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专题课：追及相遇问题
◆ 导学案
学习任务一 对追及相遇问题的认知
学习任务二 解决追及相遇问题的一般方法
备用习题
随堂巩固
◆ 练习册
学习任务一 对追及相遇问题的认知
［物理观念］
(1)追及相遇问题的概念
两物体在同一直线上一前一后运动，当速度相同时，它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题.
(2)三种典型追及问题情景：
情景1：同地出发，速度小者(初速度为零的匀加速)追速度大者(匀速).
①能追上，且只能相遇一次；
②当时，、距离最大.
情景2：速度大者(匀减速)追速度小者(匀速).
①当时，未追上，则、永不相遇，此时两者间有最小距离；
②当时，恰好追上，则、相遇一次，也是避免相撞的临界条件；
③当时，已追上，则、相遇两次.
情景3：被追赶的物体做匀减速运动的追及.
若后面的物体能追上前面物体，一定要注意追上之前前面的物体是否已经停止运动.理清时间关系和空间关系.
学习任务二 解决追及相遇问题的一般方法
［科学思维］ 分析追及相遇问题的思路和方法
(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系.
一个条件 速度相等 这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点
两个关系 时间关系和位移关系 通过画示意图找出两物体时间和位移之间的数量关系，是解题的突破口
(2)常用方法
物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的情景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图像法
数学分析法
例1 在十字路口，一辆汽车以的加速度从停车线处启动做匀加速直线运动，此时恰好有一辆自行车以的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，则：
(1) 汽车追上自行车前，经过多久它们相距最远？最远距离是多少？
[答案] ;
[解析] 当两车速度相等时，它们相距最远，设所用时间为，汽车做初速度为零的匀加速直线运动，有
解得
此时自行车的位移
此时汽车的位移
两车的最远距离
联立解得
(2) 在什么地方汽车追上自行车？追上时汽车的速度是多大？
[答案] 距停车线处;
[解析] 汽车追上自行车时，它们相对于停车线的位移相等.设汽车追上自行车所用时间为，有
解得
此时距停车线距离
此时的汽车速度
例2 火车甲以的速度沿直轨道匀速行驶，司机突然发现前方同一轨道上相距处的火车乙正沿同一方向以的速度做匀速运动，司机立即以大小为的加速度紧急刹车，要使甲、乙不相撞，应满足什么条件？
[答案]
[解析] 方法一：物理分析法
甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相等时，甲、乙仍相距一段距离，即
其中
联立解得
即时，甲、乙不会相撞.
方法二：数学分析法
设甲减速时间后，甲、乙相撞，则有，即
整理得
若甲、乙不相撞，则以上方程无解，即判别式应满足
解得.
方法三：图像法
分别画出甲、乙的图像，如图所示
甲、乙刚好不相撞时，图中阴影部分面积应为，有
，
故
若甲、乙不相撞，则.
例3 如图甲所示，车原来临时停在一水平路面上，车在后面匀速向车靠近，车司机发现后启动车，以车司机发现车为计时起点，、两车的图像如图乙所示.已知车在第内与车的距离缩短了.
(1) 求车运动的速度和车的加速度的大小；
[答案] ;
[解析] 在时车刚启动，两车缩短的距离为
解得车的速度为
速度—时间图像的斜率表示加速度，则车的加速度为.
(2) 若、两车不会相撞，则车司机发现车时两车的距离应满足什么条件？
[答案]
[解析] 当两车的速度相等时，两车的距离最小，由图像可知此时为，此时两车的位移之差为图像中梯形的面积，为
若、两车不会相撞，则车司机发现车时两车的距离应满足条件为.
例4 (多选)甲、乙两个物体在同一条公路上做匀变速直线运动，在时刻，二者相距，甲在后，乙在前，它们运动的速度—时间图像如图所示，则下列说法正确的是( )
ABC
A.时刻，甲物体刚好赶上乙物体
B.时刻，甲和乙相距
C.内，甲、乙两物体之间距离先减小后增大
D.乙物体的加速度大小大于甲物体的加速度大小
[解析] 时刻，甲、乙位移差为，在时刻，二者相距，说明甲物体刚好赶上乙物体，A正确；
在时刻，甲、乙位移差为，则甲和乙相距，B正确；
由A选项可知，时刻，甲物体刚好赶上乙物体，接下来甲速度小于乙的速度，说明内，甲、乙两物体之间的距离先减小后增大，C正确；
甲、乙的加速度大小分别为，，D错误.
