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习题课：匀变速直线运动规律的综合应用
◆ 导学案
学习任务一 匀变速直线运动公式的灵活选取
学习任务二 两类特殊的匀减速直线运动
学习任务三 直线运动中多过程运动的问题
备用习题
随堂巩固
◆ 练习册
学习任务一 匀变速直线运动公式的灵活选取
［科学思维］
对比匀变速直线运动的公式：
1.时间、位移、初速度、末速度、加速度是描述运动的几个重要物理量，在匀变速直线运动中，同一过程，五个量已知三个量，就能求出其余两个量.以下这六个公式是最常用的.
关系式 一般形式 切入点
速度与时间关系 不涉及位移
位移与时间关系 不涉及末速度
位移与速度关系 不涉及时间
位移与平均速度关系 不涉及加速度
平均速度公式 中间时刻速度等于平均速度
相邻相等时间内位移差与加速度关系 相邻相等时间内时间内位移差求加速度
2.公式的选用原则
(1)能用推导公式求解的物理量，用基本公式肯定可以求解，但有些问题往往用推导公式更方便些.
(2)这六个公式适用于匀变速直线运动，不仅适用于单方向的匀加速或匀减速(末速度为零)直线运动，也适用于先做匀减速直线运动再反方向做匀加速直线运动而整个过程是匀变速直线运动的运动.
(3)使用公式时注意矢量、、、的方向，通常选的方向为正方向，与之相反的方向为负方向.
例1 质点由静止从点出发沿直线运动，行程的第一阶段是加速度大小为的匀加速运动，接着做加速度大小为的匀减速运动，到达点时恰好速度减为零.若间总长度为，则质点从到所用时间为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设第一阶段的末速度为，则由题意可知，解得，而，由此解得，所以正确答案为B.
变式1 一物体从固定斜面上某点由静止开始沿斜面做匀加速直线运动，经过后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经过停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设物体到达斜面底端时的速度为，则物体在斜面上的平均速度，在斜面上的位移在水平地面上的平均速度，在水平地面上的位移所以，故选C.
学习任务二 两类特殊的匀减速直线运动
［模型建构］ 两类特殊的匀减速直线运动
1.刹车类
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动且运动过程不可逆，当速度减小到零时，车辆就会停止.解答此类问题的思路是：
(1)先求出它们从刹车到静止的刹车时间.
(2)比较所给时间与刹车时间的关系以确定运动时间，最后利用运动学公式求解.若，则不能盲目把时间代入，若，则在时间内未停止运动，可用公式求解.
(3)如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零的匀加速直线运动.
2.双向运动类
如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，求解时可对全过程列式，但必须注意、、等矢量的正负号及物理意义.
例2 汽车以的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经速度变为，规定汽车初速度方向为正方向，求汽车：
(1) 刹车过程中的加速度；
[答案]
[解析] 汽车刹车的加速度为
(2) 刹车后内前进的距离；
[答案]
[解析] 汽车刹车后内前进的距离为
(3) 刹车后内前进的距离；
[答案]
[解析] 汽车刹车到停止运动所用的时间为
即汽车经停止，故时汽车已经停止，末速度为零，则汽车内前进的距离为
(4) 刹车后前进所用的时间；
[答案]
[解析] 由，解得，(不合理，舍弃)
故汽车刹车后前进所用的时间为
(5) 停止前最后通过的位移.
[答案]
[解析] 由逆向法得，汽车停止前最后通过的位移为
例3 (多选)一物体以的初速度沿较长的光滑斜面斜向上做加速度大小为的匀减速运动，运动到最高点后向下做加速度不变的匀加速运动，规定沿斜面向上为正方向，则它的位移为时所用的时间为( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 物体既可能是向上运动的位移为，也可能是向上运动再返回时整个过程中的位移为，所以对应的时间有两解.根据，代入数值得,整理方程得,解得,，选项A、C正确.
学习任务三 直线运动中多过程运动的问题
［科学思维］ 求解多阶段运动问题的“三步走”
例4 [2023·广西桂林中学月考] 在某次火灾逃生演练现场，逃生者从离地面高处利用缓降器材沿竖直方向由静止开始匀加速下降，当速度达到时，以大小为的加速度匀减速下降，到达地面时速度恰好为零.求:
(1) 加速下降过程的位移大小；
[答案]
[解析] 以竖直向下为正方向，可以把减速下降的过程看作末速度为零的匀减速直线运动，初速度为 ，加速度，根据匀变速直线运动规律，减速下降过程的位移
人从高处开始下降，到地面的全过程中只有加速下降和减速下降过程，故加速下降的位移为
(2) 到达地面所用的时间.
[答案]
[解析] 加速下降的时间
减速下降的时间
到达地面所用的时间
变式2 某质点由静止开始以加速度做匀加速直线运动，经时间后立即以反方向的大小恒为的加速度做匀变速直线运动，又经时间恰好回到出发点，求和的大小关系.
