专题课:匀变速直线运动规律的重要推论
[科学推理] (4)可以用图像法和公式法两种方法证明.
证明一(图像法):在v-t图像中,图线与时间轴围成的图形面积表示位移,初速度为v0、末速度为v的匀变速直线运动对应的是一个梯形,这段运动的中间时刻的瞬时速度为此梯形中位线的长度,在此图形中加一条垂直于时间轴的线段将此图形分成两块面积相等的部分,则此条线段表示这段运动的中间位移的瞬时速度,由图像可以看出,这条线段的长度大于梯形的中位线,即匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
证明二(公式法):由上面三问可知,中间时刻的瞬时速度=,中间位移的瞬时速度=,根据不等式关系可知=>=,即匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
例1 (1)5 m/s (2)8 m/s (3)5 m/s
[解析] (1)根据平均速度公式,4 s内的平均速度== m/s=5 m/s.
(2)因为=,则4 s末的速度v4=8 m/s.
(3)2 s末为这段时间的中间时刻,故v2==5 m/s.
变式1 BC [解析] 根据2a·=-(3v)2、2a·=(9v)2-,可得经过AB中点的速度为==3v,故A错误;经过AB中间时刻的速度是==6v,故B正确;前时间通过的位移比后时间通过的位移少Δx=×-×=1.5vt,故C正确;A、B间的距离为xAB=t=6vt,故D错误.
[科学推理] (1)证明:设物体的初速度为v0,从计时起,T时间内的位移x1=v0T+aT2,第2个T时间内的位移x2=v0·2T+a(2T)2-x1=v0T+aT2,第n个T时间内的位移xn=v0·nT+a(nT)2-xn-1=v0T+aT2,连续相等时间内的位移差为Δx=xn-xn-1=v0T+aT2-v0T-aT2=aT2,即Δx=aT2.
例2 C [解析] 由于小球做匀加速直线运动,根据相邻相等时间内的位移差相等可知,xBC-xAB=aT2,故小球的加速度a== m/s2=4 m/s2,选项A错误;因为小球是从O点由静止释放的,所以小球在O点的速度才是0,小球在A点的速度不为0,选项B错误;由于O到斜面底端的长度为l=35 cm,所以小球从O点由静止释放滚到最下端所用的时间为t== s≈0.42 s,而两个小球释放的时间间隔是0.1 s,故斜面上最多同时有5个小球在滚动,选项C正确;因为小球在B点的瞬时速度为vB== m/s=0.6 m/s,故小球由静止释放后运动到B点的时间为tB== s=0.15 s,运动到C点的时间为tC=tB+0.1 s=0.25 s,选项D错误.
变式2 2.25 m/s2 1.5 m/s
[解析] 由公式Δx=aT2,解得a=== m/s2=2.25 m/s2
这8 s中间时刻的速度v== m/s=10.5 m/s
由v=v0+at,解得v0=1.5 m/s.
[科学推理] (1)1∶2∶3∶…∶n (2)12∶22∶32∶…∶n2
(3)1∶3∶5∶…∶(2n-1) (4)1∶∶∶…∶
(5)1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)
例3 (1)1∶2∶3 (2)1∶4∶9 (3)1∶3∶5
(4)1∶(-1)∶(-)
[解析] (1)汽车的初速度为0,由速度公式v=at可知,1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3=1∶2∶3.
(2)由x=at2可知,1 s内、2 s内、3 s内的位移之比x1∶x2∶x3=1∶22∶32=1∶4∶9.
(3)第1 s内的位移xⅠ=a×12
第2 s内的位移xⅡ=a×22-a×12=a×3
第3 s内的位移xⅢ=a×32-a×22=a×5
故第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ=1∶3∶5.
(4)由位移公式x=at2可知
第1个x位移所用的时间为tⅠ=
前2x位移所用的时间为t2=
故第2个x位移所用的时间为tⅡ=t2-tⅠ=(-1)
同理,第3个x位移所用的时间为tⅢ=(-)
所以tⅠ∶tⅡ∶tⅢ=1∶(-1)∶(-).
变式3 ABC [解析] 根据x=at2,解得t=,Oa、Ob、Oc、Od的长度之比为1∶2∶3∶4,所以质点由O到达各点的时间之比为1∶∶∶2,故A正确.根据v2=2ax,解得v=,Oa、Ob、Oc、Od的长度之比为1∶2∶3∶4,所以质点通过各点的速率之比va∶vb∶vc∶vd=1∶∶∶2,故B正确;由静止开始通过连续相等的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶(-1)∶(-)∶(2-)∶…∶(-),故C正确;初速度为0的匀加速直线运动中,在最初两段相等的时间内通过的位移之比为1∶3,可知a点对应Od的中间时刻,某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,则==va素养提升
示例 (1)6 7 (2)1.00 1.20 (3)2.00
[解析] (1)从纸带上的数据分析得知:在计数点6之前,两点之间的位移等差增大,是加速运动,在计数点7之后,两点之间的位移等差减小,是减速运动,所以物块在两相邻计数点6和7之间某时刻开始减速.
(2)根据平均速度等于中间时刻的速度,则有v5== m/s=1.00 m/s,而a== m/s2=2.01 m/s2,则v6=v5+aT=1.00 m/s+2.01×0.1 m/s≈1.20 m/s.
(3)由纸带可知,从计数点7往后做减速运动,根据逐差法得a'= m/s2=-2.00 m/s2,所以物块减速运动过程中的加速度大小为2.00 m/s2.
变式4 0.26 0.4
[解析] 由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动,根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度,可知vB== m/s=0.26 m/s,根据匀变速直线运动的推论Δx=aT2,可知加速度a==×10-3 m/s2=0.4 m/s2.
随堂巩固
1.B [解析] 战机在起飞前做匀加速直线运动,有x=t=t=,选项B正确.