【要点总结】
图像法描述追及相遇问题
(1)速度小者追速度大者
情景 图像 说明
匀加速追匀速 _____________________________________________________________________
情景 图像 说明
匀速追匀减速 _______________________________________________________________________
匀加速追匀减速 ______________________________________________________________________ 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动 续表
(2)速度大者追速度小者
情景 图像 说明
匀减速追匀速 ______________________________________________________________________
情景 图像 说明
匀速追匀加速 _____________________________________________________________________
匀减速追匀加速 ______________________________________________________________________ 续表
1. 、 两物体从同一位置向同一方向同时运动，甲图是 物体的位移—时间
图像，乙图是 物体的速度—时间图像，根据图像下列说法正确的是( )
A.运动过程中， 、 两物体相遇一次
B.运动过程中， 、 两物体相遇两次
C. 、 两物体最远距离是
D. 内， 物体的平均速度是 物体的平均速度的两倍
A
[解析] 在 内， 做匀速直线运动，位移为 ； 做匀加速直
线运动，位移 ，在 内 没有追上 ；在
内， 静止， 继续沿原方向运动，通过的位移 ， 末 还
没有追上 ；在 内， 返回，位移为 ， 返回原出
发点， 的位移 ，则在 内 的总位移为
，可知 、 两物体在 内相遇一次，故A正确，B错误.
由选项A、B分析可知当 时， 、
两物体相距最远，最远距离为 ，故C错误.
内， 物体的位移为0，则平均速度为0,
物体的平均速度为 ，故D错误.
2.[2022·广东梅州期中] 、 两质点在同一平面内同时
向同一方向做直线运动，它们的位移—时间图像如图所
示，其中质点 的图像是顶点过原点的抛物线的一部分，
质点 的图像是过点 的一条直线，两图像相交于坐
标为 的 点，则下列说法正确的是( )
B
A.质点 做初速度为零、加速度为 的匀加速直线运动
B.质点 以 的速度做匀速直线运动
C.在前 内，质点 和 的平均速度相等
D.在前 内质点 的速度始终比质点 的速度小
[解析] 质点 的运动方程为 ，则初速度为零，代入坐标 ，
可得加速度 ，故A错误；
图线的斜率表示速度，故质点 做匀速直线运动，质点 的速度为
，故B正确；
在前 内，质点 的位移为 ，质点 的位移为 ，质点 和 平均速度
不相等，故C错误；
因 图线的斜率等于速度，可知在前 内质点 的速
度先比质点 的速度小，后比 的速度大，故D错误.
3.[2022·河南南阳一中质检] 挥杆套马是我国蒙古传统体育项目，烈马从骑手
身边奔驰而过时，骑手持 长的套马杆，由静止开始催马追赶，二者的
图像如图所示，则( )
C
A. 内骑手靠近烈马
B. 时刻骑手刚好追上烈马
C.在 内烈马的平均速度大于骑手的平均速度
D. 内骑手的加速度大于 内烈马的加速度
[解析] 图像与时间轴所围的面积表示位移，骑手与烈马在 时并排
运动，通过图线在 内与时间轴所围的面积差值一直增大，知 内
烈马与骑手间距离在增大，故A错误；
内烈马的位移 ，骑手的位移
, ，说明 末烈马仍在前方，故B错误；
根据 ，结合A选项分析可知在 内烈马的平均速度大于骑手的平均
速度，故C正确；
内烈马加速度 ， 内
骑手的加速度 ，故D错误.
4.若 、 两辆车相距 ，沿同一直线同向运动， 车在前做初速度为零、
加速度为 的匀加速直线运动， 车在后面做初速度为 、加速度为
的匀加速直线运动，则 与 满足什么条件时两车相遇一次？
[答案] 或
[解析] ， 若相遇， ，整理得
当 时， ，两车相遇一次当
时， ， ，两车相遇一次当
时， ，无解当
时， ，相遇两次当
时， ， (舍去)，相遇一次综上，当
或 时，相遇一次.
5.羚羊从静止开始奔跑，经过 距离能加速到最大速度 ，并能维持一段较长的时间.猎豹从静止开始奔跑，经过 的距离能加速到最大速度 ，以后只能维持这个速度的时间为 .设猎豹从距离羚羊为 的距离时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后 开始逃跑.假定羚羊和猎豹在加速阶段均做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑.
(1) 羚羊、猎豹加速时的加速度分别是多大？加速时间分别是多长？
[答案]
[解析] 根据 可知羚羊的加速度大小为
猎豹的加速度大小为
根据 可知羚羊加速时间为
猎豹加速时间为
(2) 猎豹要在其加速阶段追上羚羊， 值的大小应在什么范围？
[答案]
[解析] 因 ，猎豹要在其加速阶段追上羚羊，猎豹运动的时间 所以猎豹追上羚羊时，羚羊也正在加速运动，有 解得
(3) 猎豹刚好要减速时追到羚羊， 值应为多大？
[答案]
[解析] 由 可知，当猎豹进入匀速运动过程 后，羚羊开始做匀速运动.所以，当猎豹刚好减速时追到羚羊，羚羊早已在做匀速运动，只是匀速运动的时间比猎豹少了 ，则有 解得 即猎豹刚好要减速时追到羚羊， 值应为
1.(追及的判断)象群经过某一平直路段时，一小象因贪玩而落后象群里的象妈妈时才察觉，于是小象立刻由静止开始以大小为的加速度追赶象妈妈.若象妈妈以大小为的速度匀速前行，小象达到最大速度后的速度保持不变，则下列说法正确的是( )
D
A.从小象开始追赶象妈妈起，经它们相距最远
B.小象追赶象妈妈的过程中，与象妈妈的最远距离为
C.从小象开始追赶象妈妈起，经小象追上象妈妈
D.小象追赶象妈妈过程中的位移大小为
[解析] 小象与象妈妈达到共同速度时它们相距最远，从小象开始追赶象妈妈起，到它们相距最远所用的时间，最远距离，故A、B错误；
从小象开始追赶象妈妈起，到小象达到最大速度所用的时间，设从小象开始追赶象妈妈起，经时间小象追上象妈妈，有，解得，小象追赶象妈妈过程中的位移大小，故C错误，D正确.