[答案]
[解析] 设质点匀加速运动的末速度为，回到出发点的速度大小为.若以的方向为正方向，根据
在匀加速阶段有
在匀变速阶段有
联立解得
根据，有，
故
1.一质点由静止从 点出发沿直线 运动，先是做加速度为 的匀加速运动；
接着又以大小为 的加速度做匀减速运动，到达 恰好停止.若 长为 ，则
质点走完 所用的时间是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由于质点先做初速度为0、加速度为 的匀加速直线运动，其位移为
，接着做加速度大小为 、末速度为0的匀减速直线运动，其位移
为 ，又 ，而总的时间为 ，总位移为
，联立解得 ，故D正确.
2.如图所示，以 的速度匀速行驶的汽车
即将通过路口，绿灯将在 后熄灭，此时汽
车距离停车线 .该车加速时的最大加速度
为 ，减速时的最大加速度为 ，
此路段允许行驶的最大速度为 .下列
说法中正确的是( )
A
A.若立即做匀加速运动，则在绿灯熄灭前汽车能通过停车线
B.若立即做匀加速运动，则在绿灯熄灭前通过停车线时汽车一定超速
C.若立即做匀减速运动，则在绿灯熄灭前汽车一定能通过停车线
D.若在距停车线 处减速，则汽车能停在停车线处
[解析] 若立即做匀加速直线运动，则 内的位移
，此时汽车的速度为
，汽车没有超速，A正确，B错误；
不管是用多小的加速度做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线，
因为即使不减速，只匀速行驶， 所能行驶的距离也只是 ，小于开始时
汽车与停车线的距离，故C错误；
若以最大加速度做匀减速运动，则速度减为零需要时间 ，此过
程通过的位移为 ，即刹车距离为 ，所以若在距停车
线 处减速，则会过线，D错误.
3.一物体在水平地面上由静止开始受到一水平拉力作用，匀加速前进 后，
撤去这个水平拉力，物体又向前滑行 才停止.求该物体在这两个阶段中运
动时间之比 .
[答案]
[解析] 设物体匀加速运动的时间为 ，匀加速运动的末速度为 ，它也是匀
减速运动的初速度；撤去外力后，物体做匀减速直线运动，设时间为 ，由
得 ， ，联立解得
4.[2022·广西北海期中] 某质点 从静止开始以加速度 向右做匀加
速直线运动，经 立即以反向的加速度 做匀变速直线运动，又经
后恰好回到出发点，求：
(1) 质点在 时速度大小和前 内位移大小.
[答案]
[解析] 时速度大小 前 内位移大小
(2) 加速度 的大小.
[答案]
[解析] 到 内位移大小
由题知
解得
(3) 质点 在前 过程中的平均速率.
[答案]
[解析] 后质点向右运动的最大位移
前 内总路程
平均速率
1.(匀变速直线运动公式的灵活选取)动车组是由几节自带动力的车厢(动车)和几节不带动力的车厢(拖车)编在一起组成的.一工作人员站在车外进行观测，发现某动车组连续两节车厢经过他的时间依次为和，若动车组可看成做匀变速直线运动，每节车厢的长度为，则该动车组的加速度约为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 动车组可看成做匀变速直线运动,设这两节车厢经过该工作人员的初速度为 ,加速度为,由位移公式 ，对两节车厢，有 ，对第1节车厢，有 ，联立解得，选项C正确.
2.(匀变速直线运动公式的灵活选取)如图所示,一小球从点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动,若到达点时速度为,到达点时速度为,则为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据匀变速直线运动的速度—位移关系式,有,,所以,则,故C正确.
3.(匀减速刹车问题)汽车在水平地面上因故刹车,可以看作做匀减速直线运动,其位移与时间的关系式为,则它在停止运动前最后内的平均速度为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 将关系式对比匀变速直线运动的位移—时间关系式,可得,,采取逆向思维,汽车在停止运动前最后内的位移,停止运动前最后内的平均速度,故C正确.
知识点一 匀变速直线运动公式的灵活选取
1.[2023·广西桂林中学月考] 物体从静止开始做匀加速直线运动，第内通过的位移是，则( )
A
A.第内的平均速度是 B.物体的加速度是
C.前内的位移是 D.末的速度是
[解析] 第内的平均速度，故A正确；
设物体加速度为，第内位移等于前内位移减去前内位移，，解得，故B错误；
前内的位移是，故C错误；
末的速度，故D错误.
2.光滑斜面的长度为，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为，则下列说法不正确的是( )
B
A.物体运动全过程中的平均速度是
B.物体在时的瞬时速度是
C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D.物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是
[解析] 物体运动全过程的平均速度，A正确；
时，物体的瞬时速度等于全程的平均速度，B错误；
若末速度为，则，，物体运动到斜面中点的瞬时速度，C正确；
设物体加速度为，到达斜面中点用时，则，，所以，D正确.
