一部分 有理数的分类：
例 题 精 讲 例1.在 -2，3.14，0， -， +5， -0.1，， -100 中，哪些是有理数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是正有理数？哪些是负有理数？ 例2.把下列有理数填入相应的集合中： 12， -5， -0.3，，0， -， -2.5，6， -1 正数集合：{ } 负数集合：{ } 整数集合：{ } 分数集合：{ }
针 对 训 练 下列说法正确的是（ ） 有理数就是正有理数和负有理数 分数不是有理数 0 是整数，但不是有理数 整数和分数统称为有理数 在 -3，1.5，0， -， +4， -2.5 中，正有理数有（ ）个 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.把下列各数填入相应的括号内： -7，3.5， -3.14，0，，0.03， -3 ，，10， -0.2323…（23 循环） 整数集合：{ } 分数集合：{ } 正有理数集合：{ } 负有理数集合：{ }
课 堂 总 结 与学生一起回顾有理数的概念，强调整数和分数构成有理数这一关键要点，以及有限小数、无限循环小数与分数、有理数的关系 再次梳理有理数的两种分类方法，通过提问学生的方式，巩固按定义分类和按正负性分类的具体类别，强化学生对分类标准和 0 特殊地位的记忆 请学生分享在本节课学习过程中对有理数概念和分类的理解，以及遇到的困难和收获，教师进行点评和总结，鼓励学生在课后继续思考和练习，加深对有理数知识的掌握
作 业 布 置 基础作业 教材 P6 练习第 1、2 题 写出 5 个不同类型的有理数，并分别说明它们属于按定义分类和按正负性分类中的哪一类 拓展作业 观察生活中的数据，如商品价格、股票涨跌、体育比赛得分等，找出至少 3 个有理数，并分析其实际意义以及所属的有理数类别 思考：如果规定向东为正，一个人先向东走了 5 米，记作 +5 米，然后又向西走了 8 米，记作 -8 米，那么这个人最终的位置如何用有理数表示？他一共走了多少米？（为后续有理数运算做铺垫）1.2.2 数轴
一．素养目标
1.学生能够深入理解数轴的概念，精准掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）
2.能够熟练且准确地在数轴上表示有理数，清晰地说出数轴上点所表示的有理数。3.借助数轴，熟练进行有理数的大小比较，深入理解有理数的有序性。
二．教学重难点
教学重点：
透彻理解数轴的概念和三要素，能够准确无误地画出数轴。
熟练掌握在数轴上表示有理数的方法，灵活运用数轴比较有理数的大小
教学难点：
深入理解数轴上的点与有理数之间的一一对应关系，尤其是体会数轴 “三要素” 与有理数集（实数集）中 0，1 以及数的符号的对应性；
能够运用数轴解决一些较为复杂的实际问题和数学问题，培养学生的数形结合思想和应用意识
知识回顾
教师提问：“同学们，我们之前学习了有理数，谁能说一说有理数的分类有哪些？” 引导学生回顾有理数包括整数和分数，整数又分为正整数、0 和负整数，分数分为正分数和负分数。
接着提问：“那什么是正数？什么是负数呢？” 让学生明确大于 0 的数是正数，小于 0 的数是负数。
情景导入
展示图片，提出问题
问题1.温度计上的刻度是如何表示温度的？
问题2.温度计上的 0℃有什么特殊意义？
问题3.如何用温度计表示零上 5℃和零下 3℃呢？
讲述故事：
假设有一只小蚂蚁在一条笔直的道路上爬行，它从一个固定的树桩出发，向东爬行 2 米，我们可以用 + 2 米来表示它的位置；如果它向西爬行 3 米，又该如何表示呢？那如何能清晰地在图上表示出小蚂蚁每次爬行后的位置呢？
合作探究
1.教师引导：同学们，我们现在以小组为单位，尝试用一条直线来表示小蚂蚁爬行的道路，并且在这条直线上表示出小蚂蚁的不同位置。思考一下，这条直线需要具备哪些要素，才能准确地表示出位置呢？
2.小组讨论：学生分组进行讨论，尝试画出表示小蚂蚁爬行路径的直线，并在直线上标注出相应的位置。在讨论过程中，教师巡视各小组，观察学生的讨论情况，并适时给予指导和启发。
3.小组汇报：各小组派代表展示本小组所画的直线，并讲解如何通过这条直线表示小蚂蚁的位置，以及直线所具备的要素。
归纳总结
1.数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
2.数轴的三要素：
原点、正方向、单位长度。原点表示 0，是区分正负数的基准点；正方向一般取向右，决定了数的递增方向；单位长度根据实际情况选取，
用于衡量数轴上点与点之间的距离。
有理数与数轴上点的关系：