2.(用图像分析追及相遇问题)甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，时刻同时经过公路旁的同一个路标.在如图所示描述两车运动的图中，直线、分别描述了甲、乙两车在的运动情况.关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是( )
D
A.在内两车逐渐靠近 B.在内两车逐渐远离
C.在时两车在公路上相遇 D.在内两车的位移相等
[解析] 在内，乙车在甲的前方，而且乙的速度大于甲的速度，则两车逐渐远离，故A错误.
在内，乙车在甲的前方，但乙的速度小于甲的速度，两车逐渐靠近，故B错误.
图像中图线与坐标轴所围成的面积表示位移，由图像可知，在内乙车的位移大于甲车的位移，时刻又在同一位置出发，所以在时两车没有相遇，故C错误.
由图像可知，在内两车通过的位移相等，故D正确.
3.(追及问题分析)当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则：
(1) 客车什么时候追上货车？客车追上货车时离路口多远？
[答案] ;
[解析] 客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，有
解得
故.
(2) 在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？
[答案]
[解析] 两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即
解得
故.
A. B. C. D.
1.[2023·山东枣庄八中月考] 如图所示，在平直公路上有、两辆同向匀速行驶的汽车，车的速度为，车的速度为，
B
车在前，车在后.两车相距时，车开始加速变道超车车超车过程在平行于车道方向上可看作匀加速直线运动，忽略变道过程速度方向的变化和位移的侧向变化的影响，车速度不变，为使内能完成超车并回到右侧车道，且保证两车之间至少有的安全距离，车超车过程在平行于车道方向上的加速度应至少为( )
[解析] A车做匀速直线运动，时间内的位移，B车做加速度为的匀加速直线运动，时间内的位移为,内完成超车并回到右侧车道，为保证安全，需满足，解得，故B正确.
2.[2023·浙江杭州期中] 如图所示是甲、乙两物体做直线运动的位移—时间图像，下列说法正确的是( )
B
A.甲开始运动的时刻比乙晚时间 B.当时，两物体相遇
C.当时，两物体相距最远 D.甲、乙两物体运动方向相同
[解析] 甲在时刻开始运动，而乙在时刻开始运动，故甲比乙早出发时间，故A错误.
当时，两物体到达同一位置，即两车相遇，故B正确，C错误.
图像的斜率的正负表示速度的方向，则甲、乙两物体运动方向相反，故D错误.
3.[2023·湖南岳阳一中月考] 甲、乙两车在平直的公路上向相同的方向行驶，两车的速度随时间的变化关系如图所示，其中阴影部分面积分别为、.下列说法正确的是( )
D
A.若，则甲、乙两车一定在时刻相遇
B.若，则甲、乙两车在时间内不会相遇
C.在时刻，甲、乙两车加速度相等
D.时间内，甲车的平均速度
[解析] 由于题述没有明确甲、乙两车在平直的公路上的出发点，所以若，则甲、乙两车不一定在时刻相遇，若，则甲、乙两车在时间内可能会相遇，选项A、B错误；
在时刻，甲、乙两车速度相等，甲车加速度小于乙车加速度，选项C错误；
速度—时间图像中图线与时间轴所围的面积表示位移，由图像可知，时间内，甲车的位移小于，则甲车的平均速度，选项D正确.
4.一人以的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车处时，绿灯亮了，汽车以的加速度匀加速启动前进，则( )
B
A.人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了
B.人不能追上公共汽车，人、车最近距离为
C.人能追上公共汽车，追上车前人共跑了
D.人不能追上公共汽车，且车开动后，人、车距离越来越远
[解析] 经过时间，公共汽车和人的位移分别为和，两者间的距离，当时，二者相距最近，且最小距离为，因二次函数的判别式，所以人不能追上公共汽车，A、C错误，B正确.
人不能追上公共汽车，且车开动后，人、车距离先减小后增大，D错误.
5.(多选) [2023·辽宁大连八中月考] 物体以的速度做匀速直线运动.物体出发后，物体从同一地点由静止出发，做匀加速直线运动，加速度大小是，且、运动方向相同，则( )
BC
A.物体追上物体所用的时间为
B.物体追上物体所用的时间为
C.物体追上物体前，两者的最大距离为
D.物体追上物体前，两者的最大距离为
[解析] 设物体B出发后运动时间为，则物体A的位移，物体B的位移，物体B追上物体A时，有，解得，故A错误，B正确；
物体B追上物体A前，两者距离，当时，最大，最大值为，故C正确，D错误.