3.有一列长为的列车正以恒定的加速度通过铁路桥，桥长也为.已知列车车头过桥头时的速度为，车头过桥尾时的速度为，则车尾过桥尾时的速度为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 从列车车头过桥头开始，到车头过桥尾时，列车位移为，到车尾过桥尾时，列车位移为，设列车车尾过桥尾时速度为，有，，联立解得，选项D正确.
知识点二 两类特殊的匀减速直线运动
4.(多选)某汽车在平直公路上以的速度匀速行驶，现因前方发生紧急事件而刹车，加速度大小为，则下列说法中正确的是( )
ACD
A.刹车后末的速度为 B.刹车后末的速度为
C.刹车后内的位移为 D.刹车后内的位移为
[解析] ，汽车速度减为零所需的时间，刹车后末的速度，故A正确；
刹车后末的速度为零，故B错误；
刹车后内的位移，故C正确；
刹车后内的位移等于内的位移，则，故D正确.
5.(多选)一个物体以的初速度冲上一光滑斜面,加速度大小为,到达最高点之后,又以相同的加速度往回运动,则( )
AC
A.末的速度大小为 B.末的速度为零
C.沿斜面向上的最大位移是 D.返回出发点时的速度大小是
[解析] 规定初速度的方向为正方向,由速度公式可得,末的速度,末的速度,负号表示与初速度的方向相反,故A正确，B错误;
由位移公式得沿斜面向上的最大位移,故C正确;
返回出发点时位移为0,由,解得,故D错误.
6.汽车刹车前的速度为,刹车获得的加速度大小为,求:
(1) 刹车后汽车的速度大小；
[答案]
[解析] 根据速度—时间关系式得刹车后汽车的速度.
(2) 刹车开始后内汽车滑行的距离；
[答案]
[解析] 刹车总时间,所以内滑行的距离就是内汽车的位移,.
(3) 从开始刹车到汽车位移为所经历的时间.
[答案]
[解析] 根据位移—时间关系式得,解得(舍去).
7.一汽车以的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后内与刹车后内汽车通过的位移大小之比为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 汽车的刹车时间，故刹车后及内汽车的位移大小分别为，，所以，B正确.
8.[2023·河北正定中学月考] 在平直公路上行驶的汽车因前方突发险情，司机采取紧急刹车，刹车后汽车的速度与时间的关系式为单位为，单位为.下列说法正确的是( )
B
A.汽车刹车的加速度大小为 B.刹车后第内汽车的位移大小为
C.刹车后内汽车的位移大小为 D.刹车后内汽车的平均速度为
[解析] 根据结合，得汽车的初速度，加速度，A错误；
汽车停止运动的时间，刹车后内汽车的位移，刹车后内汽车的位移，刹车后第内汽车的位移大小，B正确；
汽车刹车后静止，则刹车后内位移等于内位移，，C错误；
刹车后内汽车的平均速度，D错误.
9.[2023·浙江效实中学月考] 如图所示，物体沿着斜面从点由静止匀加速运动到点，然后沿着水平面匀减速运动到点停止，已知物体在斜面上运动的加速度大小为水
D
A.物体在斜面上运动的时间是在水平面上运动时间的2倍
B.物体在斜面上运动的位移大小是在水平面上运动位移大小的2倍
C.物体在斜面上运动的平均速度是在水平面上运动平均速度的2倍
D.物体运动到点的瞬时速率和运动到点的瞬时速率相等
平面上运动加速度大小的2倍，点为的中点，点为的中点，则( )
[解析] 物体在斜面上运动的时间，在水平面上运动时间，因，故物体在斜面上运动的时间为在水平面上运动时间的，故A错误；
物体在斜面上运动的位移大小，在水平面上运动的位移大小，因，故物体在斜面上运动的位移大小是在水平面上运动位移大小的，故B错误；
由匀变速直线运动的特点可知，无论物体在斜面上运动还是在水平面上运动平均速度都等于初、末速度的平均值，即，故C错误；
根据匀变速直线运动中间位置的速度，即物体运动到D点的瞬时速率和运动到点的瞬时速率相等，故D正确.