2.A [解析] 设物体到达斜面底端时的速度为v2,到达斜面中点时的速度为v1,根据速度与位移关系式得,=2a·,=2a·x,联立解得v2≈2.82 m/s,选项A正确.
3.C [解析] 用逆向思维分析,子弹的匀减速直线运动是初速度为零的匀加速直线运动的逆运动.由于子弹穿过每个木块所用时间相等,则d1∶d2∶d3=5∶3∶1,故C正确.
4.BD [解析] 由Δx=aT2,可得a== m/s2=0.5 m/s2,由于x3-x2=x4-x3,所以第2 s内的位移x2=1.5 m,故A、C错误,D正确;v3==2.25 m/s,故B正确.
5.(1)0.17 (2)0.50
[解析] (1)打计数点2时纸带的速度大小v2===0.17 m/s.
(2)物体的加速度大小a==0.50 m/s2.专题课:匀变速直线运动规律的重要推论
学习任务一 匀变速直线运动的中间时刻速度与中间位移速度
[科学推理] 一物体做匀变速直线运动,初速度为v0,经过一段时间,末速度为v.
(1)v-t图像如图所示.因为v-t图像与横坐标轴所围面积表示位移,所以t时间内物体的位移可表示为x=·t,平均速度=,联立可得=.
(2)由图像可知,中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度,即=.
(3)用公式表示出匀变速直线运动的中间位移的瞬时速度为=.
(4)试证明:匀变速直线运动条件下,中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
例1 一质点做匀变速直线运动,初速度v0=2 m/s,4 s内的位移为20 m,求:
(1)质点在4 s内的平均速度大小;
(2)质点在4 s末的速度大小;
(3)质点在2 s末的速度大小.
变式1 (多选)一个做匀加速直线运动的物体,先后经过A、B两点时的速度分别是3v和9v,经过AB的时间是t,则下列判断中正确的是( )
A.经过AB中点的速度是6v
B.经过AB中间时刻的速度是6v
C.前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt
D.A、B间的距离为12vt
【要点总结】
1.关于平均速度的计算
(1)=适用于所有运动.
(2)在匀变速直线运动条件下,==.
2.匀变速直线运动的中间位移的速度=.
学习任务二 匀变速直线运动的位移差公式Δx=aT2
[科学推理] 位移差公式Δx=aT2
物体做匀变速直线运动,加速度为a,从某时刻起T时间内的位移为 x1,紧接着第2个T时间内的位移为x2 ,…,第n个T时间内的位移为xn.
(1)试证明:Δx=xn-xn-1=aT2.
(2) 进一步地推论出xm-xn=(m-n)aT2 (其中T为连续相等的时间间隔,xm 为第m个时间间隔内的位移,xn 为第n个时间间隔内的位移).
(3)Δx=aT2的应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx=x2-x1=x3-x2 =…=xn -xn-1=aT2 成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动.
②求加速度
利用Δx=aT2,可求得a= .
例2 [2023·浙江镇海中学月考] 从固定斜面上的O点每隔0.1 s由静止释放一个同样的小球,释放后小球做匀加速直线运动.某一时刻,拍下小球在斜面上滚动的照片如图所示.测得小球相邻位置间的距离xAB=4 cm,xBC=8 cm.已知O点到斜面底端的长度为l=35 cm.由以上数据可以得出( )
A.小球的加速度大小为12 m/s2
B.小球在A点的速度为0
C.斜面上最多同时有5个小球在滚动
D.该照片是距第一个小球释放后0.3 s拍摄的
变式2 一个做匀加速直线运动的物体在前4 s内经过的位移为24 m,在第2个4 s内经过的位移是60 m,则这个物体的加速度和初速度各是多大
学习任务三 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
[科学推理] 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
(1)由v=at可得出,在T时刻、2T时刻、3T时刻、…、nT时刻的速度之比为 .
(2)由x=at2可得出,在T时间内、2T时间内、3T时间内、…、nT时间内的位移之比为 .
(3)在第1个T时间内、第2个T时间内、第3个T时间内、…、第n个T时间内的位移之比为 .
(4)由x=at2得t=,故通过x位移、2x位移、3x位移、…、nx位移所用的时间之比为 .
(5)通过第1个x位移、第2个x位移、第3个x位移、…、第n个x位移所用的时间之比为 .
例3 飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看作从零开始的匀加速直线运动.若一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动,求汽车:
(1)1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比;
(2)1 s内、2 s内、3 s内的位移之比;
(3)第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比;
(4)由静止开始经过第1个x位移、第2个x位移、第3个x位移所用的时间之比.
变式3 (多选)[2023·四川雅安中学期中] 如图所示,光滑斜面上的四段距离相等,质点从O点由静止开始下滑,做匀加速直线运动,先后通过a、b、c、d四点,下列说法正确的是( )
A.质点由O到达各点的时间之比ta∶tb∶tc∶td=1∶∶∶2
B.质点通过各点时的速率之比va∶vb∶vc∶vd=1∶∶∶2
C.质点依次通过各段距离的时间之比为1∶(-1)∶(-)∶(2-)
D.质点在斜面上运动的平均速度=vb
研究匀变速直线运动纸带的数据处理方法
如图所示,从打下的纸带中选取点迹清晰的纸带,舍掉开始比较密集的点迹,从便于测量的位置取一个开始点A,然后每5个点(或每隔4个点)取一个计数点,分别记为B、C、D、E、F…这样每两个计数点之间的时间间隔为T=0.1 s(打点频率为50 Hz),计算比较方便.
(1)从纸带上读取长度的方法
利用毫米刻度尺测出各点到A点的距离,算出相邻计数点间的距离x1、x2、x3、x4、x5…由于毫米刻度尺的分度值是1 mm,所以读数时必须估读到0.1 mm.
(2)用瞬时速度与平均速度的关系求瞬时速度,用Δx=aT2或v-t图像求加速度.