6.[2023·山东日照一中月考] 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，时刻，甲车在前，乙车在后，两车头在前进方向上的距离为，之后两车的图像如图所示.下列说法正确的是( )
C
A.甲、乙两车不可能并排行驶
B.甲、乙两车并排行驶只会出现一次
C.甲、乙两车并排行驶会出现两次
D.在时两车并排行驶
[解析] 速度—时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，由图像可知，在内，甲车的位移为，乙车的位移为，两者位移之差为，故在时两车并排行驶，根据图像可知，在
内两者的位移相等，则在时两车也并排行驶，因此甲、乙两车并排行驶会出现两次，故A、B、D错误，C正确.
7.[2023·四川成都七中月考] 甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，此时甲的速度为，乙的速度为，甲车的加速度大小恒为.以此时作为计时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知( )
B
A.乙车做加速度先增大后减小的运动 B.在前的时间内，甲车的位移为
C.在时，甲车追上乙车 D.在时，乙车又回到起始位置
[解析] 图像的斜率表示物体的加速度，由图像可知，乙车的加速度先减小后增大，最后再减小，故A错误；
在前的时间内，甲车的位移为，故B正确；
在时，两车的速度相同，图像中图线与时间轴所围的面积表示位移，由图像可知，内乙车的位移大于甲车的位移，故甲车没有追上乙车，故C错误；
在内，乙车速度一直为正，乙车一直沿正方向运动，故在时乙车没有回到起始位置，故D错误.
8.一辆汽车以的速度在平直公路上行驶，刹车后将在内停下来.现该汽车在同一平直公路上仍以的速度行驶时发现前方处有一辆货车以的速度同向匀速行驶，司机立即刹车，则：
(1) 汽车刹车时的加速度为多大？
[答案]
[解析] 汽车刹车时的加速度大小
(2) 是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？
[答案] 不发生;
[解析] 汽车减速到与货车共速所用的时间
此时间内汽车运动的位移
货车运动的位移为
由于，所以不发生撞车事故.
此时两车相距最近，最近距离.
9.同向运动的甲、乙两质点在某时刻恰好通过同一路标，以此时为计时起点，此后甲质点的速度随时间的变化关系为，乙质点的位移随时间的变化关系为，则：
(1) 两质点何时再次相遇
[答案]
[解析] 由甲质点的速度随时间变化的关系式可知，甲做初速度、加速度为的匀变速直线运动，即
由乙质点的位移随时间变化的关系式可知，乙做初速度为、加速度为的匀变速直线运动，即
甲、乙再次相遇时，有
解得.
(2) 两质点相遇之前何时相距最远？最远的距离是多少？
[答案]
[解析] 甲、乙速度相等时相距最远，有
解得
此时，
最远距离.
10.[2023·云南昆明期中] 某条高速公路限制速度为，某种雾天的能见度(即观察者与能看见的最远目标间的距离)为，汽车紧急制动的最大加速度大小为，制动时司机的反应时间(即司机发现状况到踩下刹车的时间，该时间内汽车仍然匀速运动)为.
(1) 当汽车速度为时，突然以的最大加速度紧急制动，从踩下刹车到汽车停止运动，求汽车滑行的距离；
[答案]
[解析] 汽车刹车滑行的距离
(2) 在该雾天，为了安全，求汽车行驶的最大速度.
[答案]
[解析] 在司机的反应时间内，汽车做匀速直线运动的位移
从踩下刹车到汽车停止运动，汽车滑行的距离
为了安全，应有,
联立解得
故汽车行驶的最大速度
11.[2023·湖北黄冈期中] 一辆自行车以的速度沿水平公路匀速前进，一辆汽车在自行车前方与自行车同向行驶，速度大小.当汽车与自行车相距时，汽车突然以大小为的加速度做匀减速直线运动，从此时开始计时.
(1) 求汽车刹车后内的位移.
[答案]
[解析] 汽车刹车后停下来所需的时间
即汽车在末就已停下，故汽车刹车后内的位移为
(2) 自行车和汽车何时距离最大？最大距离为多少？
[答案] 时;
[解析] 当汽车和自行车速度大小相等时，自行车和汽车距离最大，有
解得
此时自行车的位移
汽车的位移
则两车的最大距离
(3) 求自行车追上汽车所用的时间.