10.[2023·浙江杭州期中] 我国(电子不停车收费系统)已实现全国联网，大大缩短了车辆通过收费站的时间.若一辆汽车以的速度驶向高速收费口，到达自动收费装置前做匀减速直线运动，经后速度减为，此时刚好到达收费装置且收费完成，司机立即以的加速度做匀加速直线运动，直至速度恢复到.汽车可视为质点，不计收费时间.下列说法正确的是( )
C
A.汽车开始减速时距离自动收费装置
B.汽车加速后速度恢复到
C.汽车从开始减速至速度恢复到通过的总路程为
D.汽车由于通过自动收费装置而耽误的时间为
[解析] 汽车减速时的加速度，则汽车开始减速时与自动装置的距离，选项A错误；
汽车速度恢复到需要加速的时间，选项B错误；
汽车加速运动过程通过的距离，则汽车从开始减速至速度恢复到通过的总路程，选项C正确；
如果汽车以的速度匀速通过这段的路程，则所用时间为，所以汽车由于通过自动收费装置而耽误的时间，选项D错误.
11.(多选)[2023·安徽太和中学月考] 如图所示，滑块、、先后以相同的速度从斜面底端冲上斜面，当滑块到达斜面顶端时速度恰好为零，此时滑块正处于斜面中点，滑块刚好从斜面底端出发.已知斜面长度为，三个滑块上滑过程中均做匀减速直线运动且加速度大小相等.下列说法正确的是( )
BC
A.此时滑块的速度大小为
B.滑块上滑的加速度大小为
C.滑块上滑时间后，滑块才开始上滑
D.滑块上滑时间后，滑块才开始上滑
[解析] 根据匀变速直线运动位移—速度关系可得，解得滑块上滑的加速度大小为，B正确；
设此时滑块B的速度大小为，则有，解得，A错误；
滑块A滑动的时间为，滑块B滑动的时间为，则有，可知滑块A上滑时间后，滑块B才开始上滑，滑块B上滑时间后，滑块C才开始上滑，故C正确，D错误.
12.[2023·山东济南一中月考] 为保障学生交通安全，在距校门中心两侧150米处均设置“30”的限速标志.一辆汽车以的速度匀速驶向校门，当距离限速标志时驾驶员看到该标志,他立即以的加速度刹车，速度减为后保持这一速度通过限速区域.
(1) 通过计算说明汽车到达限速标志处时是否超速；
[答案] 超速
[解析] 设汽车到达限速标志时速度为 ，根据
解得
由于，故汽车已经超速
(2) 汽车从开始刹车经多长时间离开限速区域？(结果保留三位有效数字)
[答案]
[解析] 汽车速度减为时的位移
经过的时间
匀速运动的位移
匀速运动的时间
所以汽车从开始刹车到离开限速区域的时间
13.如图甲所示是高层建筑配备的救生缓降器材.遇到突发情况时，逃生者可以将安全带系于腰部，通过钢丝绳而安全着陆，如图乙所示.一幢高层商住楼的层高均为，某次演练中，逃生者从31楼由静止开始下滑，到达地面时速度恰好为零.该楼房所装救生缓降器材运行速度的最大值为，变速运动过程的加速度大小不超过.不计空气阻力.求：
(1) 逃生者由静止以最大加速度加速下滑的位移；
[答案]
[解析] 设以最大加速度加速下滑的时间为，由匀变速直线运动规律得
解得，.
(2) 逃生者从31楼到地面的最短时间.
[答案]
[解析] 逃生者要想最短时间从31楼到地面，应先以最大加速度做加速运动，后做匀速运动，最后以最大加速度做减速运动.
在匀减速阶段，所需时间为
通过的位移为
所以在匀速阶段所需时间为
总时间为.习题课:匀变速直线运动规律的综合应用
例1 B [解析] 设第一阶段的末速度为v,则由题意可知+=s,解得v=,而s=t1+t2=t,由此解得t=,所以正确答案为B.
变式1 C [解析] 设物体到达斜面底端时的速度为v,则物体在斜面上的平均速度=,在斜面上的位移x1=t1=t1在水平地面上的平均速度=,在水平地面上的位移x2=t2=t2所以x1∶x2=t1∶t2=1∶3,故选C.
例2 (1)-2 m/s2 (2)16 m (3)25 m (4)1 s (5)1 m
[解析] (1)汽车刹车的加速度为a==-2 m/s2
(2)汽车刹车后2 s内前进的距离为x1=v0t+at2=16 m
(3)汽车刹车到停止运动所用的时间为t0==5 s
即汽车经5 s停止,故8 s时汽车已经停止,末速度为零,则汽车8 s内前进的距离为x3==25 m
(4)由x2=v0t+at2,解得t1=1 s,t2=9 s> t0(不合理,舍弃)
故汽车刹车后前进9 m所用的时间为1 s
(5)由逆向法得,汽车停止前最后1 s通过的位移为x4=|a|=1 m
例3 AC [解析] 物体既可能是向上运动的位移为37.5 m,也可能是向上运动再返回时整个过程中的位移为37.5 m,所以对应的时间有两解.根据x=v0t+at2,代入数值得37.5=20t+×(-5)t2,整理方程得t2-8t+15=0,解得t1=3 s,t2=5 s,选项A、C正确.
