四川省内江市2015-2016学年高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．椭圆+=1的长轴长是（　　）
A．2
B．2
C．4
D．4
2．设函数f（x）=，则f′（π）=（　　）
A．0
B．
C．﹣
D．﹣
3．设a，b∈R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由此可归纳出：若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f′（x）（　　）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．既为奇函数又为偶函数
D．为非奇非偶函数
5．方程x2+xy=x的曲线是（　　）
A．两条直线
B．一条直线
C．一个点
D．一个点和一条直线
6．下列有关命题的说法正确的是（　　）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．命题“ x∈R，使x2+x+1＜0”的否定为：“ x∈R，使x2+x+1＜0”
C．命题“若f（x）=x3﹣2x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题
D．命题“若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题
7．直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．函数f（x）=1nx﹣x3+1的零点个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（　　）
A．﹣=1
B．﹣=1
C．﹣y2=1
D．x2﹣=1
11．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，
甲说：我在2日和3日都有值班；
乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．
据此可判断丙必定值班的日期有（　　）
A．6日和12日
B．5日和6日
C．1月和5月
D．1月和11日
12．若存在x0∈（0，3），使不等式x03﹣12x0+ax0+a﹣7＜0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（4，8）
B．[4，9）
C．（﹣∞，4]
D．（﹣∞，9）
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．复数在复平面上对应的点在第　　　　　　象限．
14．已知双曲线C与椭圆3x2+8y2=24有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y=±2x，则双曲线C的标准方程为　　　　　　．
15．若函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　　．
16．设点P在椭圆x2+=1上，点Q在直线y=x+4上，若|PQ|的最小值为，则m=　　　　　　．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（1）若双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），求实数m的取值范围；
（2）若方程﹣=1表示椭圆，求实数t的取值范围．
18．已知函数f（x）=2x3﹣3ax2+1，其中a∈R．
（1）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）求函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值．
19．在抛物线y2=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值．
20．已知函数f（x）=lnx+，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数h（x）=f（x）﹣1在区间[，e]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
21．已知椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的上顶点P在圆C：x2+（y+2）2=9上，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过圆C的圆心的直线与椭圆E交于A、B两点，且 =1，求直线l的方程．
22．设a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数，函数f（x）=ex+ax+b在点（0，1）处的切线与x轴平行．
（1）求a，b的值；
（2）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．
　
2015-2016学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．椭圆+=1的长轴长是（　　）
A．2
B．2
C．4
D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆方程得出a，从而得出长轴长2a．
【解答】解：∵椭圆方程为：
+=1，即，
∴a=2，
∴椭圆的长轴长为2a=4．
故选D．
　
2．设函数f（x）=，则f′（π）=（　　）
A．0
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】导数的运算．
【分析】求函数的导数，直接进行计算即可．
【解答】解：函数的导数f′（x）=，
则f′（π）==﹣，
故选：C．
　
3．设a，b∈R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．
【解答】解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．
“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．
所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
故选B．
　
4．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由此可归纳出：若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f′（x）（　　）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．既为奇函数又为偶函数
D．为非奇非偶函数
【考点】归纳推理．
【分析】由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数．
【解答】解：由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（x4）'=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
…
我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．
故选：B．
　
5．方程x2+xy=x的曲线是（　　）
A．两条直线
B．一条直线
C．一个点
D．一个点和一条直线
【考点】曲线与方程．
【分析】方程等价变形为即
x（x+y﹣1）=0，化简可得
x=0或
x+y﹣1=0，表示两条直线．
【解答】解：方程x2+xy=x
即
x（x+y﹣1）=0，
化简可得
x=0或
x+y﹣1=0．
而x=0表示一条直线，x+y﹣1=0也表示一条直线，
故方程x2+xy=x的曲线是两条直线，
故选：A．
　
6．下列有关命题的说法正确的是（　　）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．命题“ x∈R，使x2+x+1＜0”的否定为：“ x∈R，使x2+x+1＜0”
C．命题“若f（x）=x3﹣2x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题
D．命题“若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题