[答案]
[解析] 当汽车速度减为0时，自行车的位移
因为，故汽车停下时还没被追上，
则自行车追上汽车所用的时间专题课:追及相遇问题
例1 (1)10 s 25 m (2)距停车线100 m处 10 m/s
[解析] (1)当两车速度相等时,它们相距最远,设所用时间为t,汽车做初速度为零的匀加速直线运动,有at=v自
解得t=10 s
此时自行车的位移x自=v自t
此时汽车的位移x汽=at2
两车的最远距离x=x自-x汽
联立解得x=25 m
(2)汽车追上自行车时,它们相对于停车线的位移相等.设汽车追上自行车所用时间为t',有v自t'=at'2
解得t'=20 s
此时距停车线距离x'=v自t'=100 m
此时的汽车速度v汽'=at'=10 m/s
例2 a>1.6 m/s2
[解析] 方法一:物理分析法
甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相等时,甲、乙仍相距一段距离,即
v1-at=v2
x1其中x1=v1t-at2
x2=v2t
联立解得a>1.6 m/s2
即a>1.6 m/s2时,甲、乙不会相撞.
方法二:数学分析法
设甲减速t时间后,甲、乙相撞,则有x1=x2+s,即
v1t-at2=v2t+s
整理得at2-2(v1-v2)t+2s=0
若甲、乙不相撞,则以上方程无解,即判别式应满足
Δ=4(v1-v2)2-8as<0
解得a>=1.6 m/s2.
方法三:图像法
分别画出甲、乙的v-t图像,如图所示
甲、乙刚好不相撞时,图中阴影部分面积应为s,有
(v1-v2)t1=s,=a
故a=
若甲、乙不相撞,则a>=1.6 m/s2.
例3 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)s0>36 m
[解析] (1)在t1=1 s时A车刚启动,两车缩短的距离为x1=vBt1
解得B车的速度为vB=12 m/s
速度—时间图像的斜率表示加速度,则A车的加速度为a===3 m/s2.
(2)当两车的速度相等时,两车的距离最小,由v-t图像可知此时为t2=5 s,此时两车的位移之差为图像中梯形的面积,为x=vB(t1+t2)=36 m
若A、B两车不会相撞,则A车司机发现B车时两车的距离s0应满足条件为s0>36 m.
例4 ABC [解析] t=2 s时刻,甲、乙位移差为Δx= m=15 m,在t=0时刻,二者相距15 m,说明甲物体刚好赶上乙物体,A正确;在t=4 s时刻,甲、乙位移差为Δx'= m- m=0,则甲和乙相距15 m,B正确;由A选项可知,t=2 s时刻,甲物体刚好赶上乙物体,接下来甲速度小于乙的速度,说明0~4 s内,甲、乙两物体之间的距离先减小后增大,C正确;甲、乙的加速度大小分别为a1= m/s2=5 m/s2,a2= m/s2=2.5 m/s2,D错误.
随堂巩固
1.D [解析] 小象与象妈妈达到共同速度时它们相距最远,从小象开始追赶象妈妈起,到它们相距最远所用的时间t0==1 s,最远距离xmax=x0+v0t0-a=40.5 m,故A、B错误;从小象开始追赶象妈妈起,到小象达到最大速度所用的时间t1==4 s,设从小象开始追赶象妈妈起,经时间t小象追上象妈妈,有x0+v0t=t1+vmax(t-t1),解得t=16 s,小象追赶象妈妈过程中的位移大小x=t1+vmax(t-t1)=56 m,故C错误,D正确.
2.D [解析] 在0~10 s内,乙车在甲的前方,而且乙的速度大于甲的速度,则两车逐渐远离,故A错误.在10~20 s内,乙车在甲的前方,但乙的速度小于甲的速度,两车逐渐靠近,故B错误.v-t图像中图线与坐标轴所围成的面积表示位移,由图像可知,在0~10 s内乙车的位移大于甲车的位移,t=0时刻又在同一位置出发,所以在t=10 s时两车没有相遇,故C错误.由图像可知,在5~15 s内两车通过的位移相等,故D正确.
3.(1)10 s 100 m (2)25 m
[解析] (1)客车追上货车的过程中,两车所用时间相等,位移也相等,有v2t1=a
解得t1=10 s
故x=a=×2×102 m=100 m.
(2)两车距离最大时,两车应具有相等的速度,即v2=at2
解得t2=5 s
故Δx=v2t2-a=10×5 m-×2×52 m=25 m.专题课:追及相遇问题
学习任务一 对追及相遇问题的认知
[物理观念]
(1)追及相遇问题的概念
两物体在同一直线上一前一后运动,当速度相同时,它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况,这类问题称为追及相遇问题.
(2)三种典型追及问题情景:
情景1:同地出发,速度小者(初速度为零的匀加速)追速度大者(匀速).
①能追上,且只能相遇一次;
②当v1=v2时,A、B距离最大.
情景2:速度大者(匀减速)追速度小者(匀速).
①当v1=v2时,A未追上B,则A、B永不相遇,此时两者间有最小距离;
②当v1=v2时,A恰好追上B,则A、B相遇一次,也是避免相撞的临界条件;
③当v1>v2时,A已追上B,则A、B相遇两次.
情景3:被追赶的物体做匀减速运动的追及.
若后面的物体能追上前面物体,一定要注意追上之前前面的物体是否已经停止运动.理清时间关系和空间关系.