例4 (1)10.8 m (2)6 s
[解析] (1)以竖直向下为正方向,可以把减速下降的过程看作末速度为零的匀减速直线运动,初速度为v1=6 m/s ,加速度a1=-2.5 m/s2,根据匀变速直线运动规律,减速下降过程的位移x1== m=7.2 m
人从高h=18 m处开始下降,到地面的全过程中只有加速下降和减速下降过程,故加速下降的位移为x=h-x1=10.8 m
(2)加速下降的时间t1== s=3.6 s
减速下降的时间t2== s=2.4 s
到达地面所用的时间t=t1+t2=3.6 s+2.4 s=6 s
变式2 a2=3a1
[解析] 设质点匀加速运动的末速度为v1,回到出发点的速度大小为v2.若以v1的方向为正方向,根据x=t
在匀加速阶段有x=t
在匀变速阶段有-x=t
联立解得v2=2v1
根据a=,有a1=,a2=
故a2=3a1
随堂巩固
1.C [解析] 动车组可看成做匀变速直线运动,设这两节车厢经过该工作人员的初速度为v0 ,加速度为a,由位移公式x=v0t+at2 ,对两节车厢,有60 m=v0×(5 s+4 s)+a×(5 s+4 s)2 ,对第1节车厢,有30 m=v0×5 s+a×(5 s)2 ,联立解得a=0.33 m/s2,选项C正确.
2.C [解析] 根据匀变速直线运动的速度—位移关系式v2-=2ax,有xAB=,xAC=,所以AB∶AC=1∶4,则AB∶BC=1∶3,故C正确.
3.C [解析] 将关系式x=16t-2t2(m)对比匀变速直线运动的位移—时间关系式x=v0t+at2,可得v0=16 m/s,a=-4 m/s2,采取逆向思维,汽车在停止运动前最后1 s内的位移x=|a|t2=×4×12 m=2 m,停止运动前最后1 s内的平均速度== m/s=2 m/s,故C正确.习题课:匀变速直线运动规律的综合应用
学习任务一 匀变速直线运动公式的灵活选取
[科学思维]
对比匀变速直线运动的公式:
1.时间t、位移x、初速度v0、末速度v、加速度a是描述运动的几个重要物理量,在匀变速直线运动中,同一过程,五个量已知三个量,就能求出其余两个量.以下这六个公式是最常用的.
关系式 一般形式 v0=0时 切入点
速度与时间关系 v=v0+at v=at 不涉及位移
位移与时间关系 x=v0t+at2 x=at2 不涉及末速度
位移与速度关系 v2-=2ax v2=2ax 不涉及时间
位移与平均速度关系 x=(v0+v)t x=vt 不涉及加速度
平均速度公式 == == 中间时刻速度等于平均速度
相邻相等时间内位移差与加速度关系 Δx =aT2 相邻相等时间内时间内位移差求加速度
2.公式的选用原则
(1)能用推导公式求解的物理量,用基本公式肯定可以求解,但有些问题往往用推导公式更方便些.
(2)这六个公式适用于匀变速直线运动,不仅适用于单方向的匀加速或匀减速(末速度为零)直线运动,也适用于先做匀减速直线运动再反方向做匀加速直线运动而整个过程是匀变速直线运动的运动.
(3)使用公式时注意矢量(v0、v、a、x)的方向,通常选v0的方向为正方向,与之相反的方向为负方向.
例1 质点由静止从A点出发沿直线AB运动,行程的第一阶段是加速度大小为a1的匀加速运动,接着做加速度大小为a2的匀减速运动,到达B点时恰好速度减为零.若AB间总长度为s,则质点从A到B所用时间t为( )
A. B.
C. D.
变式1 一物体从固定斜面上某点由静止开始沿斜面做匀加速直线运动,经过3 s后到达斜面底端,并在水平地面上做匀减速直线运动,又经过9 s停止,已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变,则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是( )
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.3∶1
学习任务二 两类特殊的匀减速直线运动
[模型建构] 两类特殊的匀减速直线运动
1.刹车类
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动且运动过程不可逆,当速度减小到零时,车辆就会停止.解答此类问题的思路是:
(1)先求出它们从刹车到静止的刹车时间t刹=.
(2)比较所给时间与刹车时间的关系以确定运动时间,最后利用运动学公式求解.若t>t刹,则不能盲目把时间代入,若t(3)如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动,可把该阶段看成反向的初速度为零的匀加速直线运动.
2.双向运动类
如沿光滑斜面上滑的小球,到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑,全过程加速度大小、方向均不变,求解时可对全过程列式,但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义.
例2 汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶,刹车后经2 s速度变为6 m/s,规定汽车初速度方向为正方向,求汽车:
(1)刹车过程中的加速度;
(2)刹车后2 s内前进的距离;
(3)刹车后8 s内前进的距离;
(4)刹车后前进9 m所用的时间;
(5)停止前最后1 s通过的位移.