用逐差法求加速度:一般取6段(偶数段)位移,根据x4-x1=3a1T2,x5-x2=3a2T2,x6-x3=3a3T2,分别求出a1=、a2=、a3=,再取它们的平均值a=(a1+a2+a3)作为物体运动的加速度的测量值,则a=.
示例 某同学利用如图甲所示的实验装置探究物块在水平桌面上的运动规律.物块在重物的牵引下开始运动,重物落地后,物块再运动一段距离停在桌面上(尚未到达滑轮处).从纸带上便于测量的点开始,每5个点取1个计数点,相邻计数点间的距离如图乙所示.打点计时器电源的频率为50 Hz.
(1)通过分析纸带数据,可判断物块在两相邻计数点 和 之间某时刻开始减速.
(2)计数点5对应的速度大小为 m/s,计数点6对应的速度大小为 m/s.(保留三位有效数字)
(3)物块减速运动过程中的加速度大小为 m/s2.(保留三位有效数字)
变式4 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中,打点计时器打出的一条纸带如图所示,A、B、C、D、E是在纸带上所选的计数点,相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s,各计数点与A计数点间的距离在图中已标出.则在打B点时,小车的速度为 m/s,并可求得小车的加速度大小为 m/s2.
1.(平均速度与中间时刻的瞬时速度)某战机起飞前由静止开始做匀加速直线运动,达到起飞速度v所需时间为t,则起飞前的运动距离为( )
A.vt B.
C.2vt D.不能确定
2.(中间位移的瞬时速度)一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑,经过斜面中点时速度为2 m/s,则物体到达斜面底端时的速度为 ( )
A.2.82 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.22 m/s
3.(初速度为零的匀加速直线运动的比例关系) 三个木块并排固定在水平面上,一子弹以速度v水平射入,若子弹在木块中做匀减速直线运动,则穿过第三个木块时速度刚好减小到零,且穿过每个木块所用时间相等,则第一、二、三个木块厚度之比为 ( )
A.1∶3∶5 B.3∶2∶1
C.5∶3∶1 D.4∶2∶1
4.(平均速度和位移差公式的应用)(多选)一质点做匀加速直线运动,第3 s内的位移是2 m,第4 s内的位移是2.5 m,则以下说法正确的是( )
A.第2 s内的位移是2.5 m
B.第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C.质点的加速度是0.125 m/s2
D.质点的加速度是0.5 m/s2
5.(逐差法应用)如图所示是某同学测量做匀变速直线运动物体的瞬时速度时得到的一条纸带(实验中交流电源的频率为50 Hz),依照打点的先后顺序取计数点1、2、3、4、5、6、7,相邻两计数点间均有4个打点未画出,测得x1=1.42 cm,x2=1.91 cm,x3=2.40 cm,x4=2.91 cm,x5=3.43 cm,x6=3.92 cm.
(1)打计数点2时纸带的速度大小v2= m/s(结果保留两位有效数字).
(2)物体的加速度大小a= m/s2(结果保留两位有效数字). 专题课:匀变速直线运动规律的重要推论
1.B [解析] 由=和x=t得t=,选项B正确.
2.D [解析] 设质点经过B点时的速度为v,tBC=t,则加速度大小a1=,a2=,故a1∶a2=1∶2,选项A错误;平均速度大小==,==,故∶=1∶1,选项C错误,D正确.位移大小x1=2t,x2=t,故x1∶x2=2∶1,选项B错误.
3.B [解析] 根据匀加速直线运动规律,连续相等的时间间隔T内物体的位移之差Δx=aT2,则x3-x2=x2-x1,解得x1=2x2-x3=2×10 m-14 m=6 m,选项B正确.
4.C [解析] 根据Δx=aT2可得a== m/s2=-4 m/s2,则电车加速度大小为4 m/s2,方向与电车运动方向相反.
5.(1)0.1 (2)0.96 2.4
[解析] (1)相邻两个计数点之间还有四个打点,因此相邻两个计数点间的时间间隔为0.1 s.
(2)根据匀变速直线运动中中间时刻的速度大小等于该过程中的平均速度大小,有vC==×10-2 m/s=0.96 m/s;由题意可知x1=3.60 cm,x2=(9.61-3.60) cm=6.01 cm,x3=(18.01-9.61) cm=8.40 cm,x4=(28.81-18.01) cm=10.80 cm,因此根据匀变速直线运动推论Δx=aT2,解得a==2.4 m/s2.
6.C [解析] 质点在第1 s内、第2 s内、第3 s内、…位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…=1∶3∶5∶…,则第1 s内与第4 s内位移之比为xⅠ∶xⅣ=1∶7,故xⅠ=×14 m=2 m,质点在前1 s内、前2 s内、前3 s内、…位移之比为x1∶x2∶x3∶…=12∶22∶32∶…,由=,解得t=6 s,即质点通过前72 m的位移所用的时间为6 s,故C正确.
7.C [解析] 方法1(逆向思维法):刹车过程是初速度为零的匀加速直线运动的逆运动,根据x=at2,逆运动第1 s、第2 s、第3 s、第4 s、第5 s内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9,即第4 s、第5 s内位移之比与本题吻合,所以刹车过程用时5 s,刹车位移为(1+3+5+7+9) m=25 m,选项C正确.
方法2(逐差法):由Δx=aT2得,7 m-9 m=a×(1 s)2,解得a=-2 m/s2,由x1=v0T+aT2=9 m,解得v0=10 m/s,汽车刹车时间t==5 s<6 s,故刹车后6 s内的位移为x==25 m,选项C正确.
8.C [解析] 根据初速度为零的匀加速直线运动相邻相等位移的时间之比为1∶(-1)∶(-)∶(2-)……可知=,故tcd=(-)t,故选项C正确.
9.B [解析] 利用逆向思维,把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,则相等时间内的位移之比为7∶5∶3∶1,由=,解得x1=2 m,故B正确.