学习任务二 解决追及相遇问题的一般方法
[科学思维] 分析追及相遇问题的思路和方法
(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置,注意抓住一个条件、用好两个关系.
一个 条件 速度相等 这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点,是解题的切入点
两个 关系 时间关系和位移关系 通过画示意图找出两物体时间和位移之间的数量关系,是解题的突破口
(2)常用方法
物理 分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,建立物体运动关系的情景,并画出运动情况示意图,找出位移关系
图像法 将两者的v-t图像画在同一坐标系中,然后利用图像分析求解
数学 分析法 设从开始到相遇的时间为t,根据条件列位移关系方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论.若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次;若Δ=0,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,说明追不上或不能相遇
例1 在十字路口,一辆汽车以0.5 m/s2的加速度从停车线处启动做匀加速直线运动,此时恰好有一辆自行车以5 m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶,则:
(1)汽车追上自行车前,经过多久它们相距最远 最远距离是多少
(2)在什么地方汽车追上自行车 追上时汽车的速度是多大
例2 火车甲以v1=288 km/h的速度沿直轨道匀速行驶,司机突然发现前方同一轨道上相距s=0.5 km处的火车乙正沿同一方向以v2=144 km/h的速度做匀速运动,司机立即以大小为a的加速度紧急刹车,要使甲、乙不相撞,a应满足什么条件
例3 如图甲所示,A车原来临时停在一水平路面上,B车在后面匀速向A车靠近,A车司机发现后启动A车,以A车司机发现B车为计时起点(t=0),A、B两车的v-t图像如图乙所示.已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1=12 m.
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小;
(2)若A、B两车不会相撞,则A车司机发现B车时两车的距离s0应满足什么条件
例4 (多选)甲、乙两个物体在同一条公路上做匀变速直线运动,在t=0时刻,二者相距15 m,甲在后,乙在前,它们运动的速度—时间图像如图所示,则下列说法正确的是( )
A.t=2 s时刻,甲物体刚好赶上乙物体
B.t=4 s时刻,甲和乙相距15 m
C.0~4 s内,甲、乙两物体之间距离先减小后增大
D.乙物体的加速度大小大于甲物体的加速度大小
【要点总结】
图像法描述追及相遇问题
(1)速度小者追速度大者
情景 图像 说明
匀加速 追匀速 ①t=t0以前,后面物体与前面物体间的距离增大 ②t=t0时,两物体相距最远,为x0+Δx(x0为两物体初始距离) ③t=t0以后,后面物体与前面物体间的距离减小 ④能追上且只能相遇一次
匀速追 匀减速
匀加速 追匀减速
特别提醒:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动
(2)速度大者追速度小者
情景 图像 说明
匀减速 追匀速 开始追赶时,两物体间的距离为x0,之后两物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻 ①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0,则相遇两次,设t1时刻Δx=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇(t2-t0=t0-t1)
匀速追 匀加速
匀减速追 匀加速
1.(追及的判断)象群经过某一平直路段时,一小象因贪玩而落后象群里的象妈妈40 m时才察觉,于是小象立刻由静止开始以大小为1 m/s2的加速度追赶象妈妈.若象妈妈以大小为1 m/s的速度匀速前行,小象达到最大速度4 m/s后的速度保持不变,则下列说法正确的是( )
A.从小象开始追赶象妈妈起,经2 s它们相距最远
B.小象追赶象妈妈的过程中,与象妈妈的最远距离为41 m
C.从小象开始追赶象妈妈起,经15 s小象追上象妈妈
D.小象追赶象妈妈过程中的位移大小为56 m
2.(用图像分析追及相遇问题)甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动,t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标.在如图所示描述两车运动的v-t图中,直线a、b分别描述了甲、乙两车在0~20 s的运动情况.关于两车之间的位置关系,下列说法正确的是( )
A.在0~10 s内两车逐渐靠近
B.在10~20 s内两车逐渐远离
C.在t=10 s时两车在公路上相遇
D.在5~15 s内两车的位移相等
3.(追及问题分析)当交叉路口的绿灯亮时,一辆客车以a=2 m/s2 的加速度由静止启动,在同一时刻,一辆货车以10 m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长),则:
(1)客车什么时候追上货车 客车追上货车时离路口多远
(2)在客车追上货车前,两车的最大距离是多少 专题课:追及相遇问题
1.B [解析] A车做匀速直线运动,t时间内的位移xA=vAt,B车做加速度为a的匀加速直线运动,t时间内的位移为xB=vBt+at2,5 s内完成超车并回到右侧车道,为保证安全,需满足xB≥xA+35 m,解得a≥2 m/s2,故B正确.
2.B [解析] 甲在t=0时刻开始运动,而乙在t1时刻开始运动,故甲比乙早出发t1时间,故A错误.当t=t2时,两物体到达同一位置,即两车相遇,故B正确,C错误.x-t图像的斜率的正负表示速度的方向,则甲、乙两物体运动方向相反,故D错误.
