(共60张PPT)
专题课：自由落体运动与竖直上抛运动
◆ 导学案
学习任务一 自由落体运动规律的应用
学习任务二 竖直上抛运动的规律及应用
备用习题
随堂巩固
◆ 练习册
学习任务一 自由落体运动规律的应用
［科学思维］
(1)自由落体运动的基本公式
①速度—时间关系：.
②位移—时间关系：.
③速度—位移关系：.
(2)匀变速直线运动与自由落体运动的规律比较
匀变速直线运动的一般规律 自由落体运动规律
速度公式
平均速度公式
位移公式
位移与速度的关系
推论
(3)自由落体运动是匀变速直线运动的特例，所以匀变速直线运动的推论仍适用于自由落体运动，如平均速度公式、逐差相等公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例结论等.
例1 一个小球从某高处自由落下，经过最后所用的时间是，则小球下落所用的总时间和下落的总高度分别是多少？取，空气阻力不计
[答案] ;
[解析] 方法一：基本公式法
画出小球的运动示意图如图所示，其中，
根据自由落体公式得，
联立解得,.
方法二：平均速度法
最后内的平均速度为
因为在匀变速运动中某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，所以下落至最后初的瞬时速度为,则下落至最后前所用的时间
所以，.
变式1 (多选)[2023·北京八中月考] 如图所示，在水平桌面上方有三个金属小球、、，离桌面高度之比若先后顺次释放、、，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则( )
AC
A.三者到达桌面时的速度大小之比是
B.三者运动时间之比为
C.与开始下落的时间间隔小于与开始下落的时间间隔
D.三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比，与质量成反比
[解析] 三个球均做自由落体运动，由，解得，则，故A正确；
三个球均做自由落体运动，由，解得，则，故B错误；
与开始下落的时间间隔为，与开始下落的时间间隔为，故C正确；
小球下落的加速度均为，与重力及质量无关，故D错误.
例2 一条铁链长，端悬挂在一点静止，如果让它自由下落，求整个铁链通过悬挂点正下方处的小孔需要的时间.取，不计空气阻力
[答案]
[解析] 作出铁链下落过程的示意图，如图所示，可以看出，铁链通过小孔的时间为从端到达小孔至端离开小孔的时间.
方法一：设端到达小孔所需的时间为，发生的位移为，端到达小孔所需的时间为，发生的位移为，铁链长度，铁链通过小孔的时间为.由图可知
联立解得.
方法二：设铁链的端到达小孔和铁链的端离开小孔时，铁链下降的高度分别为和，它们经过小孔时的速度分别为和，则，.
设铁链经过小孔的时间为，位移为铁链的长度，则.
变式2 (多选)[2023·河南郑州一中月考] 如图所示，小球位于空心管的正上方高处，空心管长为，小球的球心与管的轴线重合，并在竖直线上，小球直径小于管的内径，不计空气阻力，重力加速度为.下列判断正确的是( )
AC
A.若两者均无初速度同时释放，则小球在空中不能过空心管
B.若小球自由下落，管固定不动，则小球穿过管所用的时间
C.若小球自由下落，管固定不动，则小球穿过管所用的时间
D.若两者均无初速度释放，但小球提前时间释放，则从释放空心管到小球穿过管的时间
[解析] 若两者无初速度同时释放，则在相同时间内下降的高度相同，可知小球在空中不能穿过空心管，故A正确.
若小球自由下落，管固定不动，则小球穿过管的时间是小球到达管的下端与到达管的上端的时间之差，，故B错误，C正确.
若两者均无初速度释放，但小球提前了时间释放，根据，可知，故D错误.
【要点总结】
1.在自由落体运动中，我们常遇到多个物体以相同的加速度不同时运动的问题，求解这类问题时，如果对每个物体列方程，则求解过程较为复杂；若将它们转化为一个物体的运动，其他物体只不过是重复这一物体的运动，则能化繁为简.
2.在自由落体运动的有些问题中，物体相对于研究的问题不能看作是质点模型，求解这类问题时，我们一般的思路是把研究物体转化为来研究物体上的一点，这样可将物体的自由落体运动转化为该质点的自由落体运动，再由自由落体运动公式求解.
学习任务二 竖直上抛运动的规律及应用
［模型建构］ 竖直上抛运动
(1) 定义：将物体以初速度__________抛出，抛出物体只受__________(或空气阻力可以忽略)，该运动叫作竖直上抛运动.
竖直向上
重力作用
(2) 规律：竖直上抛运动是___________的匀变速直线运动，其加速度等于_________________.
①速度公式：____________；
②位移公式：_______________；
③位移与速度的关系式：________________，上升的最大高度___.
初速度为
自由落体加速度
(3)图像如图所示(取竖直向上为正方向).
例3 研究人员为检验某一产品的抗撞击能力，乘坐热气球并携带该产品竖直升空，当热气球以的速度匀速上升到某一高度时，研究人员从热气球上将产品自由释放，测得经产品撞击地面.不计产品所受的空气阻力，求产品释放的位置距地面的高度.取
[答案]
[解析] 方法一：全程法
将产品的运动视为匀变速直线运动，规定向上为正方向，则释放产品后有，
故.
即产品刚释放时离地面的高度为.
方法二：分段法
画出运动草图如图所示.将产品的运动过程分为和两段来处理，为竖直上抛运动，为自由落体运动.
在段，根据竖直上抛运动规律可知
由题意可知
根据自由落体运动规律可得
故释放点离地面的高度.