10.C [解析] 子弹的末速度为0,把正方向的匀减速运动看成反方向的加速度不变的匀加速运动,则在相等时间内的位移比为1∶3∶5,故子弹在三个木块中的运动时间相等,则由v=at,可得子弹射出木块A时的速度与子弹的初速度之比为2∶3,故子弹射出木块A时的速度为200 m/s,故A、B错误,C正确;根据=,子弹在木块A中的平均速度是子弹在木块C中平均速度的5倍,故D错误.
11.A [解析] 因为从静止开始做匀加速直线运动,在第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n-1),所以质点在第1个3 s内、第2个3 s内和第4个3 s内位移之比为1∶3∶7.
12.(1)0.16 m/s2 (2)7.2 m/s
[解析] (1)由题知,火车做匀减速直线运动,设火车的加速度大小为a,每节车厢长为L=8 m,相等的时间间隔T=10 s
由Δx=aT2,即8L-6L=aT2
解得a=0.16 m/s2.
(2)设人开始观察时火车速度大小为v0,第一个10 s末的速度===5.6 m/s
由=v0-aT
解得v0=7.2 m/s.
*13.C [解析] 由题意知ac=ab+bc=5 m,cd=bd-bc=3 m,根据Δx=aT2,解得加速度a=-2 m/s2,根据平均速度推论知vc==4 m/s,根据-=2a·bc,解得vb= m/s,故A、B正确;根据0-=2a·ce,解得ce=4 m,则de=ce-cd=1 m,故C错误;采用逆向思维,有de=(-a)t'2,解得从d到e所用的时间t'=1 s,故D正确.
*14.(1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m (4)2个
[解析] 释放小球后,小球都做匀加速直线运动,相邻两球释放的时间间隔均为T=0.1 s,可以认为A、B、C、D各球是一个小球在不同时刻的位置.
(1)由Δx=aT2可知,小球的加速度a==5 m/s2.
(2)拍摄时B球的速度等于AC段的平均速度,即vB==1.75 m/s.
(3)由于相邻相等时间内的位移差恒定,即xCD-xBC=xBC-xAB
解得xCD=0.25 m.
(4)设拍摄时A球的速度为vA,由vB=vA+aT,
解得vA=1.25 m/s
A球运动的时间tA==0.25 s
则在A球上方正在滚动的小球还有2个.专题课:匀变速直线运动规律的重要推论建议用时:40分钟
◆ 知识点一 匀变速直线运动的中间时刻速度
1.一颗子弹以大小为v的速度射进一墙壁但未穿出,射入深度为x,如果子弹在墙内穿行时做匀变速直线运动,则子弹在墙内运动的时间为( )
A. B. C. D.
2.[2023·广东深圳中学月考] 一质点由静止开始先从A点做匀加速直线运动到B点,然后从B点做匀减速直线运动到C点时速度刚好为零.若已知tAB=2tBC,那么质点在AB段和BC段的( )
A.加速度大小之比为2∶1
B.位移大小之比为1∶2
C.平均速度大小之比为2∶1
D.平均速度大小之比为1∶1
◆ 知识点二 匀变速直线运动的位移差公式
3.一质点做匀加速直线运动,依次经过O、A、B、C四点,A、B间的距离为10 m,B、C间的距离为14 m,已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等,则O与A的距离为( )
A.8 m B.6 m C.4 m D.2 m
4.[2023·四川彭州中学月考] 若有轨电车进站的过程可近似看作匀减速直线运动,电车车头依次经过A、B、C三个位置,已知AB段长度为5 m,BC段长度为4 m,且通过AB段和BC段所用时间均为0.5 s,则电车加速度大小为( )
A.7 m/s2 B.8 m/s2 C.4 m/s2 D.11 m/s2
◆ 知识点三 用逐差法求加速度
5.实验课上,同学们利用打点计时器等器材研究小车做匀变速直线运动的规律.其中一小组的同学从所打的几条纸带中选取了一条点迹清晰的纸带,如图所示.图中O、A、B、C、D是按打点先后顺序依次选取的计数点,每两个相邻计数点间还有四个打点没有画出.(电源频率为50 Hz)
(1)打出的纸带中,相邻两个计数点间的时间间隔为 s.
(2)由图中的数据可知,打点计时器打下C点时小车运动的速度大小是 m/s,小车运动的加速度大小是 m/s2.(结果均保留两位有效数字)
◆ 知识点四 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
6.一个质点从静止开始做匀加速直线运动,已知它在第4 s内的位移是14 m,则它通过前72 m所用的时间为( )
A.12 s B.3 s C.6 s D.4 s
7.[2023·河南郑州一中月考] 一辆公共汽车进站后开始刹车,做匀减速直线运动.汽车开始刹车后第1 s内和第2 s内的位移大小依次为9 m和7 m,则刹车后6 s内的位移是( )
A.20 m B.24 m C.25 m D.75 m
8.[2023·河北辛集中学月考] 如图甲所示是钱塘江大桥,乙图中a、b、c、d、e是五个连续等间距的桥墩,若一汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动,通过ab段的时间为t,则通过cd段的时间为( )
甲
乙
A.t B.(-1)t
C.(-)t D.(2-)t
9.做匀减速直线运动的物体经4 s停止运动,若第1 s内的位移是14 m,则最后1 s内的位移是( )
A.3.5 m B.2 m C.1 m D.0
10.[2023·浙江学军中学月考] 如图所示,木块A、B、C并排固定在水平地面上,三木块的厚度比为5∶3∶1,子弹以300 m/s的水平速度射入木块A,子弹在木块中运动时加速度恒定,子弹可视为质点且刚好射穿木块C.下列说法正确的是( )
A.子弹刚好射出木块A时的速度为100 m/s
B.子弹在木块A中的运动时间大于在木块B中的运动时间
C.子弹在木块B和C中的运动时间相等
D.子弹在木块A中的平均速度是在木块C中平均速度的2倍
11.[2023·江苏扬州中学月考] 质点从静止开始做匀加速直线运动,在第1个3 s内、第2个3 s内和第4个3 s内位移之比为( )
A.1∶3∶7 B.1∶4∶6
C.1∶2∶3 D.1∶3∶9
12.一列火车在长直的铁轨上匀变速行驶,一人在轨道旁边观察火车运动,发现在相邻的两个10 s内,火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢.已知每节车厢长8 m(连接处长度不计),求:
(1)火车的加速度大小;
(2)人开始观察时火车的速度大小.