【考点】四种命题的真假关系．
【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，不正确；
对于B，命题“ x∈R，使x2+x+1＜0”的否定为：“ x∈R，使x2+x+1≥0”，不正确；
对于C，f（x）=x3﹣2x2+4x+2，则f′（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2，∴函数在2的左右附近，导数的符号不改变，∴命题“若f（x）=x3﹣2x2+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为假命题；
对于D，若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为，正确，根据原命题与逆否命题是等价命题，故命题“若抛物线的方程为y=﹣4x2，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题，正确．
故选：D．
　
7．直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|，由此能求出线段AB的长．
【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l0，C是AB的中点，
分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，
由抛物线定义，
得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|
==xA+xB+p=2xC+p=8．
故选：D．
　
8．函数f（x）=1nx﹣x3+1的零点个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】函数零点的判定定理；函数的图象与图象变化．
【分析】由题意得，f（x）的零点个数即方程f（x）=0的解的个数，1nx=x3﹣1的解的个数，即函数y=1nx与函数y=x3﹣1的交点个数，利用函数性质分别画出其图象，即可找到交点个数．
【解答】解：由题意得：
f（x）=0即1nx=x3﹣1，
分别画出y=1nx，y=x3﹣1的图象如下图，
所以交点个数为2个，即y=f（x）的零点个数为2个，
故选：C．
　
9．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项
【解答】解：观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，
对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求，
故选D．
　
10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（　　）
A．﹣=1
B．﹣=1
C．﹣y2=1
D．x2﹣=1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，
∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，
∴，
∴b=a，
∵焦点为F（2，0），
∴a2+b2=4，
∴a=1，b=，
∴双曲线的方程为x2﹣=1．
故选：D．
　
11．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，
甲说：我在2日和3日都有值班；
乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．
据此可判断丙必定值班的日期有（　　）
A．6日和12日
B．5日和6日
C．1月和5月
D．1月和11日
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、11日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．
【解答】解：由题意，1至12的和为78，
因为三人各自值班的日期之和相等，
所以三人各自值班的日期之和为26，
根据甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在2、3、10、11日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是6日和12日，
故选：A．
　
12．若存在x0∈（0，3），使不等式x03﹣12x0+ax0+a﹣7＜0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（4，8）
B．[4，9）
C．（﹣∞，4]
D．（﹣∞，9）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数f（x）=，求函数的导数，研究函数的极值和最值进行求解即可．
【解答】解：若存在x0∈（0，3），使不等式x03﹣12x0+ax0+a﹣7＜0成立，
等价为若存在x0∈（0，3），使不等式a（x0+1）＜﹣x03+12x0+7成立，
即a＜，
设f（x）=，
则f′（x）=
===
=，
由f′（x）＞0得﹣2（x﹣1）（2x2+5x+5）＞0，得x﹣1＜0，得0＜x＜1，此时函数递增，
由f′（x）＜0得﹣2（x﹣1）（2x2+5x+5）＜0，得x﹣1＞0，得1＜x＜3，此时函数递减，
即当x=1时，函数取得极大值，同时也是最大值f（1）==9，
∵f（0）=7，f（3）===4，
即当x∈（0，3），则4＜f（x）≤9，
要使a＜f（x），
则a＜9，
故选：D
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．复数在复平面上对应的点在第　二　象限．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】化简复数，使它的分母为实数，只需分子分母同乘分母的共轭复数，整理为a+bi（a、b∈R），根据（a，b）的位置可得复数在复平面上对应的点所在象限．
【解答】解：复数z===﹣+，
复数对应的点（﹣，）位于第二象限，
故答案为：二．
　
14．已知双曲线C与椭圆3x2+8y2=24有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y=±2x，则双曲线C的标准方程为　x2﹣=1　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标，得出双曲线C的焦点在x轴上和c的值，再根据渐近线方程，求出a、b的值，即可得出双曲线C的标准方程．
【解答】解：椭圆3x2+8y2=24的标准方程是+=1，
焦点坐标为（﹣，0）和（，0）；
所以双曲线C的焦点在x轴上，且c=，
又渐近线方程为y=±2x，∴=2，
又c2=a2+b2，
解得a=1，b=2；
所以双曲线C的标准方程为x2﹣=1．
故答案为：x2﹣=1．
　
15．若函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是　a＞　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出f（x）的导数，问题转化为f′（x）=lnx﹣ax＜0在（0，+∞）恒成立，求出f′（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：f（x）=xlnx﹣x2﹣x的定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx﹣ax，
若函数f（x）在定义域上单调递减，
则f′（x）=lnx﹣ax＜0在（0，+∞）恒成立，
显然a＞0，
f″（x）=，
令f″（x）＞0，解得：0＜x＜，
令f″（x）＜0，解得：x＞，
∴f′（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
∴f′（x）max=f′（）=ln﹣1＜0，
解得：a＞，
故答案为：a＞．
　
16．设点P在椭圆x2+=1上，点Q在直线y=x+4上，若|PQ|的最小值为，则m=　　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】求出与直线y=x+4平行且距离为的直线方程，利用该直线与椭圆相切，△=0，从而求出m的值．
【解答】解：根据题意，椭圆x2+=1（m＞0），