变式3 [2023·山东日照一中月考] 在离地面的高处以的初速度竖直上抛一物体，以向上为正方向，重力加速度取，则物体从抛出到落地过程( )
B
A.位移为 B.路程为 C.所用的时间为 D.落地速度为
[解析] 位移是从初位置指向末位置的有向线段，物体从抛出到落地过程的位移为，负号表示方向竖直向下，故A错误；
物体上升的时间为，上升的最大高度为，物体从抛出到落地过程中，路程为，故B正确；
物体下落通过的位移为，根据运动学公式得，解得，所以物体从抛出到落地过程所用的时间为，故C错误；
根据速度公式得，负号表示方向竖直向下，故D错误.
【要点总结】
竖直上抛运动处理方法
(1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理.上升阶段：，；下落阶段：，.
(2)整体法：将竖直上抛运动视为初速度为、加速度为的匀变速直线运动.取整个过程分析，选竖直向上为正方向，则有，时，处于上升阶段；时，处于下落阶段.时，在抛出点上方；时，在抛出点下方.
1.如图所示,将小球 从地面以初速度 竖直上抛的同时,将另一相同
质量的小球 从距地面 高处由静止释放,两球恰在距离地面 高处
相遇(不计空气阻力),则( )
C
A.两球同时落地
B.相遇时两球速度大小相等
C.从开始运动到相遇,两球速度的变化量相同
D.以上说法均不正确
[解析] 两球经过相同的时间在离地面 高处相遇,则对 小球有 ,对
小球有 ,联立解得 ,即相遇时 小球的速度为
, 小球的速度为 ,选项B错误;
相遇后, 小球向下做初速度为零的匀加速直线运动, 小球以一定的初速度向下
做匀加速直线运动,且二者加速度均等于重力加速度,故 球先落地,选项A错误;
从开始运动到相遇, 球的速度变化量的大小 ,方向向下, 球的速度变
化量的大小 ,方向向下,所以 球的速度变化量等于 球的速度变化量,
选项C正确.
2.如图所示，一杂技演员用一只手抛球.他每隔 抛出一
球，接到球便立即把球抛出.已知除抛、接球的时刻外，空中总
有4个小球，将球的运动近似看作竖直方向的运动， 取
，从抛球点算起，球到达的最大高度是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 被杂技演员抛出的小球在空中应做竖直上抛运动，考虑到空中总有四个小球，其临界情况为：演员手中的球将要被抛出时，空中第4个小球刚到演员的手中，如图所示，也就是说，抛出的小球在空中运动的时间是 .竖直上抛运动的上升过程和下降过程具有对称性，故第二个小球抛出后经过 到达最高点，小球到达的最大高度 .
3.在以速度 匀速上升的电梯内竖直向上抛出一个小球，电梯内观察者看见小
球经时间 到达最高点，不计空气阻力，重力加速度为 ，则( )
B
A.地面上的人所见小球抛出时的速度为
B.电梯中的人看见小球抛出时的速度为
C.地面上的人看见小球上升的最大高度为
D.地面上的人看见小球上升的时间也为
[解析] 以电梯为参考系，根据运动学方程，电梯中的人看见小球抛出时的速度
为 ，选项B正确；
以地面为参考系，地面上的人看见小球抛出时的速度为 ，选项A错误；
电梯中的人看到小球的速度为零，只是小球的速度与电梯的速度相同，实际上
小球此时相对地面的速度为 ，电梯中的人看到小球上升的最大高度为 ，
上升的时间为 ，地面上的人看见小球上升的最大高度大于 ，上升时间大
于 ，选项C、D错误.
4.小球 从距地面高为 处自由释放，同时小球 从地面以初速度 竖直向
上抛出， 、 两球在空中相遇.不计空气阻力，已知重力加速度为 .下列说
法中正确的是( )
BC
A.若 、 相遇时速率相等，则
B.经 时间， 、 相遇
C.若 ,则 与 相遇在 下降途中
D.若 ，则 与 相遇在 上升途中
[解析] 和 相遇,有 ，解得 ，故B正确；
若 、 相遇时速率相等，有 ，联立解得 ，故A错误；
若两球相遇时 球处于下降过程中，则 ，由 ，解得 ，故C正确，D错误.
5.某校广场西则建有音乐喷泉，其中有一个刚露出水面的喷管，其横截面积为
，竖直向上喷水时，水能够上升的最大高度可达 .若不计空气阻
力， 取 ，求此时喷出管口的水的速度和此管喷水时留在空中水的体
积.
[答案]
[解析] 由 ，解得此时喷出管口的水的速度 ；水
从喷出到落地的时间 ，此管喷水时，留在空中水的体积
6.如图所示,运动员从离水面 高的平台上向上跃起,举起双臂直
体离开台面,此时其重心位于从手到脚全长的中点,跃起后重心升高
到达最高点,落水时身体竖直,手先入水(此过程中运动员
在水平方向的运动忽略不计).现把运动员看作全部质量集中在重心
的一个质点, 取 ,求：
(1) 运动员起跳时的速度 的大小;
[答案]
[解析] 上升阶段,有 解得 .
(2) 从运动员离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间 .
[答案]
[解析] 上升阶段,有 解得 自由落体运动过程,有
其中 解得 故
.