*13.[2023·广东广雅中学月考] 如图所示,小球沿足够长的斜面向上做匀变速直线运动,依次经a、b、c、d到达最高点e,已知ab=bd=4 m,bc=1 m,小球从a到c和从c到d所用的时间都是1 s,设小球经b、c时的速度分别为vb、vc,则下列说法错误的是( )
A.vb= m/s
B.vc=4 m/s
C.de=2 m
D.从d到e所用的时间为1 s
*14.[2023·江西九江一中月考] 从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个小球,小球以相同的加速度做匀加速直线运动,在连续释放几个小球后,对在斜面上滚动的小球拍下照片,如图所示,测得xAB=15 cm,xBC=20 cm,试求:
(1)小球的加速度大小;
(2)拍摄时B球的速度大小;
(3)拍摄时C、D两小球之间的距离xCD;
(4)拍摄时在A球上方滚动的小球的个数.(共77张PPT)
专题课：匀变速直线运动规律的重要推论
◆ 导学案
学习任务一 匀变速直线运动的中间时刻速度与中间位移速度
学习任务二 匀变速直线运动的位移差公式Δ = 2
学习任务三 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
素养提升
备用习题
随堂巩固
◆ 练习册
学习任务一 匀变速直线运动的中间时刻速度与中间位移速度
［科学推理］ 一物体做匀变速直线运动,初速度为,经过一段时间,末速度为.
(1)图像如图所示.因为图像与横坐标轴所围面积表示位移,所以时间内物体的位移可表示为,平均速度,联立可得.
(2)由图像可知,中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度,即.
(3)用公式表示出匀变速直线运动的中间位移的瞬时速度为.
(4)试证明：匀变速直线运动条件下,中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
[答案] 可以用图像法和公式法两种方法证明.
证明一(图像法)在图像中，图线与时间轴围成的图形面积表示位移，初速度为、末速度为的匀变速直线运动对应的是一个梯形，这段运动的中间时刻的瞬时速度为此梯形中位线的长度，在此图形中加一条垂直于时间轴的线段将此图形分成两块面积相等的
部分，则此条线段表示这段运动的中间位移的瞬时速度，由图像可以看出，这条线段的长度大于梯形的中位线，即匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
证明二(公式法)由上面三问可知，中间时刻的瞬时速度，中间位移的瞬时速度，根据不等式关系可知，即匀变速直线运动的中间时刻的瞬时速度小于中间位移的瞬时速度.
例1 一质点做匀变速直线运动，初速度,内的位移为，求：
(1) 质点在内的平均速度大小；
[答案]
[解析] 根据平均速度公式，内的平均速度.
(2) 质点在末的速度大小；
[答案]
[解析] 因为，则末的速度.
(3) 质点在末的速度大小.
[答案]
[解析] 末为这段时间的中间时刻，故.
变式1 (多选)一个做匀加速直线运动的物体，先后经过、两点时的速度分别是和，经过的时间是，则下列判断中正确的是( )
BC
A.经过中点的速度是
B.经过中间时刻的速度是
C.前时间通过的位移比后时间通过的位移少
D.、间的距离为
[解析] 根据、，可得经过A、B，故A错误；
经过 A、B 中间时刻的速度是,故B正确；
前时间通过的位移比后时间通过的位移少，故C正确；
A、B间的距离为，故D错误.
【要点总结】
1.关于平均速度的计算
(1)适用于所有运动.
(2)在匀变速直线运动条件下,.
2.匀变速直线运动的中间位移的速度.
学习任务二 匀变速直线运动的位移差公式
［科学推理］ 位移差公式
物体做匀变速直线运动，加速度为，从某时刻起时间内的位移为，紧接着第2个时间内的位移为 ， ，第个时间内的位移为.
(1)试证明：.
(2) 进一步地推论出 (其中为连续相等的时间间隔，为第个时间间隔内的位移，为第个时间间隔内的位移)．
(3)的应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果成立，则为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
②求加速度
利用，可求得 .
证明：设物体的初速度为，从计时起，时间内的位移,第2个时间内的位移，第个时间内的位移,连续相等时间内的位移差为，即.
例2 [2023·浙江镇海中学月考] 从固定斜面上的点每隔由静止释放一个同样的小球，释放后小球做匀加速直线运动.某一时刻，拍下小球在斜面上滚动的照片如图所示.测得小球相邻位置间的距离，.已知点到斜面底端的长度为.由以上数据可以得出( )
C
A.小球的加速度大小为
B.小球在点的速度为0
C.斜面上最多同时有5个小球在滚动
D.该照片是距第一个小球释放后拍摄的
[解析] 由于小球做匀加速直线运动，根据相邻相等时间
内的位移差相等可知，，故小球的加速
度，选项A错误；
因为小球是从点由静止释放的，所以小球在点的速度
才是0，小球在A点的速度不为0，选项B错误；
由于到斜面底端的长度为，所以小球从点由静止释放滚到最下端所用的时间为，而两个小球释放的时间间隔是，故斜面上最多同时有5个小球在滚动，选项C正确；
因为小球在B点的瞬时速度为，故小球由静止释放后运动到B点的时间为，运动到C点的时间为，选项D错误.
变式2 一个做匀加速直线运动的物体在前内经过的位移为，在第2个内经过的位移是，则这个物体的加速度和初速度各是多大？
[答案] ;
[解析] 由公式，解得
这中间时刻的速度
由，解得.
学习任务三 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
［科学推理］ 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
(1) 由可得出，在时刻、时刻、时刻、…、时刻的速度之比为
_______________.
(2) 由可得出，在时间内、时间内、时间内、…、时间内的位移之比为_______________.