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。正数用原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，0 用原点表示。并且，数轴上的点所表示的数，右边的总比左边的大。
例题精讲
例1：说出下图中数轴上的 A、B、C、D、E 各点表示什么数？
C A D E B
-3 -2 -1 0 1 2 3
例2：画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：-3，2，0，-1.5，4
针对训练
数轴上表示数 - 4 的点在原点的 边，离原点 个单位长度；
表示数 3.5 的点在原点的 边，离原点 个单位长度。
到原点距离为 2 个单位长度的数是
在数轴上点 A 表示数 - 2，若把点 A 向右移动 3 个单位长度，则移动后的点表示数是 ；若把点 A 向左移动 1.5 个单位长度，则移动后的点表示数是
在数轴上点 B 表示数 2，点 C 与点 B 相距 4 个单位，点 C 表示数是
课堂总结
1.与学生一起回顾本节课所学内容，强调数轴的概念、三要素以及有理数与数轴上点的对应关系
2.请学生分享本节课的收获和体会，鼓励学生积极发言，教师给予肯定和补充
3.总结数形结合思想在本节课中的应用，让学生体会到将抽象的数与直观的形结合起来，有助于更好地理解和解决数学问题。
十、作业布置
基础作业：课本练习题 1、2、3。
拓展作业：在数轴上，点 A 表示的数是 1，点 B 与点 A 相距 3 个单位长度，且点 B 在点 A 的右侧，求点 B 表示的数；课题 1.2.3相反数
素 养 目 标 通过观察、分析数轴上特殊点的位置关系，抽象出相反数的概念，提升从具体实例中提炼数学本质的能力，学会用数学的眼光观察现实世界 在探究相反数的性质以及对多重符号化简的过程中，依据相反数概念进行有条理的思考和推导，培养逻辑推理能力，运用数学的思维思考现实世界 熟练掌握求一个数相反数的方法，并能准确进行多重符号的化简运算，提高运算的准确性与熟练度，借助数学运算解决相关数学问题 借助数轴直观呈现互为相反数的两个数的位置特征，理解相反数的几何意义，培养学生的直观想象能力，将抽象的数学概念与直观图形建立联系
教 学 重 难 点 重点： 精准把握有理数的概念，透彻理解整数、分数与有理数之间的关系深入理解相反数的概念，能准确判断两个数是否互为相反数 熟练掌握求一个有理数相反数的方法，包括正数、负数和 0 的相反数的求解 学会对含有多重符号的数进行化简 难点： 从 “数” 和 “形” 两个角度深刻理解相反数的意义，尤其是借助数轴理解互为相反数的两个数关于原点对称这一几何特征 准确判断 “-a” 的正负性，理解当 a 为不同有理数时，-a 所代表的含义，进而正确进行多重符号的化简
知 识 回 顾 引导学生回顾数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。提问学生如何在数轴上表示一个数，例如在数轴上表示出 3 和 - 2 等数，强化学生对数轴概念的理解与运用 回顾有理数的相关知识，提问有理数的分类方式，如按定义分为整数和分数，按正负性分为正有理数、0、负有理数。随机列举一些有理数，让学生说出其所属类别，巩固有理数的分类知识，为学习相反数在有理数范畴内的特性做铺垫
情 景 导 入 展示情境：小明家在学校东边 3 千米处，记作 + 3 千米，小张家在学校西边 3 千米处，记作 -3 千米。提问学生：小明家和小张家与学校的位置关系有什么特点？它们所对应的数在数学上又有怎样的联系呢？ 呈现数轴：在数轴上标记出表示 + 3 和 -3 的点，让学生观察这两个点与原点的位置关系，思考它们到原点的距离情况。接着提出问题：像这样在数轴上位于原点两侧，且到原点距离相等的两个数，在数学中有着特殊的定义，你们能猜到是什么吗？由此引出本节课的主题 —— 相反数
合 作 探 究 相反数的概念 1.给出几组数，如 2 和 -2，5 和 -5，和 -等，让学生观察每组数的特点。组织学生分组讨论，从数字的符号和数值两方面分析这些数的异同点 2.引导学生总结归纳出相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别强调 “只有” 和 “互为” 这两个关键词，“只有” 表明除了符号不同外，数字部分完全相同；“互为” 意味着相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数，必须说谁是谁的相反数 3.提问学生：0 的相反数是多少呢？引导学生从相反数的概念出发进行思考，因为 0 既不是正数也不是负数，且要满足相反数的定义，所以 0 的相反数就是 0 本身 二．