例3 (多选)一物体以20 m/s的初速度沿较长的光滑斜面斜向上做加速度大小为5 m/s2的匀减速运动,运动到最高点后向下做加速度不变的匀加速运动,规定沿斜面向上为正方向,则它的位移为37.5 m时所用的时间为( )
A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s
学习任务三 直线运动中多过程运动的问题
[科学思维] 求解多阶段运动问题的“三步走”
例4 [2023·广西桂林中学月考] 在某次火灾逃生演练现场,逃生者从离地面18 m高处利用缓降器材沿竖直方向由静止开始匀加速下降,当速度达到6 m/s时,以大小为2.5 m/s2的加速度匀减速下降,到达地面时速度恰好为零.求:
(1)加速下降过程的位移大小;
(2)到达地面所用的时间.
变式2 某质点由静止开始以加速度a1做匀加速直线运动,经时间t后立即以反方向的大小恒为a2的加速度做匀变速直线运动,又经时间t恰好回到出发点,求a1和a2的大小关系.
1.(匀变速直线运动公式的灵活选取)动车组是由几节自带动力的车厢(动车)和几节不带动力的车厢(拖车)编在一起组成的.一工作人员站在车外进行观测,发现某动车组连续两节车厢经过他的时间依次为5 s和4 s,若动车组可看成做匀变速直线运动,每节车厢的长度为30 m,则该动车组的加速度约为 ( )
A.0.17 m/s2 B.0.30 m/s2
C.0.33 m/s2 D.0.38 m/s2
2.(匀变速直线运动公式的灵活选取)如图所示,一小球从A点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运
动,若到达B点时速度为v,到达C点时速度为2v,则AB∶BC为 ( )
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
3.(匀减速刹车问题)汽车在水平地面上因故刹车,可以看作做匀减速直线运动,其位移与时间的关系式为x=16t-2t2(m),则它在停止运动前最后1 s内的平均速度为( )
A.6 m/s B.4 m/s
C.2 m/s D.1 m/s习题课:匀变速直线运动规律的综合应用
1.A [解析] 第3 s内的平均速度==3 m/s,故A正确;设物体加速度为a,第3 s内位移等于前3 s内位移减去前2 s内位移,a×(3 s)2-a×(2 s)2=3 m,解得a=1.2 m/s2,故B错误;前3 s内的位移是x3=×1.2×32 m=5.4 m,故C错误;3 s末的速度v3=at=1.2×3 m/s=3.6 m/s,故D错误.
2.B [解析] 物体运动全过程的平均速度==,A正确;时,物体的瞬时速度等于全程的平均速度,B错误;若末速度为v,则=,v=,物体运动到斜面中点的瞬时速度===,C正确;设物体加速度为a,到达斜面中点用时t',则L=at2,=·at'2,所以t'=t,D正确.
3.D [解析] 从列车车头过桥头开始,到车头过桥尾时,列车位移为L,到车尾过桥尾时,列车位移为2L,设列车车尾过桥尾时速度为v3,有-=2aL,-=4aL,联立解得v3=,选项D正确.
4.ACD [解析] 43.2 km/h=12 m/s,汽车速度减为零所需的时间t0== s=2 s,刹车后1 s末的速度v=v0+at=12 m/s-6×1 m/s=6 m/s,故A正确;刹车后3 s末的速度为零,故B错误;刹车后1 s内的位移x1=v0t+at2=12×1 m-×6×1 m=9 m,故C正确;刹车后3 s内的位移等于2 s内的位移,则x=t0=×2 m=12 m,故D正确.
5.AC [解析] 规定初速度的方向为正方向,由速度公式v=v0+at可得,1 s末的速度v1=16 m/s-8×1 m/s=8 m/s,3 s末的速度v3=16 m/s-8×3 m/s=-8 m/s,负号表示与初速度的方向相反,故A正确,B错误;由位移公式得沿斜面向上的最大位移xm==16 m,故C正确;返回出发点时位移为0,由=0,解得v=16 m/s,故D错误.
6.(1)4.2 m/s (2)31.25 m (3)10 s
[解析] (1)根据速度—时间关系式得刹车2 s后汽车的速度v=v0-at=4.2 m/s.
(2)刹车总时间Δt==12.5 s,所以20 s内滑行的距离就是12.5 s内汽车的位移,x=v0Δt=31.25 m.
(3)根据位移—时间关系式得x'=v0t'-at'2,解得t'=10 s(t'=15 s舍去).
7.B [解析] 汽车的刹车时间t0= s=4 s,故刹车后2 s及6 s内汽车的位移大小分别为x1=v0t1+a=20×2 m+×(-5)×22 m=30 m,x2=v0t0+a=20×4 m+×(-5)×42 m=40 m,所以x1∶x2=3∶4,B正确.