1.(竖直上抛运动图像)小球以某一初速度由地面竖直向上运动，当其落回地面时会与地面发生碰撞并反弹，如此上升、下落及反弹数次.若规定竖直向下为正方向，不计碰撞时间和空气阻力，则如图所示的图像中能正确描述小球运动过程的是( )
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 小球以某一初速度由地面竖直向上运动过程中，只受到竖直向下的重力，加速度为；下落过程中，只受到竖直向下的重力，做自由落体运动，加速度为；接触地面反弹后，速度立即反向，做竖直上抛运动，小球在空中运动的加速度一直是，则图像的斜率不发生变化，但由于碰撞中存在能量损失，所以小球弹起时的速度越来越小，故A、B、C错误，D正确.
2.(竖直上抛运动规律)[2023·湖南衡阳八中月考] 已知(中国男子篮球职业联赛)场地的篮球筐距地面高度为，某篮球运动员站立举手能达到高度.若他竖直跳起到最高点时刚好可以将篮球扣入筐中，不计空气阻力，重力加速度取，则他起跳的初速度约为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 该运动员做竖直上抛运动，位移为，根据速度—位移关系式，解得，选项B正确.
3.(自由落体运动多体问题)从高处每隔一定时间释放一球，让它们自由落下，不计空气阻力，取.已知第一个球刚好落地时，第五个球刚释放，则这时第二个球离地面的高度是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 第一个小球落地时，从上到下相邻两球之间的距离之比为，因此第一、二两球间距离为，故D正确.
4.(自由落体运动线状体问题)一条悬链长，从悬挂点处断开，使其自由下落，不计空气阻力，取，则整条悬链通过悬挂点正下方处的一点所需的时间是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 链条上、下端到达该点用时分别为，，则，故B正确.
知识点一 自由落体运动规律的应用
1.(多选)甲、乙两物体分别从和高处同时由静止自由落下，不计空气阻力，则( )
AC
A.甲落地时的速度是乙的
B.甲落地所需的时间是乙的2倍
C.下落时甲的速度与乙的速度相同
D.甲、乙两物体在最后内下落的高度相等
[解析] 甲、乙的落地速度之比为，选项A正确；
甲、乙的落地时间之比为，选项B错误；
甲、乙下落的初速度相同，重力加速度相同，则下落时的瞬时速度相同，选项C正确；
甲在最后内的平均速度小于乙在最后内的平均速度，故最后内甲下落的高度小于乙下落的高度，选项D错误.
2.一观察者发现，每隔一定时间有一水滴自高处的屋檐落下取，而且当看到第五滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面，则此时第二滴水离地的高度
是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，当第一滴水落地时，第五滴水刚好开始下落，它们之间正好有四个相等时间间隔，第一滴水与第二滴水下落的时间之比,下落的位移之比，所以第二滴水下落的高度为，第二滴水离地的高度为，D正确.
3.有一种“傻瓜”相机的曝光时间(快门打开到关闭的时间)是固定不变的.为了估测该相机的曝光时间,有位同学提出了下述实验方案:他从墙面上点的正上方与相距处使一个小石子自由落下,在小石子下落通过点时,立即按动快门,对小石子照相,得到如图所示的照片,由于石子的运动,它在照片上留下一条模糊的径迹.已知每块砖的平均厚度是.请从上述信息和照片算出这个“傻瓜”相机的曝光时间最接近( )
A
A. B. C. D.
[解析] 石子做自由落体运动，它留下径迹的对应运动时间即为照相机的曝光时间.设开始下落点为，由照片可以看出，长对应两块砖的厚度，即的实际长度为，则，，由知，从到A的时间，从到B的时间，所以曝光时间，故选项A正确.
知识点二 竖直上抛运动的规律及应用
4.如图所示，某同学身高，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了高的横杆，取，据此可算出他起跳时竖直向上的速度大约为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 此同学身高，其站立时重心离地面的高度约为，当他横着越过高的横杆时，重心升高了，由，解得初速度,其结果与最接近，选项B正确.
5.(多选)[2023·河北衡水中学月考] 物体以初速度竖直上抛，经到达最高点，空气阻力不计，取，则对上升过程，下列说法正确的是( )
AB
A.物体上升的最大高度为
B.物体的速度改变量大小为，方向竖直向下
C.物体在第内、第内、第内的平均速度之比为
D.物体在内、内、内的位移之比为
[解析] 将上升的过程倒过来看成自由落体过程，因此上升的最大高度，A正确；
以向上为正方向，则初速度为，到达最高点时速度为零，因此速度改变量，负号表示方向竖直向下，B正确；
由于从静止开始的匀变速直线运动中连续相等的时间间隔内位移之比为 ，因此物体在上升的过程中，第内、第内、第内的位移之比为，故平均速度之比也为，C错误；
物体在上升的过程中，第内、第内、第内的位移之比为，因此在内、内、内位移之比为，D错误.
6.一个从地面竖直上抛的物体两次经过同一窗户下边线的时间间隔为，两次经过同一窗户上边线的时间间隔为，不计空气阻力，重力加速度为，则窗户的高度为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 根据竖直上抛运动的对称性，从下边线至最高点，有，从上边线至最高点，有，则窗户高度，故选项A正确.
7.(多选)[2023·广东湛江一中月考] 某同学依次将、两小球竖直向上抛出，球从抛出至回到抛出点的时间为，球从抛出至回到抛出点的时间为，不计空气阻力，则( )
AD
A.、两小球的初速度之比是 B.、两小球的初速度之比是
C.、两小球上升的最大高度之比是 D.、两小球上升的最大高度之比是
[解析] 根据竖直上抛运动的对称性可知，小球回到出发点的时间，则A、B两小球的初速度之比是，选项A正确，B错误；
根据可知，A、B两小球上升的最大高度之比是，选项C错误，D正确.