相反数的几何意义 在数轴上分别表示出刚才提到的互为相反数的数对，如 2 和 -2，5 和 -5 等，让学生再次观察这些数所对应的点在数轴上的位置 组织学生讨论这些点的位置关系，引导学生发现互为相反数的两个数在 数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两个点关于原点对称。这就是相反数的几何意义。通过这种数形结合的方式，加深学生对相反数概念的理解 三．多重符号的化简 1.提出问题：思考 -（+3），-（-5），+（-2），+（+4）等数的化简结果。先让学生独立思考，尝试根据相反数的概念进行化简 2.组织学生小组交流，分享各自的化简思路和结果。教师巡视各小组讨论情况，适时给予指导和启发 3.引导学生总结多重符号化简的规律：当一个数前面有偶数个 “-” 号时，化简结果为正；当一个数前面有奇数个 “-” 号时，化简结果为负。“+” 号在化简过程中可以直接省略不影响结果。例如 -（-（-2）），因为有 3 个 “-” 号，所以化简结果为 -2；而 +（+（-4）），前面的 “+” 号可省略，结果就是 -4
归 纳 总 结 相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。从 “数” 的角度理解，就是数字相同，符号相反；从 “形” 的角度看，互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，到原点距离相等有理数的分类： 求一个数相反数的方法：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是 0。在表示一个数 a 的相反数时，通常写成 -a 的形式 多重符号化简规律：依据 “-” 号的个数判断，偶数个 “-” 号结果为正，奇数个 “-” 号结果为负，“+” 号可省略
例 题 精 讲 例题1.分别写出下列各数的相反数：5， -7， -，0， +1.5 例2.化简下列各数：-（+2），-（-6），+（-4.5），-（+（-3））
针 对 训 练 写出下列各数的相反数： -100 （2）+20 （3）0.36 （4）- （5）0 化简下列各数： -（-8） （2）+（-9） （3）-（+5.5） （4）-（-（-2.3））
课 堂 总 结 与学生一起回顾相反数的概念，强调概念中的关键要点，如 “只有符号不同”“互为” 以及 0 的特殊情况 再次梳理相反数的几何意义，通过在数轴上的直观展示，加深学生对互为相反数的两个数位置关系的理解 总结求相反数的方法和多重符号化简的规律，让学生清晰掌握相关运算技巧 请学生分享在本节课学习中的收获和疑惑，教师进行针对性解答和补充，强化学生对知识的理解与掌握
作 业 布 置 基础作业 教材 P10 练习第 1、2 题 写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数：4， -6，1.5， -2.5，0 拓展作业 1.已知 a 的相反数是 -5，求 a 的值。若 b = -3，求 -b 的相反数 2.若数轴上点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为 -x，且点 A 与点 B 之间的距离为 8，求 x 的值 拓展探究 已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为相反数，且 | m| = 3，求 m + a + b + c + d 的值课题 1.2.4绝对值
素养 目标 引导学生从数轴上点与原点距离的具体实例中，抽象出绝对值的概念，学会用数学语言精确描述这一概念，提升学生从具体到抽象的思维能力，培养学生用数学眼光观察世界的素养 通过对绝对值性质的探究，如一个数的绝对值与它本身及相反数的关系，以及绝对值的非负性等，让学生依据概念进行推理，理解相关结论的推导过程，增强逻辑推理能力，学会运用数学思维分析问题 使学生熟练掌握求一个数绝对值的运算方法，无论是正数、负数还是 0，都能准确得出其绝对值，并能进行简单的与绝对值相关的运算，如含绝对值符号的式子化简等，提高学生的运算准确性和熟练度
教 学 重 难 点 重点：1.深刻理解绝对值的概念，包括其几何意义（数轴上表示数的点与原点的距离）和代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0） 熟练掌握求一个有理数绝对值的方法，能够准确求出给定有理数的绝对值 理解绝对值的性质，特别是绝对值的非负性，并能运用这些性质解决简单问题 难点： 实现绝对值的代数定义与几何定义的有机统一，让学生从数和形两个角度全面、深入地理解绝对值的本质含义 运用绝对值的概念和性质解决一些具有一定难度的实际问题和数学问题，如利用绝对值的非负性进行推理、求解含有绝对值符号的方程或不等式等