8.B [解析] 根据v=v0+at结合v=20-4t,得汽车的初速度v0=20 m/s,加速度a=-4 m/s2,A错误;汽车停止运动的时间t0== s=5 s,刹车后2 s内汽车的位移x1=v0t1+a=20×2 m-×4×22 m=32 m,刹车后1 s内汽车的位移x'1=v0t2+a=20×1 m-×4×12 m=18 m,刹车后第2 s内汽车的位移大小x=x1-x'1=14 m,B正确;汽车刹车5 s后静止,则刹车后6 s内位移等于5 s内位移,x2==50 m,C错误;刹车后6 s内汽车的平均速度== m/s,D错误.
9.D [解析] 物体在斜面上运动的时间t1=,在水平面上运动时间t2=,因a1=2a2,故物体在斜面上运动的时间为在水平面上运动时间的,故A错误;物体在斜面上运动的位移大小x1=,在水平面上运动的位移大小x2=,因a1=2a2,故物体在斜面上运动的位移大小是在水平面上运动位移大小的,故B错误;由匀变速直线运动的特点可知,无论物体在斜面上运动还是在水平面上运动平均速度都等于初、末速度的平均值,即=,故C错误;根据匀变速直线运动中间位置的速度v中==vB,即物体运动到D点的瞬时速率和运动到E点的瞬时速率相等,故D正确.
10.C [解析] 汽车减速时的加速度a1== m/s2=-6 m/s2,则汽车开始减速时与自动装置的距离x1=v0t1+a1=30×4 m+××42 m=72 m,选项A错误;汽车速度恢复到30 m/s需要加速的时间t2== s=6 s,选项B错误;汽车加速运动过程通过的距离x2=v1t2+a2=6×6 m+×4×62 m=108 m,则汽车从开始减速至速度恢复到30 m/s通过的总路程x=x1+x2=180 m,选项C正确;如果汽车以30 m/s的速度匀速通过这段180 m的路程,则所用时间为t== s=6 s,所以汽车由于通过自动收费装置而耽误的时间Δt=t1+t2-t=4 s+6 s-6 s=4 s,选项D错误.
11.BC [解析] 根据匀变速直线运动位移—速度关系可得-2aL=0-,解得滑块上滑的加速度大小为a=,B正确;设此时滑块B的速度大小为vB,则有-2a·=-,解得vB=v0,A错误;滑块A滑动的时间为tA==,滑块B滑动的时间为tB==,则有Δt=tA-tB=,可知滑块A上滑时间后,滑块B才开始上滑,滑块B上滑时间后,滑块C才开始上滑,故C正确,D错误.
12.(1)超速 (2)38.8 s
[解析] (1)设汽车到达限速标志时速度为v ,根据v2-=2ax
解得v=10 m/s
由于10 m/s>30 km/h,故汽车已经超速
(2)汽车速度减为8.2 m/s时的位移x1== m=36.3 m
经过的时间t1== s=3 s
匀速运动的位移x2=300 m+30 m-x1=293.7 m
匀速运动的时间t2== s=35.8 s
所以汽车从开始刹车到离开限速区域的时间t=t1+t2=38.8 s
13.(1)22.5 m (2)8 s
[解析] (1)设以最大加速度加速下滑的时间为t1,由匀变速直线运动规律得
v=at1
x1=a
解得t1=3 s,x1=22.5 m.
(2)逃生者要想最短时间从31楼到地面,应先以最大加速度做加速运动,后做匀速运动,最后以最大加速度做减速运动.
在匀减速阶段,所需时间为t2==3 s
通过的位移为x2= =22.5 m
所以在匀速阶段所需时间为t3==2 s
总时间为t=t1+t2+t3=8 s.习题课:匀变速直线运动规律的综合应用
◆ 知识点一 匀变速直线运动公式的灵活选取
1.[2023·广西桂林中学月考] 物体从静止开始做匀加速直线运动,第3 s内通过的位移是3 m,则( )
A.第3 s内的平均速度是3 m/s
B.物体的加速度是0.4 m/s2
C.前3 s内的位移是6 m
D.3 s末的速度是4 m/s
2.光滑斜面的长度为L,一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端,经历的时间为t,则下列说法不正确的是( )
A.物体运动全过程中的平均速度是
B.物体在时的瞬时速度是
C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D.物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是
3.有一列长为L的列车正以恒定的加速度通过铁路桥,桥长也为L.已知列车车头过桥头时的速度为v1,车头过桥尾时的速度为v2,则车尾过桥尾时的速度为( )