8.(多选)[2023·湖南长沙期中] 某物体以的初速度竖直上抛，不计空气阻力，取，则内物体的( )
ABC
A.路程为 B.位移大小为，方向竖直向上
C.速度改变量大小为 D.平均速度大小为，方向竖直向上
[解析] 物体上升的最大高度为，上升的时间为，从最高点开始内下落的高度，所以内物体通过的路程为，位移大小为，方向竖直向上，故A、B正确；
内物体的速度改变量，所以速度改变量大小为，故C正确；
内物体的平均速度，方向竖直向上，故D错误.
9.[2023·广西南宁二中月考] 如图所示，某同学调整自来水管的阀门，当第2滴水正欲滴下时，第1滴水刚好到达地面，此后每隔相同的时间间隔滴下1滴水，水下落的高度为，测出从第1滴水开始下落到第滴水落地所用的时间为，则当地重力加速度大小为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 第1滴水落地时，第2滴水正好开始下落，说明空中有一个时间间隔，实际上就是每滴水下落的时间均为，且，由，解得，故A正确.
10.(多选)在高的塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出速度为，不计空气阻力，取，则物体位移大小为时，物体离开抛出点的时间可能为( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 物体在塔顶A处竖直向上抛出，位移大小为的位置有两处，如图所示，一处在A处之上，另一处在A处之下.在A处之上时，通过位移为时又有上升和下降两种过程.根据，在A处之上时，物体的位移为，则，解得，；在A处之下时，物体的位移为，则，解得，故A、B、D正确.
11.[2023·重庆八中月考] 小球从空中自由下落，与地面相碰后反弹到空中某一高度，其图像如图所示，重力加速度为.下列说法正确的是( )
D
A.时刻，小球回到出发位置 B.
C.小球反弹的最大高度为 D.小球从0到时间内的总位移是
[解析] 小球从空中自由下落过程和反弹后上升过程的加速度都为重力加速度，由图像可知，，解得，选项B错误；
由图像可知，时刻，小球反弹到最高点，小球反弹的最大高度为，而小球的下落高度为，则小球从0到时间内的总位移是，所以时刻小球在出发位置下方，选项A、C错误；D正确.
12.有一条竖直悬挂起来的长为的细杆，在杆的正下方离端处有一个水平放置的圆环，如图所示.若让杆自由下落，取,求：
(1) 从杆下落开始，上端及下端分别到达圆环所经历的时间；
[答案] ;
[解析] 杆下落过程中做自由落体运动
杆的端到达圆环的过程中，有
杆的端到达圆环的过程中，有
其中，
解得，.
(2) 杆通过圆环的过程所用的时间.
[答案]
[解析] 杆通过圆环的过程所用的时间.
13.某次10米跳台跳水比赛中，运动员从离水面高的平台上向上跃起，举起双臂竖直离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高到最高点，落水时身体竖直，手先入水(此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，取，.求：
(1) 运动员起跳时的速度的大小；
[答案]
[解析] 运动员起跳到最高点的过程中有，代入数据得.
(2) 从离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间.
[答案]
[解析] 方法一:设运动员起跳到最高点的过程中所需时间为，由，代入数据得
设运动员从最高点到手接触水面的过程所需时间为，由，代入数据得
则所求时间为
方法二:设竖直向上为正方向，则有
，解得.
14.[2023·贵州遵义期中] 如图所示，小球甲从距离地面高度为处以速度竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法中正确的是( )
B
A.小球甲、乙运动的第内位移相同
B.小球乙落地前，两小球的速度之差保持不变
C.落地前的运动过程中，小球甲、乙的平均速率之比为
D.至小球乙落地时，甲、乙两球的位移大小之比为
[解析] 小球甲、乙运动的第内位移大小分别为，，两小球的位移大小相等，但方向相反，位移不相同，A错误；
以小球乙为参考系，小球甲向上做匀速直线运动，小球乙落地前，两小球的速度之差不变，等于，B正确；
小球乙落地所用的时间为，小球乙落地时，甲、乙两球的位移大小分别为，，甲、乙两球的位移大小之比为，D错误；
落地前的运动过程中，小球乙的平均速率为，小球甲上升的时间为，上升的最大高度为 ，离地面的最大高度为，做自由落体运动的时间为，落地前的运动过程中，小球甲的平均速率为，所以小球甲、乙的平均速率之比为
，C错误.专题课:自由落体运动与竖直上抛运动
例1 7 s 245 m
[解析] 方法一:基本公式法
画出小球的运动示意图如图所示,其中t=4 s,h=200 m
根据自由落体公式得H=gT2,H-h=g(T-t)2
联立解得T=7 s,H=245 m.
方法二:平均速度法
最后4 s内的平均速度为== m/s=50 m/s
因为在匀变速运动中某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,所以下落至最后2 s初的瞬时速度为v'==50 m/s,则下落至最后2 s前所用的时间t'== s=5 s
所以T=t'+=5 s+ s=7 s,H=gT2=245 m.
变式1 AC [解析] 三个球均做自由落体运动,由v2=2gh,解得v=,则v1∶v2∶v3=∶∶=∶∶1,故A正确;三个球均做自由落体运动,由h=gt2,解得t=,则t1∶t2∶t3=∶∶=∶∶1,故B错误;b与a开始下落的时间间隔为t3,c与b开始下落的时间间隔为t3,故C正确;小球下落的加速度均为g,与重力及质量无关,故D错误.