知 识 回 顾 问题1.数轴的三要素是什么（原点、正方向、单位长度） 问题2.请同学们在练习本上画出一条数轴，然后在数轴上标记出几个点，如 3、 -2、0 等，复习如何在数轴上表示数 问题3.复习相反数的概念，随机提问学生某个数的相反数是多少，如 5 的相反数、 -7 的相反数 问题4.互为相反数的两个数在数轴上的位置特点（分别位于原点两侧，且到原点的距离相等）
情 景 导 入 问题1.假设有两位同学，一位向东走了 5 米，另一位向西走了 5 米，如果把向东规定为正方向，那么这两位同学的位置可以分别用 +5 米和 -5 米表示 思考1.这两位同学行走的方向不同，但有什么是相同的呢？ 思考2.在数轴上标记出表示 +5 和 -5 的点，观察这两个点到原点的距离有什么特征？
合 作 探 究 探究1.绝对值的概念 活动1.观察2 和 -2，4 和 -4，1/3 和 -1/3在数轴上对应的点到原点的距离情况。组织学生分组讨论，从距离的角度分析这些数的特点 绝对值的概念：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a| 例题1.求下列各数的绝对值： -7， +4.5，0， -2/3 【针对训练】 1.求下列各数的绝对值：8， -12，0.5， -3.7，0 探究2.绝对值的性质 探究正数、负数和 0 的绝对值规律 观察| 2|、| -3|、|0 | 与原数的关系 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 探究3.绝对值的非负性 问题：有没有一个数的绝对值是负数呢？为什么？举例说明 任何数的绝对值都不可能是负数，即对于任意有理数 a，总有 | a|≥0 探究4研究互为相反数的两个数的绝对值关系 问题：分别求出3 和 -3，5 和 -5的绝对值，观察结果有什么特征？ 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 | a| = | -a| 探究5.绝对值概念的深化与拓展 已知一个数的绝对值求这个数 提出问题：若 | x| = 4，那么 x 的值是多少？让学生思考并讨论 利用数轴比较绝对值的大小 在数轴上标记出几个数，如 -3、1、 -5、2 等，让学生分别求出这些数的绝对值，然后在数轴上再标记出它们绝对值对应的点观察这些绝对值在数轴上的位置关系
归 纳 总 结 绝对值的概念：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a|，它是一个非负的量 绝对值的性质： （1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0 （2）互为相反数的两个数的绝对值相等，即 | a| = | -a|。 3.已知一个数的绝对值求这个数时，若绝对值不为 0，则这个数有两个值，它们互为相反数；若绝对值为 0，则这个数就是 0 4.利用绝对值比较数的大小：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小
例 题 精 讲 例题2.已知 | a| = 6，求 a 的值 解答：因为 | a| = 6，所以 a = ±6，即 a 的值为 6 或 -6 例题3.比较 -3 和 -5 的大小 先求绝对值，| -3| = 3，| -5| = 5 因为 3 <5，所以根据两个负数比较大小的规则， -3> -5
针 对 训 练 求下列各数的绝对值：4， -13，5， -2.7，0 已知 | x| = 9，求 x 的值 比较下列每组数的大小：-4 和 -6，-1/2 和 -1/3 若 | a - 2| + |b + 3| = 0，求 a 和 b 的值
作 业 布 置 基础作业 教材 P14 练习第 1、2、3 题 拓展作业 已知 | x - 3| + |y + 2| = 0，求 x + y 的值 若 | a| = 3，|b| = 5，且 a > 0，b < 0，求 a - b 的值课题 1.2.5有理数的大小比较
素养 目标 引导学生从具体生活情境和数轴实例中，抽象出有理数大小比较的一般方法，如借助数轴位置关系、利用绝对值判断等，培养学生从具体到抽象的思维能力，学会用数学语言准确描述大小比较规则 通过对不同类型有理数（正数、0、负数）大小关系的探究，以及两个负数大小比较法则的推导，锻炼学生依据已有知识进行逻辑推理的能力，使其理解大小比较结论的合理性和严谨性 让学生熟练运用有理数大小比较的方法进行数的大小判断，在涉及化简、求绝对值等运算过程中，提高运算的准确性和熟练度，培养学生良好的运算习惯