3.D [解析] 由于题述没有明确甲、乙两车在平直的公路上的出发点,所以若S1=S2,则甲、乙两车不一定在t2时刻相遇,若S1>S2,则甲、乙两车在0~t2时间内可能会相遇,选项A、B错误;在t1时刻,甲、乙两车速度相等,甲车加速度小于乙车加速度,选项C错误;速度—时间图像中图线与时间轴所围的面积表示位移,由图像可知,0~t2时间内,甲车的位移小于t2,则甲车的平均速度v<,选项D正确.
4.B [解析] 经过时间t,公共汽车和人的位移分别为x1=at2=t2和x2=vt=6t,两者间的距离Δx=x1+x0-x2=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6 s时,二者相距最近,且最小距离为7 m,因二次函数的判别式Δ<0,所以人不能追上公共汽车,A、C错误,B正确.人不能追上公共汽车,且车开动后,人、车距离先减小后增大,D错误.
5.BC [解析] 设物体B出发后运动时间为t,则物体A的位移xA=vA(t+t0),物体B的位移xB=at2,物体B追上物体A时,有vA(t+t0)=at2,解得t=(5+5) s,故A错误,B正确;物体B追上物体A前,两者距离Δx=vA(t+t0)-at2=-t2+10t+50=-(t-5)2+75,当t=5 s时,Δx最大,最大值为75 m,故C正确,D错误.
6.C [解析] 速度—时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移,由图像可知,在0~1 s内,甲车的位移为x甲=×1×10 m=5 m,乙车的位移为x乙=×(10+15)×1 m=12.5 m,两者位移之差为Δx=x乙-x甲=12.5 m-5 m=7.5 m,故在t=1 s时两车并排行驶,根据图像可知,在1~3 s内两者的位移相等,则在t=3 s时两车也并排行驶,因此甲、乙两车并排行驶会出现两次,故A、B、D错误,C正确.
7.B [解析] v-t图像的斜率表示物体的加速度,由图像可知,乙车的加速度先减小后增大,最后再减小,故A错误;在前4 s的时间内,甲车的位移为x=v0t+at2=5×4 m+×1.2×42 m=29.6 m,故B正确;在t=4 s时,两车的速度相同,v-t图像中图线与时间轴所围的面积表示位移,由图像可知,0~4 s内乙车的位移大于甲车的位移,故甲车没有追上乙车,故C错误;在0~10 s内,乙车速度一直为正,乙车一直沿正方向运动,故在t=10 s时乙车没有回到起始位置,故D错误.
8.(1)0.5 m/s2 (2)不发生 4 m
[解析] (1)汽车刹车时的加速度大小a==0.5 m/s2
(2)汽车减速到与货车共速所用的时间t0==28 s
此时间内汽车运动的位移x1==364 m
货车运动的位移为x2=vBt0=168 m
由于Δx=x1-x2=196 m<200 m,所以不发生撞车事故.
此时两车相距最近,最近距离Δs=x0-Δx=200 m-196 m=4 m.
9.(1)5 s (2)2.5 s 12.5 m
[解析] (1)由甲质点的速度随时间变化的关系式可知,甲做初速度v10=12 m/s、加速度为a1=4 m/s2的匀变速直线运动,即
x1=12t+2t2
v1=12+4t
由乙质点的位移随时间变化的关系式可知,乙做初速度为v20=2 m/s、加速度为a2=8 m/s2的匀变速直线运动,即
x2=2t+4t2
v2=2+8t
甲、乙再次相遇时,有x1=x2
解得t=5 s.
(2)甲、乙速度相等时相距最远,有v1=v2
解得t=2.5 s
此时x1=42.5 m,x2=30 m
最远距离Δxm=x1-x2=12.5 m.