(3) 在第1个时间内、第2个时间内、第3个时间内、…、第个时间内的位移之比为
__________________.
(4) 由得，故通过位移、位移、位移、…、位移所用的时间之比为_______________.
(5) 通过第1个位移、第2个位移、第3个位移、…、第个位移所用的时间之比为
_______________________________________.
例3 飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看作从零开始的匀加速直线运动.若一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动,求汽车:
(1) 末、末、末的瞬时速度之比;
[答案]
[解析] 汽车的初速度为0,由速度公式可知,末、末、末的瞬时速度之比.
(2) 内、内、内的位移之比;
[答案]
[解析] 由可知，内、内、内的位移之比.
(3) 第内、第内、第内的位移之比;
[答案]
[解析] 第内的位移
第内的位移
第内的位移
故第内、第内、第内的位移之比.
(4) 由静止开始经过第1个位移、第2个位移、第3个位移所用的时间之比.
[答案]
[解析] 由位移公式可知
第1个位移所用的时间为
前位移所用的时间为
故第2个位移所用的时间为
同理,第3个位移所用的时间为
所以.
变式3 (多选)[2023·四川雅安中学期中] 如图所示，光滑斜面上的四段距离相等，质点从点由静止开始下滑，做匀加速直线运动，先后通过、、、四点，下列说法正确的是( )
ABC
A.质点由到达各点的时间之比
B.质点通过各点时的速率之比
C.质点依次通过各段距离的时间之比为
D.质点在斜面上运动的平均速度
[解析] 根据，解得，、、、的长度之比为，所以质点由到达各点的时间之比为，故A正确.
根据，解得，、、、的长度之比为，所以质点通过各点的速率之比，故B正确；
由静止开始通过连续相等的位移所用时间之比，故C正确；
初速度为0的匀加速直线运动中，在最初两段相等的时间内通过的位移之比为，可知点对应的中间时刻，某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则，故D错误.
研究匀变速直线运动纸带的数据处理方法
如图所示,从打下的纸带中选取点迹清晰的纸带,舍掉开始比较密集的点迹,从便于测量的位置取一个开始点,然后每5个点(或每隔4个点)取一个计数点,分别记为、、、、 这样每两个计数点之间的时间间隔为(打点频率为),计算比较方便.
(1)从纸带上读取长度的方法
利用毫米刻度尺测出各点到点的距离,算出相邻计数点间的距离、、、、 由于毫米刻度尺的分度值是,所以读数时必须估读到.
(2)用瞬时速度与平均速度的关系求瞬时速度,用或图像求加速度.
用逐差法求加速度:一般取6段(偶数段)位移,根据,,,分别求出、、,再取它们的平均值作为物体运动的加速度的测量值,则.
示例 某同学利用如图甲所示的实验装置探究物块在水平桌面上的运动规律.物块在重物的牵引下开始运动,重物落地后,物块再运动一段距离停在桌面上(尚未到达滑轮处).从纸带上便于测量的点开始,每5个点取1个计数点,相邻计数点间的距离如图乙所示.打点计时器电源的频率为.
(1) 通过分析纸带数据,可判断物块在两相邻计数点___和___之间某时刻开始减速.
6
7
[解析] 从纸带上的数据分析得知：在计数点6之前，两点之间的位移等差增大，是加速运动，在计数点7之后，两点之间的位移等差减小，是减速运动，所以物块在两相邻计数点6和7之间某时刻开始减速.
(2) 计数点5对应的速度大小为_____,计数点6对应的速度大小为_____.(保留三位有效数字)
1.20
[解析] 根据平均速度等于中间时刻的速度，则有，而,则.
(3) 物块减速运动过程中的加速度大小为_____.(保留三位有效数字)
2.00
[解析] 由纸带可知，从计数点7往后做减速运动，根据逐差法得，所以物块减速运动过程中的加速度大小为.
相邻两计数点间的时间间隔为，各计数点与计数点间的距离在图中已标出.则在打点时，小车的速度为_____，并可求得小车的加速度大小为____.
变式4 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带如图所示，、、、、是在纸带上所选的计数点，
0.26
0.4
[解析] 由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知
，根据匀变速直线运动的推论，可知加速度.
1.一个小物体以某一初速度沿光滑斜面向上运动，从 经过 到 .已知 和
的长度均为 ，通过这两段位移所用的时间分别为 和 ，则从 第一次运
动到 的过程的速度增加量大小为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 小物体沿斜面向上做匀减速直线运动，根据匀变速直线运动的推论：平
均速度等于初、末速度之和的一半，且等于位移与时间的比值，即
， ，两式相减可得 ，化简可得
，即 ，由于做减速运动，所以 ，速度增
加量大小为 ，故A正确.
2.如图所示，一小球(可视为质点)沿斜面匀加速下滑，依次经过 、 、 三
点.已知 ， ，小球经过 和 两段所用的时间均为
，则小球经过 、 、 三点时的速度大小分别是( )
D
A. 、 、
B. 、 、
C. 、 、
D. 、 、
[解析] 根据 得 ，经过 点的瞬时速度等于通过 段的平均速度，则 ，则经过 点的速度 ，经过 点的速度 ，故D正确.
3.(多选)如图所示，某质点做匀减速直线运动，依次经过 、 、 三点，最
后停在 点.已知 ， ，从 点运动到 点和从 点运动到
点两个过程中速度变化量都为 ，则下列说法正确的是( )
BD
A.质点到达 点时速度大小为
B.质点的加速度大小为
C.质点从 点运动到 点的时间为
D. 、 两点间的距离为
[解析] 设加速度大小为 ，根据题设条件得 ， 、 为
连续相等时间内的位移，由匀变速直线运动推论 ，解得
， ，选项B正确；
质点从 点运动到 点的时间为 ，选项C错误；
根据匀变速直线运动的平均速度公式可得
，选项A错误；
由速度与位移公式可得 ，选项D正确.