教 学 重 难 点 重点： 掌握有理数大小比较的两种基本方法，即借助数轴比较和运用法则比较。明确在数轴上右边的数总比左边的数大；牢记正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小 能够熟练、准确地运用这些方法对有理数进行大小比较，包括简单的两个数比较以及多个有理数的大小排序 难点： 深入理解两个负数大小比较法则的本质，即为什么绝对值大的负数反而小。这需要学生将负数的概念、数轴上点的位置以及绝对值的含义有机结合起来，突破小学阶段形成的思维定式 在复杂情境或多个有理数比较大小时，能灵活选择合适的方法进行准确判断，避免混淆和错误，培养学生综合运用知识的能力
知 识 回 顾 复习数轴的相关知识，提问学生数轴的三要素是什么（原点、正方向、单位长度），并让学生在练习本上画出一条数轴，然后在数轴上标记出几个有理数，如 2、 -3、0、1.5 等，复习如何在数轴上表示有理数，强化数轴的直观形象，为利用数轴比较有理数大小做铺垫 回顾绝对值的概念和性质，随机提问学生某个数的绝对值是多少，如 | -5|、|4|、|0 | 等，强调绝对值表示的是一个数到原点的距离，是非负的。同时，复习互为相反数的两个数绝对值相等这一性质，为比较两个负数大小奠定基础
情 景 导 入 展示天气预报的图片或视频片段，呈现不同城市的气温数据，例如：北京的气温是 -3℃，上海的气温是 5℃，哈尔滨的气温是 -10℃ 提出问题：从这些气温数据中，同学们能看出哪个城市更冷，哪个城市相对较暖和吗？如何用数学知识来准确比较这些温度的高低呢？引导学生思考温度的正负与数值大小和实际冷热程度的关系 展示数轴，将上述三个城市的气温在数轴上标记出来，让学生观察这些点在数轴上的位置。 接着提问：通过观察数轴上表示温度的点的位置，大家能发现温度的高低与数轴上点的位置有什么联系吗？由此引出本节课的主题 —— 有理数的大小比较
合 作 探 究 探究1.利用数轴比较有理数的大小 活动1.请同学们在数轴上分别标记出-4、 -1、2、3对应的点。组织学生分组讨论，观察这些点在数轴上的位置关系，思考从左到右这些点所表示的数的大小变化情况 总结归纳：在数轴上规定向右为正方向，那么右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 探究2.有理数大小比较法则 法1.探究正数、0、负数之间的大小关系 活动2.回顾小学学过的正数和 0 的大小关系，以及引入负数后，结合生活实际和数轴，思考正数、0、负数这三类数之间的大小关系。 学生总结出：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。可以通过一些简单的例子，如 5 > 0，0 > -2，3 > -1 等，让学生加深印象 法2.探讨两个负数的大小比较方法 活动3.思考如何比较-3，-5的大小 引导：从数轴的角度分析，在数轴上找到表示 -3 和 -5 的点，观察它们到原点的距离以及位置关系 讲解：因为绝对值表示一个数到原点的距离，|-3| = 3，|-5| = 5，5 > 3，即 -5 到原点的距离比 -3 到原点的距离远，而在数轴上，离原点越远的负数越小，所以 -3 > -5。由此得出两个负数比较大小的法则：两个负数，绝对值大的反而小 举例：比较-7 和 -4的大小 探究3.综合运用与拓展 活动4.比较-2.5、3、0、 -0.5、1.8大小 小组讨论，交流各自的方法和思路 强调先化简（如果有需要），再根据法则或数轴进行比较和排序 活动5.提出问题：如果 a 是一个有理数，且 | a| = 4，b 是一个负数，且 | b| = 2，你能比较 a 和 b 的大小吗？引导学生分析
归 纳 总 结 利用数轴比较有理数大小的方法：在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。将有理数准确标注在数轴上，通过观察点的位置即可直观比较大小。 有理数大小比较法则 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。比较时，先求出两个负数的绝对值，比较绝对值大小后，再根据法则判断原负数的大小关系 3.在比较有理数大小时，要先对所给的数进行化简（如有多重符号等情况），然后根据数的类型（正数、0、负数），选择合适的方法进行比较。多个有理数比较大小时，可以先在数轴上表示出来，再按顺序排列，也可以直接运用法则逐步比较
例 题 精 讲 例题1.比较下列各数的大小 - 6 和 2 （2） - 3 和 - 8 0 和 - 1.5（4） 3.5 和 - 4 例题2.将下列有理数按从小到大的顺序排列： 2， + 3， - 1.5，0，，-