例2 7.4×10-2 s
[解析] 作出铁链AB下落过程的示意图,如图所示,可以看出,铁链通过小孔的时间为从B端到达小孔O至A端离开小孔O的时间.
方法一:设B端到达小孔O所需的时间为t1,发生的位移为x1,A端到达小孔O所需的时间为t2,发生的位移为x2=2.45 m,铁链长度L=0.49 m,铁链通过小孔的时间为t.由图可知
x1=x2-L=1.96 m
x1=g
x2=g
t=t2-t1
联立解得t=7.4×10-2 s.
方法二:设铁链的B端到达小孔O和铁链的A端离开小孔O时,铁链下降的高度分别为x1和x2,它们经过小孔O时的速度分别为v1和v2,则v1=,v2=.
设铁链经过小孔O的时间为t,位移为铁链的长度L,则t===≈7.4×10-2 s.
变式2 AC [解析] 若两者无初速度同时释放,则在相同时间内下降的高度相同,可知小球在空中不能穿过空心管,故A正确.若小球自由下落,管固定不动,则小球穿过管的时间是小球到达管的下端与到达管的上端的时间之差,t=-,故B错误,C正确.若两者均无初速度释放,但小球提前了Δt时间释放,根据Δx=g(t+Δt)2-gt2=g(Δt)2+gtΔt=L+h,可知t=-,故D错误.
[模型建构] (1)竖直向上 重力作用 (2)初速度为v0 自由落体加速度 ①v=v0-gt ②x=v0t-gt2 ③v2-=-2gx
例3 495 m
[解析] 方法一:全程法
将产品的运动视为匀变速直线运动,规定向上为正方向,则释放产品后有v0=10 m/s,a=-g=-10 m/s2
故H=v0t+at2=-495 m.
即产品刚释放时离地面的高度为495 m.
方法二:分段法
画出运动草图如图所示.将产品的运动过程分为A→B和B→C→D两段来处理,A→B为竖直上抛运动,B→C→D为自由落体运动.
在A→B段,根据竖直上抛运动规律可知
tAB==1 s
hAB=hBC=g=5 m
由题意可知tBD=11 s-1 s=10 s
根据自由落体运动规律可得hBD=g=500 m
故释放点离地面的高度H=hBD-hBC=495 m.
变式3 B [解析] 位移是从初位置指向末位置的有向线段,物体从抛出到落地过程的位移为-15 m,负号表示方向竖直向下,故A错误;物体上升的时间为t1==1 s,上升的最大高度为h1== m=5 m,物体从抛出到落地过程中,路程为s=h+2h1=25 m,故B正确;物体下落通过的位移为h2=h+h1=20 m,根据运动学公式得h2=g,解得t2=2 s,所以物体从抛出到落地过程所用的时间为t=t1+t2=3 s,故C错误;根据速度公式得v=v0-gt=10 m/s-10×3 m/s=-20 m/s,负号表示方向竖直向下,故D错误.
随堂巩固
1.D [解析] 小球以某一初速度由地面竖直向上运动过程中,只受到竖直向下的重力,加速度为g;下落过程中,只受到竖直向下的重力,做自由落体运动,加速度为g;接触地面反弹后,速度立即反向,做竖直上抛运动,小球在空中运动的加速度一直是g,则v-t图像的斜率不发生变化,但由于碰撞中存在能量损失,所以小球弹起时的速度越来越小,故A、B、C错误,D正确.
2.B [解析] 该运动员做竖直上抛运动,位移为h=3.05 m-2.60 m=0.45 m,根据速度—位移关系式v2-=-2gh,解得v0=3 m/s,选项B正确.
3.D [解析] 第一个小球落地时,从上到下相邻两球之间的距离之比为1∶3∶5∶7,因此第一、二两球间距离为×16 m=7 m,故D正确.
4.B [解析] 链条上、下端到达该点用时分别为t上== s=2 s,t下== s=1.6 s,则Δt=t上-t下=0.4 s,故B正确.专题课:自由落体运动与竖直上抛运动
学习任务一 自由落体运动规律的应用
[科学思维]
(1)自由落体运动的基本公式
①速度—时间关系:v=gt.
②位移—时间关系:x=gt2.
③速度—位移关系:v2=2gx.
(2)匀变速直线运动与自由落体运动的规律比较
匀变速直线运动的一般规律 自由落体运动规律
速度公式 v=v0+at v=gt
平均速度公式 = =
位移公式 x=v0t+at2 x=gt2
位移与速度 的关系 v2-=2ax v2=2gx
推论 Δx=aT2 Δx=gT2
(3)自由落体运动是匀变速直线运动的特例,所以匀变速直线运动的推论仍适用于自由落体运动,如平均速度公式、逐差相等公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例结论等.