4.(多选)一物体以初速度 做匀减速直线运动，第 内通过的位移 ，
第 内通过的位移 ，又经过位移 ，物体的速度减小为0.下列说法
正确的是( )
BCD
A.初速度 的大小为
B.加速度 的大小为
C.位移 的大小为
D.位移 内的平均速度大小为
[解析] 由 可得加速度 ，选项B正确；
第 末的速度 ，则初速度 ，
选项A错误；
物体速度由 减小到0所需时间 ，则经过位移 的时间
为 ，且 ，选项C正确；
位移 内的平均速度 ，选项D正确.
5.如图所示，一长为 的长方体木块在水平面上以加
速度 做匀加速直线运动，先后经过位置1、2.位置1、
(1) 木块经过位置1、位置2的平均速度大小.
[答案] ;
[解析] 由平均速度公式 得木块经过位置1时的平均速度
木块经过位置2时的平均速度
2之间有一定的距离，木块通过位置1、2所用时间分别为 和 .求：
(2) 木块前端 在1、2之间运动所需时间.
[答案]
[解析] 由平均速度等于中间时刻的瞬时速度可得， 端经过位置1后 时刻的
速度为 ，则 端经过位置1时的速度 同理， 端经过位置2时
的速度 由速度公式得 解得
6.一些同学乘坐火车外出旅游，当火车在一段平直轨道上匀加速行驶时，一位同学提议说：“我们能否用身边的器材测出火车的加速度？”许多同学参与了测量工作，测量过程如下：他们一边看着窗外每隔 的路标，一边用手表记录着时间，他们观测到从第一根路标运动到第二根路标的时间间隔为 ，从第一根路标运动到第三根路标的时间间隔为 ，请你根据他们的测量情况，求：
(1) 火车的加速度大小；
[答案]
[解析] ， ，根据 可知，他们在第一、
二根路标中间时刻的速度为 ，在第二、三根路标中间时刻的速度
，两中间时刻的时间间隔为 ，所以
.
(2) 他们到第三根路标时的速度大小.
[答案]
[解析] 设他们到第三根路标时的速度为 ，则 .
7.某人在相距 的 、 两点间练习折返跑，他在 点由静止出发跑向 点，到达 点后立即返回 点.设加速过程和减速过程都是匀变速运动，加速过程和减速过程的加速度大小分别是 和 ，运动过程中的最大速度为 ，从 点返回的过程中达到最大速度后即保持该速度运动到 点.求：
(1) 从 点返回 点的过程中以最大速度运动的时间；
[答案]
[解析] 设此人从静止到加速至最大速度时所用的时间为 ，加速运动的位移
大小为 ，从 点返回 点的过程中做匀速运动的时间为 ， 、 两点间
的距离为 ，由运动学公式得 联立解得
.
(2) 从 点运动到 点与从 点运动到 点的平均速度的大小之比.
[答案]
[解析] 设此人从 点运动到 点的过程中做匀速运动的时间为 ，减速运动的位移大小为 ，减速运动的时间为 ，由运动学公式得 联立解得 .
1.(平均速度与中间时刻的瞬时速度)某战机起飞前由静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度所需时间为，则起飞前的运动距离为( )
B
A. B. C. D.不能确定
[解析] 战机在起飞前做匀加速直线运动，有，选项B正确.
2.(中间位移的瞬时速度)一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑,经过斜面中点时速度为,则物体到达斜面底端时的速度为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设物体到达斜面底端时的速度为,到达斜面中点时的速度为,根据速度与位移关系式得,,,联立解得,选项A正确.
3.(初速度为零的匀加速直线运动的比例关系) 三个木块并排固定在水平面上,一子弹以速度水平射入,若子弹在木块中做匀减速直线运动,则穿过第三个木块时速度刚好减小到零,且穿过每个木块所用时间相等,则第一、二、三个木块厚度之比为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 用逆向思维分析,子弹的匀减速直线运动是初速度为零的匀加速直线运动的逆运动.由于子弹穿过每个木块所用时间相等,则,故C正确.
4.(平均速度和位移差公式的应用)(多选)一质点做匀加速直线运动，第内的位移是，第内的位移是，则以下说法正确的是( )
BD
A.第内的位移是 B.第末的瞬时速度是
C.质点的加速度是 D.质点的加速度是
[解析] 由，可得，由于，所以第内的位移，故A、C错误，D正确；，故B正确.
5.(逐差法应用)如图所示是某同学测量做匀变速直线运动物体的瞬时速度时得到的一条纸带(实验中交流电源的频率为)，依照打点的先后顺序取计数点1、2、3、4、5、6、7，相邻两计数点间均有4个打点未画出，测得，，，，，.
(1) 打计数点2时纸带的速度大小_____(结果保留两位有效数字).
0.17
[解析] 打计数点2时纸带的速度大小.
(2) 物体的加速度大小_____(结果保留两位有效数字).
0.50
[解析] 物体的加速度大小
知识点一 匀变速直线运动的中间时刻速度
1.一颗子弹以大小为的速度射进一墙壁但未穿出，射入深度为，如果子弹在墙内穿行时做匀变速直线运动，则子弹在墙内运动的时间为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由和得，选项B正确.
2.[2023·广东深圳中学月考] 一质点由静止开始先从点做匀加速直线运动到点，然后从点做匀减速直线运动到点时速度刚好为零.若已知，那么质点在段和段的( )
D
A.加速度大小之比为 B.位移大小之比为
C.平均速度大小之比为 D.平均速度大小之比为
[解析] 设质点经过B点时的速度为，,则加速度大小，，故，选项A错误；
平均速度大小，，故，选项C错误，D正确.
位移大小，，故，选项B错误.
知识点二 匀变速直线运动的位移差公式
3.一质点做匀加速直线运动，依次经过、、、四点，、间的距离为，、间的距离为，已知物体通过段、段、段所用的时间相等，则与的距离为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据匀加速直线运动规律，连续相等的时间间隔内物体的位移之差，则，解得，选项B正确.