针 对 训 练 比较下列各组数的大小： - 7 和 - 5 （2） 4 和 - 6 将下列各数按从大到小的顺序排列： - 1， + 2， - 3，0，4， - 5 3.已知 | x| = 5，y 是正数且 | y| = 3，比较 x 和 y 的大小
课 堂 总 结 与学生一起回顾有理数大小比较的两种主要方法，即利用数轴和运用法则，强调每种方法的要点和适用情况 请学生分享在比较有理数大小时容易出错的地方，如两个负数比较时忽略 “绝对值大的反而小”，或在多个数比较时没有先化简等，教师进行补充和强调，加深学生对易错点的认识
作 业 布 置 基础作业 教材 P16 练习第 1、2、3 题 拓展作业 已知 a 是负数，b 是正数，且 | a| > |b|，比较 a 和 b 的大小，并在数轴上表示出来 若 | x - 3| + |y + 2| = 0，比较 x 和 y 的大小课题 2.1.1 有理数的加法第1课时
素养 目标 深入理解有理数加法的意义，能精准阐述其在实际情境中的应用 完整经历有理数加法法则的探索过程，熟练背诵并深刻理解有理数的加法法则 能够运用有理数加法法则准确且迅速地进行有理数的加法运算，尤其是整数的运算
重 难 点 重点：有理数加法法则的理解与掌握，明确同号、异号及与 0 相加的不同情况 能够正确运用有理数加法法则进行有理数的加法运算 难点：异号两数相加法则的理解与应用，尤其是确定和的符号以及绝对值的运算
知 识 回 顾 同学们，我们之前学习了有理数，谁能说一说有理数是如何分类的？ 在数轴上，右边的数和左边的数有怎样的大小关系？ ：“什么是绝对值？一个正数的绝对值是什么？一个负数的绝对值是什么？0 的绝对值呢？
情 景 导 入 小明同学一周的零花钱情况是：支出了60元，妈妈给了他100元，你最想指导的问题是什么？请同学们设计一个问题，并解决你的问题
合 作 探 究 探究有理数加法的类型 思考：小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与 0 相加以及 0 与 0 相加。引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？” 引导学生思考、讨论 同号两个数相加；异号两个数相加；一个数与 0 相加 同号两数相加法则的探究 （1）如果物体沿着一条直线先向右运动 5m，再向右运动 3m 思考：两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ （2）如果物体沿着一条直线先向左运动 5m，再向左运动 3m 思考：两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 观察这两个算式，思考：“从这两个式子中，关于同号两数相加，你们发现了什么规律？ 同号两数相加的法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加法则的探究 如果物体沿着一条直线先向左运动 3m，再向右运动 5m 思考：两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 如果物体沿着一条直线先向右运动 3m，再向左运动 5m 思考：两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 异号两数相加的法则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 如果物体沿着一条直线先向右运动 5m，再向左运动 5m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ 互为相反数的两个数相加得 0 5.一个数与 0 相加法则的探究 如果物体第 1s 向右运动 5m，第 2s 原地不动，那么 2s 后运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ 一个数与 0 相加的法则：一个数与 0 相加，仍得这个数
归 纳 总 结 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得 0 一个数与 0 相加，仍得这个数
例 题 精 讲 例 1（教材 P27 例 1）计算 （－3）＋（－9） （2）（－8）＋0 （3）12＋（－8） （4）（－4.7）＋3.9
针 对 训 练 计算下列各式 （1）（－4）＋（－6） （2）4＋（－6） （3）（－4）＋6 （4）（－4）＋4 （－4）＋14 （6）（－14）＋4 （7）6＋（－6） （8）0＋（－6）
课 堂 总 结 1.与学生一起回顾本节课所学内容，提问：“有理数的加法法则是什么？在进行有理数加法运算时需要注意什么？” 让学生回答，强化对重点知识的记忆 2.强调有理数加法法则是进行有理数运算的基础，要求学生课后多加练习，熟练掌握