A.2v1-v2 B.2v2-v1
C. D.
◆ 知识点二 两类特殊的匀减速直线运动
4.(多选)某汽车在平直公路上以43.2 km/h的速度匀速行驶,现因前方发生紧急事件而刹车,加速度大小为6 m/s2,则下列说法中正确的是( )
A.刹车后1 s末的速度为6 m/s
B.刹车后3 s末的速度为-6 m/s
C.刹车后1 s内的位移为9 m
D.刹车后3 s内的位移为12 m
5.(多选)一个物体以v0=16 m/s的初速度冲上一光滑斜面,加速度大小为8 m/s2,到达最高点之后,又以相同的加速度往回运动,则( )
A.1 s末的速度大小为8 m/s
B.3 s末的速度为零
C.沿斜面向上的最大位移是16 m
D.返回出发点时的速度大小是8 m/s
6.汽车刹车前的速度为5 m/s,刹车获得的加速度大小为0.4 m/s2,求:
(1)刹车2 s后汽车的速度大小;
(2)刹车开始后20 s内汽车滑行的距离;
(3)从开始刹车到汽车位移为30 m所经历的时间.
7.一汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶,突然发现前方有障碍物,立即刹车,汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动,那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为( )
A.1∶1 B.3∶4
C.3∶1 D.4∶3
8.[2023·河北正定中学月考] 在平直公路上行驶的汽车因前方突发险情,司机采取紧急刹车,刹车后汽车的速度与时间的关系式为v=20-4t(v单位为m/s,t单位为s).下列说法正确的是( )
A.汽车刹车的加速度大小为2 m/s2
B.刹车后第2 s内汽车的位移大小为14 m
C.刹车后6 s内汽车的位移大小为48 m
D.刹车后6 s内汽车的平均速度为10 m/s
9.[2023·浙江效实中学月考] 如图所示,物体沿着斜面从A点由静止匀加速运动到B点,然后沿着水平面匀减速运动到C点停止,已知物体在斜面上运动的加速度大小为水平面上运动加速度大小的2倍,D点为AB的中点,E点为BC的中点,则( )
A.物体在斜面上运动的时间是在水平面上运动时间的2倍
B.物体在斜面上运动的位移大小是在水平面上运动位移大小的2倍
C.物体在斜面上运动的平均速度是在水平面上运动平均速度的2倍
D.物体运动到D点的瞬时速率和运动到E点的瞬时速率相等
10.[2023·浙江杭州期中] 我国ETC(电子不停车收费系统)已实现全国联网,大大缩短了车辆通过收费站的时间.若一辆汽车以30 m/s的速度驶向高速收费口,到达自动收费装置前做匀减速直线运动,经4 s后速度减为6 m/s,此时刚好到达收费装置且收费完成,司机立即以4 m/s2的加速度做匀加速直线运动,直至速度恢复到30 m/s.汽车可视为质点,不计收费时间.下列说法正确的是( )
A.汽车开始减速时距离自动收费装置120 m
B.汽车加速7.5 s后速度恢复到30 m/s
C.汽车从开始减速至速度恢复到30 m/s通过的总路程为180 m
D.汽车由于通过自动收费装置而耽误的时间为3 s
11.(多选)[2023·安徽太和中学月考] 如图所示,滑块A、B、C先后以相同的速度v0从斜面底端冲上斜面,当滑块A到达斜面顶端时速度恰好为零,此时滑块B正处于斜面中点,滑块C刚好从斜面底端出发.已知斜面长度为L,三个滑块上滑过程中均做匀减速直线运动且加速度大小相等.下列说法正确的是( )
A.此时滑块B的速度大小为
B.滑块上滑的加速度大小为
C.滑块A上滑时间后,滑块B才开始上滑
D.滑块B上滑时间后,滑块C才开始上滑
12.[2023·山东济南一中月考] 为保障学生交通安全,在距校门中心两侧150米处均设置“30”(30 km/h)的限速标志.一辆汽车以16 m/s的速度匀速驶向校门,当距离限速标志30 m时驾驶员看到该标志,他立即以2.6 m/s2的加速度刹车,速度减为8.2 m/s后保持这一速度通过限速区域.
(1)通过计算说明汽车到达限速标志处时是否超速;
(2)汽车从开始刹车经多长时间离开限速区域 (结果保留三位有效数字)
13.如图甲所示是高层建筑配备的救生缓降器材.遇到突发情况时,逃生者可以将安全带系于腰部,通过钢丝绳而安全着陆,如图乙所示.一幢高层商住楼的层高均为2.5 m,某次演练中,逃生者从31楼由静止开始下滑,到达地面时速度恰好为零.该楼房所装救生缓降器材运行速度的最大值为15 m/s,变速运动过程的加速度大小不超过5 m/s2.不计空气阻力.求:
(1) 逃生者由静止以最大加速度加速下滑的位移x1;
(2) 逃生者从31楼到地面的最短时间.