10.(1)69.4 m (2)72 km/h
[解析] (1)汽车刹车滑行的距离x=≈69.4 m
(2)在司机的反应时间t1=0.6 s内,汽车做匀速直线运动的位移x1=v'0t1
从踩下刹车到汽车停止运动,汽车滑行的距离x2=
为了安全,应有x1+x2≤37 m,a'≤8 m/s2
联立解得v'0≤20 m/s=72 km/h
故汽车行驶的最大速度v=72 km/h
11.(1)25 m (2)3 s时 14 m (3)7.5 s
[解析] (1)汽车刹车后停下来所需的时间t==5 s
即汽车在5 s末就已停下,故汽车刹车后6 s内的位移为x2=t=25 m
(2)当汽车和自行车速度大小相等时,自行车和汽车距离最大,有v2-at1=v1
解得t1=3 s
此时自行车的位移x1=v1t1=12 m
汽车的位移x'2=v2t1-a=21 m
则两车的最大距离Δx=x'2+s-x1=14 m
(3)当汽车速度减为0时,自行车的位移x'1=v1t=20 m
因为x'1则自行车追上汽车所用的时间t2==7.5 s专题课:追及相遇问题
1.[2023·山东枣庄八中月考] 如图所示,在平直公路上有A、B两辆同向匀速行驶的汽车,A车的速度为10 m/s,B车的速度为12 m/s,A车在前,B车在后.两车相距10 m时,B车开始加速变道超车(B车超车过程在平行于车道方向上可看作匀加速直线运动,忽略变道过程速度方向的变化和位移的侧向变化的影响),A车速度不变,为使5 s内能完成超车并回到右侧车道,且保证两车之间至少有15 m的安全距离,B车超车过程在平行于车道方向上的加速度应至少为 ( )
A.1.6 m/s2 B.2 m/s2
C.1.2 m/s2 D.3 m/s2
2.[2023·浙江杭州期中] 如图所示是甲、乙两物体做直线运动的位移—时间图像,下列说法正确的是( )
A.甲开始运动的时刻比乙晚t1时间
B.当t=t2时,两物体相遇
C.当t=t2时,两物体相距最远
D.甲、乙两物体运动方向相同
3.[2023·湖南岳阳一中月考] 甲、乙两车在平直的公路上向相同的方向行驶,两车的速度v随时间t的变化关系如图所示,其中阴影部分面积分别为S1、S2.下列说法正确的是( )
A.若S1=S2,则甲、乙两车一定在t2时刻相遇
B.若S1>S2,则甲、乙两车在0~t2时间内不会相遇
C.在t1时刻,甲、乙两车加速度相等
D.0~t2时间内,甲车的平均速度v<
4.一人以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车,在跑到距汽车25 m处时,绿灯亮了,汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,则( )
A.人能追上公共汽车,追赶过程中人跑了36 m
B.人不能追上公共汽车,人、车最近距离为7 m
C.人能追上公共汽车,追上车前人共跑了43 m
D.人不能追上公共汽车,且车开动后,人、车距离越来越远
5.(多选) [2023·辽宁大连八中月考] 物体A以10 m/s的速度做匀速直线运动.物体A出发后5 s,物体B从同一地点由静止出发,做匀加速直线运动,加速度大小是2 m/s2,且A、B运动方向相同,则( )
A.物体B追上物体A所用的时间为5 s
B.物体B追上物体A所用的时间为(5+5) s
C.物体B追上物体A前,两者的最大距离为75 m
D.物体B追上物体A前,两者的最大距离为50 m
6.[2023·山东日照一中月考] 甲、乙两车在平直公路上同向行驶,t=0时刻,甲车在前,乙车在后,两车头在前进方向上的距离为7.5 m,之后两车的v-t图像如图所示.下列说法正确的是( )
A.甲、乙两车不可能并排行驶
B.甲、乙两车并排行驶只会出现一次
C.甲、乙两车并排行驶会出现两次
D.在t=2 s时两车并排行驶
7.[2023·四川成都七中月考] 甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动,两车在某一时刻刚好经过同一位置,此时甲的速度为5 m/s,乙的速度为10 m/s,甲车的加速度大小恒为1.2 m/s2.以此时作为计时起点,它们的速度随时间变化的关系如图所示,根据以上条件可知( )
A.乙车做加速度先增大后减小的运动
B.在前4 s的时间内,甲车的位移为29.6 m
C.在t=4 s时,甲车追上乙车
D.在t=10 s时,乙车又回到起始位置
8.一辆汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶,刹车后将在40 s内停下来.现该汽车在同一平直公路上仍以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一辆货车以6 m/s的速度同向匀速行驶,司机立即刹车,则:
(1)汽车刹车时的加速度为多大
(2)是否发生撞车事故 若发生撞车事故,在何时发生 若没有撞车,两车最近距离为多少
9.同向运动的甲、乙两质点在某时刻恰好通过同一路标,以此时为计时起点,此后甲质点的速度随时间的变化关系为v=4t+12(m/s),乙质点的位移随时间的变化关系为x=2t+4t2(m),则:
(1)两质点何时再次相遇
(2)两质点相遇之前何时相距最远 最远的距离是多少
10.[2023·云南昆明期中] 某条高速公路限制速度为120 km/h,某种雾天的能见度(即观察者与能看见的最远目标间的距离)为37 m,汽车紧急制动的最大加速度大小为8 m/s2,制动时司机的反应时间(即司机发现状况到踩下刹车的时间,该时间内汽车仍然匀速运动)为0.6 s.
(1)当汽车速度为120 km/h时,突然以8 m/s2的最大加速度紧急制动,从踩下刹车到汽车停止运动,求汽车滑行的距离x;
(2)在该雾天,为了安全,求汽车行驶的最大速度v.
11.[2023·湖北黄冈期中] 一辆自行车以v1=4 m/s的速度沿水平公路匀速前进,一辆汽车在自行车前方与自行车同向行驶,速度大小v2=10 m/s.当汽车与自行车相距s=5 m时,汽车突然以大小为a=2 m/s2的加速度做匀减速直线运动,从此时开始计时.
(1)求汽车刹车后6 s内的位移.
(2)自行车和汽车何时距离最大 最大距离为多少
(3)求自行车追上汽车所用的时间.