作 业 布 置 基础作业:教材 18 - 19 页练习 1，2，3，4 选做题：足球循环赛中，红队胜黄队 4：1，黄队胜蓝队 1：0，蓝队胜红队 1：0，计算各队的净胜球数 拓展作业：若 | a| = 3，|b| = 2，且 a、b 异号，求 a + b 的值。课题 2.1.1有理数的加法第2课时
素养 目标 理解有理数加法的交换律和结合律，能用字母准确表示这两个运算律 能够熟练运用加法交换律和结合律简化有理数的加法运算，提高运算的准确性和速度
教 学 重 难 点 重点： 1.有理数加法交换律和结合律的推导与理解 2.能够熟练运用加法交换律和结合律进行有理数加法的简便运算 难点： 灵活运用加法运算律，根据算式的特点选择合适的方法进行简便计算 理解在有理数加法运算中运用运算律的算理和优势
知 识 回 顾 回顾有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数与 0 相加，仍得这个数 进行简单的有理数加法运算练习，如：(1)(-2)+3；(2)(-7)+(-1)；(3) 0+( -5)；(4) 6+( -6)
情 景 导 入 1.小明去超市购物，他先买了一本笔记本花费 3 元，又买了一支笔花费 5 元，之后发现笔记本价格算错了，需要退还 3 元。请同学们思考如何用算式表示小明购物的花费情况？ 列出两种算式：(3 + 5)+( -3) 和 3+(5+( -3))。让学生计算这两个算式的结果，观察并思考它们之间的关系 某足球队在一场比赛中，上半场进了 2 个球，失了 1 个球，下半场进了 3 个球，又失了 2 个球。用算式表示球队这场比赛的净胜球数，也可以得到不同的列式顺序计算结果并观察，从这些计算中，大家能发现什么规律？
合 作 探 究 探究1：有理数加法交换律 计算以下两组式子： 3+(-5) 与 (-5)+3 (-10)+20 与 20+( -10) 问题：是不是任意两个有理数相加，交换加数的位置，和都不变呢？ 自己再举一些不同的有理数例子进行验证 有理数加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为 a + b = b + a 探究2：有理数加法结合律 1.计算下面两组式子： （1）((-2)+3)+4 与 (-2)+(3 + 4) （2） (1+( -2))+( -3) 与 1+(( -2)+( -3)) 比较每组式子的结果，有什么规律？ 思考：对于任意三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和是否都不变？让学生再列举一些不同的有理数组合进行验证 有理数的加法中， 2.有理数加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为 (a + b)+c = a+(b + c) 3.多个有理数相加时，是否也能运用交换律和结合律呢？让学生通过具体的式子，如 (-1)+2+( -3)+4+( -5)，尝试运用运算律改变加数的位置和结合方式进行计算，体会多个有理数相加时运算律的适用性
归 纳 总 结 加法交换律为 a + b = b + a； 加法结合律为 (a + b)+c = a+(b + c)
例 题 精 讲 例 1：计算 (-23)+58+( -17) 解：(-23)+58+( -17) =(( -23)+( -17))+58 =(-40)+58=18 例 2：计算 15+(-19)+18+( -12)+( -15) 解：15+( -19)+18+( -12)+( -15) =(15+( -15))+(( -19)+( -12))+18（运用加法交换律和结合律） =0+( -31)+18 =-13
针 对 训 练 计算 (-11)+8+( -14) 计算 16+（-25）+24+（-35） 计算 20+(-15)+16+( -20) 学生独立完成这些练习题，教师巡视，及时发现学生在运用运算律过程中出现的问题，进行个别指导。完成后，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调解题的规范和运算律的正确运用
课 堂 总 结 1.请学生回顾本节课所学内容，回答有理数加法交换律和结合律的具体内容是什么，以及在运用运算律进行计算时的关键步骤和注意事项 2.教师进行补充和总结，再次强调加法运算律在有理数加法中的重要性，鼓励学生在今后的计算中要养成观察式子特点、合理运用运算律的习惯，以提高计算能力和解题效率
作 业 布 置 基础作业：P30页1.2.3 拓展作业：已知 a = -2，b = 5，c = -4，求 a + b + c + (-a) 的值