例1 一个小球从某高处自由落下,经过最后200 m所用的时间是4 s,则小球下落所用的总时间T和下落的总高度H分别是多少 (g取10 m/s2,空气阻力不计)
变式1 (多选)[2023·北京八中月考] 如图所示,在水平桌面上方有三个金属小球a、b、c,离桌面高度之比h1∶h2∶h3 = 3∶2∶1.若先后顺次释放a、b、c,三球刚好同时落到桌面上,不计空气阻力,则( )
A.三者到达桌面时的速度大小之比是∶∶1
B.三者运动时间之比为3∶2∶1
C.b与a开始下落的时间间隔小于c与b开始下落的时间间隔
D.三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比,与质量成反比
例2 一条铁链AB长0.49 m,A端悬挂在一点静止,如果让它自由下落,求整个铁链通过悬挂点正下方2.45 m处的小孔O需要的时间.(g取10 m/s2,不计空气阻力)
变式2 (多选)[2023·河南郑州一中月考] 如图所示,小球位于空心管的正上方h高处,空心管长为L,小球的球心与管的轴线重合,并在竖直线上,小球直径小于管的内径,不计空气阻力,重力加速度为g.下列判断正确的是( )
A.若两者均无初速度同时释放,则小球在空中不能过空心管
B.若小球自由下落,管固定不动,则小球穿过管所用的时间t=
C.若小球自由下落,管固定不动,则小球穿过管所用的时间t=-
D.若两者均无初速度释放,但小球提前Δt时间释放,则从释放空心管到小球穿过管的时间t=
【要点总结】
1.在自由落体运动中,我们常遇到多个物体以相同的加速度不同时运动的问题,求解这类问题时,如果对每个物体列方程,则求解过程较为复杂;若将它们转化为一个物体的运动,其他物体只不过是重复这一物体的运动,则能化繁为简.
2.在自由落体运动的有些问题中,物体相对于研究的问题不能看作是质点模型,求解这类问题时,我们一般的思路是把研究物体转化为来研究物体上的一点,这样可将物体的自由落体运动转化为该质点的自由落体运动,再由自由落体运动公式求解.
学习任务二 竖直上抛运动的规律及应用
[模型建构] 竖直上抛运动
(1)定义:将物体以初速度v0 抛出,抛出物体只受 (或空气阻力可以忽略),该运动叫作竖直上抛运动.
(2)规律:竖直上抛运动是 的匀变速直线运动,其加速度等于 .
①速度公式: ;
②位移公式: ;
③位移与速度的关系式: ,上升的最大高度xm= .
(3)v-t图像如图所示(取竖直向上为正方向).
例3 研究人员为检验某一产品的抗撞击能力,乘坐热气球并携带该产品竖直升空,当热气球以10 m/s的速度匀速上升到某一高度时,研究人员从热气球上将产品自由释放,测得经11 s产品撞击地面.不计产品所受的空气阻力,求产品释放的位置距地面的高度.(g取10 m/s2)
变式3 [2023·山东日照一中月考] 在离地面15 m的高处以10 m/s的初速度竖直上抛一物体,以向上为正方向,重力加速度g取10 m/s2,则物体从抛出到落地过程 ( )
A.位移为15 m B.路程为25 m
C.所用的时间为2 s D.落地速度为20 m/s
【要点总结】
竖直上抛运动处理方法
(1)分段法:可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理.上升阶段:v=v0-gt,h=v0t-gt2;下落阶段:v=gt,h=gt2.
(2)整体法:将竖直上抛运动视为初速度为v0、加速度为-g的匀变速直线运动.取整个过程分析,选竖直向上为正方向,则有v=v0-gt,h=v0t-gt2.v>0时,处于上升阶段;v<0时,处于下落阶段.h>0时,在抛出点上方;h<0时,在抛出点下方.
1.(竖直上抛运动图像)小球以某一初速度由地面竖直向上运动,当其落回地面时会与地面发生碰撞并反弹,如此上升、下落及反弹数次.若规定竖直向下为正方向,不计碰撞时间和空气阻力,则如图所示的v-t图像中能正确描述小球运动过程的是( )
2.(竖直上抛运动规律)[2023·湖南衡阳八中月考] 已知CBA(中国男子篮球职业联赛)场地的篮球筐距地面高度为3.05 m,某篮球运动员站立举手能达到高度2.60 m.若他竖直跳起到最高点时刚好可以将篮球扣入筐中,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则他起跳的初速度约为( )
A.1 m/s B.3 m/s
C.5.2 m/s D.10 m/s
3.(自由落体运动多体问题)从16 m高处每隔一定时间释放一球,让它们自由落下,不计空气阻力,g取10 m/s2.已知第一个球刚好落地时,第五个球刚释放,则这时第二个球离地面的高度是 ( )
A.15 m B.12 m
C.9 m D.7 m
4.(自由落体运动线状体问题)一条悬链长7.2 m,从悬挂点处断开,使其自由下落,不计空气阻力,g取10 m/s2,则整条悬链通过悬挂点正下方20 m处的一点所需的时间是( )
A.0.3 s
B.0.4 s
C.0.7 s
D.1.2 s专题课:自由落体运动与竖直上抛运动
1.AC [解析] 甲、乙的落地速度之比为====,选项A正确;甲、乙的落地时间之比为====,选项B错误;甲、乙下落的初速度相同,重力加速度相同,则下落1 s时的瞬时速度相同,选项C正确;甲在最后1 s内的平均速度小于乙在最后1 s内的平均速度,故最后1 s内甲下落的高度小于乙下落的高度,选项D错误.
2.D [解析] 自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动,当第一滴水落地时,第五滴水刚好开始下落,它们之间正好有四个相等时间间隔,第一滴水与第二滴水下落的时间之比t1∶t2=4∶3,下落的位移之比h1∶h2=∶=16∶9,所以第二滴水下落的高度为h2=h1=×8 m=4.5 m,第二滴水离地的高度为Δh=h1-h2=8 m-4.5 m=3.5 m,D正确.