4.[2023·四川彭州中学月考] 若有轨电车进站的过程可近似看作匀减速直线运动，电车车头依次经过、、三个位置，已知段长度为，段长度为，且通过段和段所用时间均为，则电车加速度大小为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据可得，则电车加速度大小为，方向与电车运动方向相反.
知识点三 用逐差法求加速度
5.实验课上,同学们利用打点计时器等器材研究小车做匀变速直线运动的规律.其中一小组的同学从所打的几条纸带中选取了一条点迹清晰的纸带,如图所示.图中、、、、是按打点先后顺序依次选取的计数点,每两个相邻计数点间还有四个打点没有画出.(电源频率为)
(1) 打出的纸带中,相邻两个计数点间的时间间隔为____.
0.1
[解析] 相邻两个计数点之间还有四个打点,因此相邻两个计数点间的时间间隔为.
(2) 由图中的数据可知,打点计时器打下点时小车运动的速度大小是_____,小车运动的加速度大小是____.(结果均保留两位有效数字)
0.96
2.4
[解析] 根据匀变速直线运动中中间时刻的速度大小等于该过程中的平均速度大小,有;由题意可知,,,,因此根据匀变速直线运动推论,解得.
知识点四 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
6.一个质点从静止开始做匀加速直线运动，已知它在第内的位移是，则它通过前所用的时间为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 质点在第内、第内、第内、…位移之比为 ，则第内与第内位移之比为，故，质点在前内、前内、前内、…位移之比为 ，由，解得，即质点通过前的位移所用的时间为，故C正确.
7.[2023·河南郑州一中月考] 一辆公共汽车进站后开始刹车,做匀减速直线运动.汽车开始刹车后第内和第内的位移大小依次为和,则刹车后内的位移是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 方法1(逆向思维法)刹车过程是初速度为零的匀加速直线运动的逆运动,根据,逆运动第、第、第、第、第内的位移之比为,即第、第内位移之比与本题吻合,所以刹车过程用时,刹车位移为,选项C正确.
方法2(逐差法)由得,,解得,由,解得,汽车刹车时间,故刹车后内的位移为,选项C正确.
8.[2023·河北辛集中学月考] 如图甲所示是钱塘江大桥，乙图中、、、、是五个连续等间距的桥墩，若一汽车从点由静止开始做匀加速直线运动，通过段的时间为，则通过段的时间为( )
C
甲
乙
A. B. C. D.
[解析] 根据初速度为零的匀加速直线运动相邻相等位移的时间之比为 可知，故，故选项C正确.
9.做匀减速直线运动的物体经停止运动，若第内的位移是，则最后内的位移是( )
B
A. B. C. D.0
[解析] 利用逆向思维，把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为，由，解得，故B正确.
10.[2023·浙江学军中学月考] 如图所示，木块、、并排固定在水平地面上，三木块的厚度比为，子弹以的水平速度射入木块，子弹在木块中运动时加速度恒定，子弹可视为质点且刚好射穿木块.下列说法正确的是( )
C
A.子弹刚好射出木块时的速度为
B.子弹在木块中的运动时间大于在木块中的运动时间
C.子弹在木块和中的运动时间相等
D.子弹在木块中的平均速度是在木块中平均速度的2倍
[解析] 子弹的末速度为0，把正方向的匀减速运动看成反方向的加速度不变的匀加速运动，则在相等时间内的位移比为，故子弹在三个木块中的运动时间相等，则由，可得子弹射出木块A时的速度与子弹的初速度之比为，故子弹射出木块A时的速度为，故A、B错误，C正确；
根据，子弹在木块A中的平均速度是子弹在木块C中平均速度的5倍，故D错误.
11.[2023·江苏扬州中学月考] 质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个内、第2个内和第4个内位移之比为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为从静止开始做匀加速直线运动，在第1个内、第2个内、第3个内、…、第个内的位移之比为，所以质点在第1个内、第2个内和第4个内位移之比为.
12.一列火车在长直的铁轨上匀变速行驶，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢.已知每节车厢长(连接处长度不计)，求：
(1) 火车的加速度大小；
[答案]
[解析] 由题知，火车做匀减速直线运动，设火车的加速度大小为，每节车厢长为，相等的时间间隔
由,即
解得.
(2) 人开始观察时火车的速度大小.
[答案]
[解析] 设人开始观察时火车速度大小为，第一个末的速度
由
解得.
*13.[2023·广东广雅中学月考] 如图所示，小球沿足够长的斜面向上做匀变速直线运动，依次经、、、到达最高点，已知，，小球从到和从到所用的
C
A. B.
C. D.从到所用的时间为
时间都是，设小球经、时的速度分别为、，则下列说法错误的是( )
[解析] 由题意知，，根据，解得加速度，根据平均速度推论知，根据，解得，故A、B正确；
根据，解得，则，故C错误；
采用逆向思维，有，解得从到所用的时间，故D正确.
*14.[2023·江西九江一中月考] 从斜面上某一位置每隔释放一个小球,小球以相同的加速度做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后,对在斜面上滚动的小球拍下照片,如图所示,测得,,试求:
(1) 小球的加速度大小;
[答案]
[解析] 由可知,小球的加速度.
(2) 拍摄时球的速度大小;
[答案]
[解析] 拍摄时球的速度等于段的平均速度,即.
(3) 拍摄时、两小球之间的距离;
[答案]
[解析] 由于相邻相等时间内的位移差恒定,即
解得.
(4) 拍摄时在球上方滚动的小球的个数.
[答案] 2个
[解析] 释放小球后,小球都做匀加速直线运动,相邻两球释放的时间间隔均为,可以认为、、、各球是一个小球在不同时刻的位置.
设拍摄时球的速度为,由,
解得
球运动的时间
则在球上方正在滚动的小球还有2个.
