2025-2026学年人教A版必修一第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试卷（含解析）

第一章 集合与常用逻辑用语单元测试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，且，则可以为（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．4
2．下列说法正确的是（ ）
A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3
D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素
3．若集合，且，则实数的值为 （ ）.
A．或 B． C． D．或
4．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（ ）
A．21 B．26 C．31 D．37
7．已知均为实数，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
8．已知命题，则（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．下列结论错误的是（ ）
A．任何一个集合至少有两个子集
B．空集是任何集合的真子集
C．若且，则
D．若且，则
10．下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（ ）
A．若，则
B．若，则方程有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形
D．若为无理数，则m，n均为无理数
11．已知为全集，集合A，B都是的子集，若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知集合，则 ．
13．若集合中只有一个元素，则 .
14．若集合，则的元素个数为 .
四、解答题（5个小题，共77分）
15（13分）．已知集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围．
16．（15分）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)在①；②这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选______，求实数的取值范围.
17．（15分）已知全集，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
18．（17分）（1）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围．
（2）已知，，若q是p的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．（17分）已知：集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2025年9月10日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D D A A D ABD AB
题号 11
答案 BC
1．B
【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.
【详解】因为，
所以，即，
可知，，，，
故A，C，D错误，B正确.
故选：B
2．A
【分析】根据集合中元素的特性判断.
【详解】对于A：联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确；
对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误；
对于C：不大于3的自然数包括,C错误；
对于D：，不同的数有共5个，D错误；
故选：A.
3．D
【分析】根据集合相等可得，运算求解即可.
【详解】因为，且，
则，解得或.
故选：D.
4．D
【分析】求出集合，由子集的定义可得.
【详解】由集合，所以的子集个数为个；
故选：D
5．D
【分析】依次将集合A中的四个元素，代入不等式检验，若不等式成立，则说明该元素属于集合B，从而说明该元素是中的元素；否则，该元素就不是中的元素.
【详解】因为，所以不属于集合B；
因为，所以；
因为，所以；
因为，所以.
所以，.
故选：D.
6．A
【分析】先设出参加不同比赛的人数，再利用容斥原理列出等式，进行求解.
【详解】设该单位共有职工人数为，，
参加比赛的人数为，
设参加乒乓球的人数为，参加篮球的人数为，参加羽毛球的人数为，
则，，，
设同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数，
同时参加乒乓球、羽毛球比赛的人数，
则，，
设同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数，三项比赛都不参加的人数为，
则，，
则由容斥原理得，
代入相应数值得，
解得，
设只参加羽毛球比赛的人数为，
则由容斥原理得.
故选：A
7．A
【分析】结合不等式的性质，分别判断充分性与必要性即可.
【详解】时，假设“或”不成立，即有且，
当且时，，这与已知条件矛盾，
所以假设不成立，即由“” 可以推出“或”，充分性成立；
当时，满足或（这里成立），
但，不满足，
所以由“或”不能推出“”，必要性不成立.
则“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A
8．D
【分析】由全称命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，则.
故选：D
9．ABD
【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断.
【详解】空集只有一个子集，故A错；
空集时任何非空集合的真子集，故B错；
因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确；
例如，，，满足且，此时，故D错.
故选：ABD.
10．AB
【分析】由必要条件的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则，所以A符合题意；
对于B，若方程有实根，则需满足，即，可推出，故B符合题意；
对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意；
对于D，若，则为有理数，故D不符合题意.
故选：AB.
11．BC
【分析】根据题干可知，集合中的元素都在集合内，依此分析各选项是否成立即可.
【详解】

由题意画出韦恩图，可得，则，
当时，，
故选：.
12．
【分析】先根据集合的运算求出，再根据补集的定义即可求解.
【详解】由已知集合，所以，
所以.
故答案为：.
13．0或1
【分析】分和时分别讨论计算求解即可.
【详解】因集合中只有一个元素，
则当时，方程为，解得，即集合，则，
当时，由，解得，集合，则，
所以或.
故答案为：0或1
14．4
【分析】由集合的描述法可得结果.
【详解】由题意得，所以的元素个数为4.
故答案为：4.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可.
（2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解.
【详解】（1）因为，所以，解得．
（2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意；
②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解，
即，解得且．
综上所述，实数的取值范围为．
16．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）先写出集合，然后根据并集的定义即可求得；
（2）若选①，得到，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可；若选②，根据集合的关系列出不等式，解之即可.
【详解】（1）因为，所以，
又，
所以.
（2）若选择①，则，
因为，所以，
又，
所以，解得，
所以实数的取值范围是
若选择②，
因为，所以，
又，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围是或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据补集、并集的定义求解即可；
（2）根据推出，再求的范围即可.
【详解】（1）因为集合 ，
所以 ，
解得 ，
所以集合 ，
可得当时，集合 ，
又因为全集 ，
所以 ，
又因为集合 ，
所以.
（2）因为 ，
所以 ，
又因为集合 ，
所以 ，
即实数的取值范围为 ．
18．（1）或；（2）
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系求解参数的范围，再结合两命题一真一假，即可求参数的取值范围；
（2）利用必要不充分条件转化为两集合的真子集关系，即可求参数的范围.
【详解】（1）设为的两个不等的负根，则，
解得，记集合，
而方程无实根，则，
解之得，记集合，
若p真q假，则，
若p假q真，则，
综上若、一真一假，则{或} ；
（2）由，，且q是p的必要不充分条件，
则满足集合是集合的真子集，
即，解得，显然等号不能同时取到，即满足真子集，
故实数的取值范围为.
19．(1)；
(2)或.
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得.
【详解】（1）由，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）由A和B有且只有一个是，得且或且，
则有或，解得或，
所以实数a的取值范围是或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页