3.A [解析] 石子做自由落体运动,它留下径迹AB的对应运动时间即为照相机的曝光时间.设开始下落点为O,由照片可以看出,AB长对应两块砖的厚度,即AB的实际长度为AB=6×2 cm=0.12 m,则OA=1.8 m,OB=1.92 m,由OA= h=gt2知,从O到A的时间tA= s=0.6 s,从O到B的时间tB= s=0.62 s,所以曝光时间Δt=tB-tA=0.02 s,故选项A正确.
4.B [解析] 此同学身高1.8 m,其站立时重心离地面的高度约为0.9 m,当他横着越过1.8 m高的横杆时,重心升高了0.9 m,由=2gh,解得初速度v0== m/s=3 m/s,其结果与4 m/s最接近,选项B正确.
5.AB [解析] 将上升的过程倒过来看成自由落体过程,因此上升的最大高度h=gt2=×10×32 m=45 m,A正确;以向上为正方向,则初速度为v0=gt=30 m/s,到达最高点时速度为零,因此速度改变量Δv=0-v0=-30 m/s,负号表示方向竖直向下,B正确;由于从静止开始的匀变速直线运动中连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5……,因此物体在上升的过程中,第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为5∶3∶1,故平均速度之比也为5∶3∶1,C错误;物体在上升的过程中,第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为5∶3∶1,因此在1 s内、2 s内、3 s内位移之比为5∶8∶9,D错误.
6.A [解析] 根据竖直上抛运动的对称性,从下边线至最高点,有h1=g=g,从上边线至最高点,有h2=g=g,则窗户高度h=h1-h2=g,故选项A正确.
7.AD [解析] 根据竖直上抛运动的对称性可知,小球回到出发点的时间t=,则A、B两小球的初速度之比是1∶2,选项A正确,B错误;根据h=∝可知,A、B两小球上升的最大高度之比是 1∶4,选项C错误,D正确.
8.ABC [解析] 物体上升的最大高度为 h1== m=45 m,上升的时间为t1==3 s,从最高点开始2 s内下落的高度h2=g=×10×22 m=20 m,所以5 s内物体通过的路程为s=h1+h2=65 m,位移大小为x=45 m-20 m=25 m,方向竖直向上,故A、B正确;5 s内物体的速度改变量Δv=at=-gt=-10×5 m/s=-50 m/s,所以速度改变量大小为50 m/s,故C正确;5 s内物体的平均速度== m/s=5 m/s,方向竖直向上,故D错误.
9.A [解析] 第1滴水落地时,第2滴水正好开始下落,说明空中有一个时间间隔T,实际上就是每滴水下落的时间均为T,且T=,由H=gT2,解得g=,故A正确.
10.ABD [解析] 物体在塔顶A处竖直向上抛出,位移大小为15 m的位置有两处,如图所示,一处在A处之上,另一处在A处之下.在A处之上时,通过位移为15 m时又有上升和下降两种过程.根据h=v0t-gt2,在A处之上时,物体的位移为15 m,则15=20t-×10t2,解得t1=1 s,t2=3 s;在A处之下时,物体的位移为-15 m,则-15=20t-gt2,解得t=(2+) s,故A、B、D正确.
11.D [解析] 小球从空中自由下落过程和反弹后上升过程的加速度都为重力加速度g,由图像可知t1=,t2-t1=,解得t2=t1,选项B错误;由图像可知,t2时刻,小球反弹到最高点,小球反弹的最大高度为h==,而小球的下落高度为H=,则小球从0到t2时间内的总位移是h'=H-h=,所以t2时刻小球在出发位置下方,选项A、C错误;D正确.
12.(1)1.0 s 0.4 s (2)0.6 s
[解析] (1)杆下落过程中做自由落体运动
杆的A端到达圆环的过程中,有hA=g
杆的B端到达圆环的过程中,有hB=g
其中hA=5.0 m,hB=0.8 m
解得tA=1.0 s,tB=0.4 s.
(2)杆通过圆环的过程所用的时间t=tA-tB=0.6 s.
13.(1)3 m/s (2)1.75 s
[解析] (1)运动员起跳到最高点的过程中有-=-2gh1,代入数据得v0=3 m/s.
(2)方法一:设运动员起跳到最高点的过程中所需时间为t1,由v1=v0-gt1,代入数据得t1=0.3 s
设运动员从最高点到手接触水面的过程所需时间为t2,由h1+h=g,代入数据得t2=1.45 s
则所求时间为t=t1+t2=1.75 s
方法二:设竖直向上为正方向,则有
-h=v0t-gt2,解得t=1.75 s.