与直线y=x+4平行且距离为的直线方程为y=x+2或y=x+6（舍去），
则，
消去y，得（m2+1）x2+4x+4﹣m2=0，
令△=16﹣4（m2+1）（4﹣m2）=0，
解得m2=3，
所以m=．
故答案为：．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（1）若双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），求实数m的取值范围；
（2）若方程﹣=1表示椭圆，求实数t的取值范围．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．
【分析】（1）求得双曲线的a，b，c，由离心率公式e=，结合条件解不等式即可得到所求范围；
（2）将方程化为标准方程，由题意可得2t＞0，1﹣t＞0，且2t≠1﹣t，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（1）双曲线﹣=1的a=，b=，
c==，
可得e==，
由1＜＜2，解得0＜m＜15．
则m的取值范围是（0，15）；
（2）方程﹣=1表示椭圆，
即有方程为+=1，
可得2t＞0，1﹣t＞0，且2t≠1﹣t，
即0＜t＜1，且t≠，
则实数t的取值范围为（0，）∪（，1）．
　
18．已知函数f（x）=2x3﹣3ax2+1，其中a∈R．
（1）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）求函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出函数的最小值即可．
【解答】解：（1）a＞0时，f（x）=2x3﹣3ax2+1，x＞0，
f′（x）=6x2﹣6ax=6x（x﹣a），
令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
（2）由（1）得：a＞0时，
f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
∴f（x）min=f（a）=﹣a3+1；
a≤0时，f（x）在[0，+∞）递增，
∴f（x）min=f（0）=1．
　
19．在抛物线y2=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入y2=16x整理得线段PD的中点M的轨迹．
（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论．
【解答】解：（1））设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）
∵M为线段PD的中点，∴y1+0=2y，y1=2y．
又∵P（x，y1）在y2=16x上，∴y12=16x，
∴4y2=16x，即y2=4x．
（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，可得：y2﹣4my﹣4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，
∴△AOB的面积=|OF||y1﹣y2|=≥2，m=0时取等号，
∴m=0时，△AOB的面积最小值为2．
　
20．已知函数f（x）=lnx+，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数h（x）=f（x）﹣1在区间[，e]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的定义域，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而确定极值情况．
（2）由题意可得a=x（1﹣lnx）在x∈[e﹣1，e]上有两个零点，令g（x）=x（1﹣lnx），求出导数，求得单调区间，可得最值，再由函数方程的思想，可得a的范围．
【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=﹣=，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，
令f′（x）＜0，解得；0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
函数f（x）有极小值，
f（x）极小值=f（a）=1+lna．
（2）函数h（x）=f（x）﹣1在x∈[，e]上有两个零点，
即为a=x（1﹣lnx）在x∈[，e]上有两个零点，
令g（x）=x（1﹣lnx），g′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，
当≤x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；当1＜x≤e时，g′（x）＜0，g（x）递减．
x=1处取得最大值，且为1，
x=时，g（x）=；x=e时，g（x）=0．
由题意可得：≤a＜1，
则a的取值范围是[，1）．
　
21．已知椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的上顶点P在圆C：x2+（y+2）2=9上，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过圆C的圆心的直线与椭圆E交于A、B两点，且 =1，求直线l的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由圆C：x2+（y+2）2=9上，令x=0，可得P（0，1），b=1，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆E的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，代入 =1，解出k的值即可得出．
【解答】解：（1）由圆C：x2+（y+2）2=9上，令x=0，可得y=1，或﹣5．∴P（0，1），b=1，
又，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=．
∴椭圆E的方程为：．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
直线l的斜率不存在时，不满足 =1，
设直线l的方程为：y=kx﹣2，
联立，化为：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，化为：k2．
可得x1+x2=，x1x2=．
∵ =1，∴x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=1，
∴x1x2+（kx1﹣3）（kx2﹣3）=1，
化为（1+k2）x1x2﹣3k（x1+x2）+8=0，
∴﹣+8=0，
化为：k2=5．满足△＞0．
∴k=．
∴直线l的方程为：y=x﹣2．
　
22．设a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数，函数f（x）=ex+ax+b在点（0，1）处的切线与x轴平行．
（1）求a，b的值；
（2）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m﹣1）x+n恒成立，求m+n的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据函数在图象上一点的切线斜率和函数在该点导数的关系即可求出a=﹣1，而切点在函数图象上，从而求出b=0；
（2）根据上面得出f（x）=ex﹣x，求导数f′（x）=ex﹣1，根据导数符号即可求出该函数的最小值为1，从而得出1≥[（m﹣1）x+n]max，通过判断函数（m﹣1）x+n的最大值即可讨论出m+n的最大值．
【解答】解：（1）f′（x）=ex+a；
据题意f′（0）=1+a=0；
∴a=﹣1；
∵点（0，1）在函数f（x）图象上；
∴f（0）=1+0+b=1；
∴b=0；
即a=﹣1，b=0；
（2）f（x）=ex﹣x；
f′（x）=ex﹣1；
∴x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0；
∴x=0时，f（x）取最小值1；
据题意有1≥（m﹣1）x+n；
∴1≥[（m﹣1）x+n]max；
①若m=1，则1≥n；
∴m+n的最大值为2；
②若m＜1或m＞1时，则（m﹣1）x+n在R上无最大值；
∴m+n无最大值．
　
2016年8月14日