14.B [解析] 小球甲、乙运动的第1 s内位移大小分别为h甲1=v0t1-g=5 m,h乙1=g=5 m,两小球的位移大小相等,但方向相反,位移不相同,A错误;以小球乙为参考系,小球甲向上做匀速直线运动,小球乙落地前,两小球的速度之差不变,等于10 m/s,B正确;小球乙落地所用的时间为t==2 s,小球乙落地时,甲、乙两球的位移大小分别为h甲=v0t-gt2=0,h乙=gt2=20 m,甲、乙两球的位移大小之比为0∶20,D错误;落地前的运动过程中,小球乙的平均速率为==10 m/s,小球甲上升的时间为t上==1 s,上升的最大高度为h上=g=5 m,离地面的最大高度为H=h上+h1=20 m,做自由落体运动的时间为t下==2 s,落地前的运动过程中,小球甲的平均速率为== m/s,所以小球甲、乙的平均速率之比为==,C错误.专题课:自由落体运动与竖直上抛运动
◆ 知识点一 自由落体运动规律的应用
1.(多选)甲、乙两物体分别从10 m和20 m高处同时由静止自由落下,不计空气阻力,则( )
A.甲落地时的速度是乙的
B.甲落地所需的时间是乙的2倍
C.下落1 s时甲的速度与乙的速度相同
D.甲、乙两物体在最后1 s内下落的高度相等
2.一观察者发现,每隔一定时间有一水滴自8 m高处的屋檐落下(g取10 m/s2),而且当看到第五滴水刚要离开屋檐时,第一滴水正好落到地面,则此时第二滴水离地的高度是( )
A.2 m
B.2.5 m
C.2.9 m
D.3.5 m
3.有一种“傻瓜”相机的曝光时间(快门打开到关闭的时间)是固定不变的.为了估测该相机的曝光时间,有位同学提出了下述实验方案:他从墙面上A点的正上方与A相距H=1.8 m处使一个小石子自由落下,在小石子下落通过A点时,立即按动快门,对小石子照相,得到如图所示的照片,由于石子的运动,它在照片上留下一条模糊的径迹AB.已知每块砖的平均厚度是6 cm.请从上述信息和照片算出这个“傻瓜”相机的曝光时间最接近( )
A.0.02 s B.0.06 s
C.0.5 s D.0.008 s
◆ 知识点二 竖直上抛运动的规律及应用
4.如图所示,某同学身高1.8 m,在运动会上他参加跳高比赛, 起跳后身体横着越过了1.8 m高的横杆,g取10 m/s2,据此可算出他起跳时竖直向上的速度大约为( )
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
5.(多选)[2023·河北衡水中学月考] 物体以初速度v0竖直上抛,经3 s到达最高点,空气阻力不计,g取10 m/s2,则对上升过程,下列说法正确的是( )
A.物体上升的最大高度为45 m
B.物体的速度改变量大小为30 m/s,方向竖直向下
C.物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为3∶2∶1
D.物体在1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为5∶8∶10
6.一个从地面竖直上抛的物体两次经过同一窗户下边线的时间间隔为t1,两次经过同一窗户上边线的时间间隔为t2,不计空气阻力,重力加速度为g,则窗户的高度为( )
A.g(-) B.g(-)
C.g(-) D.g(-)
7.(多选)[2023·广东湛江一中月考] 某同学依次将A、B两小球竖直向上抛出,A球从抛出至回到抛出点的时间为t,B球从抛出至回到抛出点的时间为2t,不计空气阻力,则 ( )
A.A、B两小球的初速度之比是1∶2
B.A、B两小球的初速度之比是1∶4
C.A、B两小球上升的最大高度之比是 1∶2
D.A、B两小球上升的最大高度之比是 1∶4
8.(多选)[2023·湖南长沙期中] 某物体以30 m/s的初速度竖直上抛,不计空气阻力,g取10 m/s2,则5 s内物体的( )
A.路程为65 m
B.位移大小为25 m,方向竖直向上
C.速度改变量大小为50 m/s
D.平均速度大小为13 m/s,方向竖直向上
9.[2023·广西南宁二中月考] 如图所示,某同学调整自来水管的阀门,当第2滴水正欲滴下时,第1滴水刚好到达地面,此后每隔相同的时间间隔滴下1滴水,水下落的高度为H,测出从第1滴水开始下落到第n滴水落地所用的时间为t,则当地重力加速度大小为( )
A.
B.
C.
D.
10.(多选)在H=30 m高的塔顶上将一物体竖直向上抛出,抛出速度为v0=20 m/s,不计空气阻力,g取10 m/s2,则物体位移大小为15 m时,物体离开抛出点的时间可能为( )
A.1 s B.3 s
C.(2+) s D.(2+) s
11.[2023·重庆八中月考] 小球从空中自由下落,与地面相碰后反弹到空中某一高度,其v-t图像如图所示,重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A.t2时刻,小球回到出发位置
B.t2=t1
C.小球反弹的最大高度为
D.小球从0到t2时间内的总位移是
12.有一条竖直悬挂起来的长为4.2 m的细杆AB,在杆的正下方离B端0.8 m处有一个水平放置的圆环C,如图所示.若让杆自由下落,g取10 m/s2,求:
(1)从杆下落开始,上端A及下端B分别到达圆环所经历的时间;
(2)杆通过圆环的过程所用的时间.
13.某次10米跳台跳水比赛中,运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起,举起双臂竖直离开台面,此时其重心位于从手到脚全长的中点,跃起后重心升高0.45 m到最高点,落水时身体竖直,手先入水(此过程中运动员水平方向的运动忽略不计),g取10 m/s2,≈1.45.求:
(1)运动员起跳时的速度v0的大小;
(2)从离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间t.
14.[2023·贵州遵义期中] 如图所示,小球甲从距离地面高度为h1=15 m处以速度v0=10 m/s竖直向上抛出,同时小球乙从距离地面高度为h2=20 m处开始自由下落,小球运动的过程中不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法中正确的是( )
A.小球甲、乙运动的第1 s内位移相同
B.小球乙落地前,两小球的速度之差保持不变
C.落地前的运动过程中,小球甲、乙的平均速率之比为6∶5
D.至小球乙落地时,甲、乙两球的位移大小之比为3∶4
