(共57张PPT)
专题课：动态平衡问题
◆ 导学案
学习任务一运用解析法处理动态平衡问题
学习任务二运用图解法处理动态平衡问题
学习任务三运用相似三角形法分析动态平衡问题
素养提升
备用习题
随堂巩固
◆ 练习册
学习任务一 运用解析法处理动态平衡问题
［物理观念］ 动态平衡:通过控制某一物理量，使物体的状态缓慢变化，变化过程中可认为物体处于一系列的平衡状态.
例1 如图所示，与水平方向成 角的推力作用在物块上，随着 逐渐减小直到的方向变为水平的过程中，物块始终沿水平面缓慢运动.关于物块受到的力，下列判断正确的是( )
B
A.推力先增大后减小 B.推力一直减小
C.物块受到的摩擦力先减小后增大 D.物块受到的摩擦力一直不变
[解析] 对物块受力分析，建立如图所示的坐标系.由平衡条件得，，又知，联立可得，当 减小时，一直减小，A错误，B正确；
摩擦力，当 、减小时，一直减小，C、D错误.
变式1 如图所示，一直角支架固定不动，在其光滑竖直杆上套着一个滑块，轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮.用竖直向下的力缓慢拉绳，使滑块从点起由静止开始缓慢上升至、点.下列说法正确的是( )
D
A.滑块从点到点的过程中，力大小不变
B.滑块从点到点的过程中，杆对滑块的弹力不变
C.滑块从点到点的过程中，力逐渐变小
D.滑块从点到点的过程中，杆对滑块的弹力变大
[解析] 滑块缓慢上升，可看作动态平衡，根据几何关系可知，轻绳与竖直杆的夹角 越来越大，在竖直方向上，有，夹角 增大，则 减小，增大，故A、C错误；
在水平方向上，有 ，夹角 增大，则 增大，增大，B错误，D正确.
【要点总结】
运用解析法处理动态平衡问题时，先对研究对象的任一状态进行受力分析，根据平行四边形定则画出矢量图，建立平衡方程，再根据边角关系求出因变量与自变量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定因变量的变化.
学习任务二 运用图解法处理动态平衡问题
［科学思维］ 图解法
(1)图解法适用于三力平衡问题，特点是一个力是恒力，另一个是方向不变的变力，第三个是大小、方向均变化的力.
(2)一般按照以下流程解题：
例2 如图所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，在墙与薄板之间的夹角 缓慢地增大到 的过程中，球对薄板的压力变化情况为( )
B
A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.先变大后变小 D.先变小后变大
[解析] 夹角 缓慢增大的过程中，小球缓慢移动，可理解为小球经历了一系列的平衡状态，属于动态平衡问题.根据小球重力的作用效果，将重力分解为使球压板的分力(与球对薄板的压力大小相等)和使球压墙的分力，作出平行四边形如图所示，当 增大时，、均变小，而且在 时，有最小值，选项B正确.
变式2 (多选)如图所示，用细绳、悬挂一重物，水平，为半圆形支架的圆心，悬点和在支架上.若悬点固定，将悬点从图中所示位置逐渐移到点，则绳和绳中的拉力变化情况为( )
AD
A.绳中的拉力逐渐减小 B.绳中的拉力逐渐增大
C.绳中的拉力逐渐减小 D.绳中的拉力先减小后增大
[解析] 如图所示，在支架上选取三个点、、，当悬点B分别移动到、、各点时，、中的拉力分别为、、和、、，从图中可以直观地看出，逐渐变小，且方向不变；而先变小后变大，且方向不断改变，当与垂直时，最小，故选项A、D正确.
学习任务三 运用相似三角形法分析动态平衡问题
［科学思维］ 当物体受三个共点力作用而处于平衡状态时，若三力中有两力的方向发生变化，无法直接用图解法得出结论，则可以用表示三力关系的矢量三角形和题中的几何三角形相似，建立关系求解.
例3 (多选)如图所示，在竖直平面内的固定光滑圆环上套有一质量为的小球，一轻绳通过光滑滑轮连接小球，在另一端用水平向左的力拉绳，使小球缓慢上升一小段位移.图中为圆心，为半径，为的中点.在小球上升
过程中，下列说法正确的是( )
BD
A.绳的拉力先减小后增大 B.绳的拉力一直减小
C.环对小球的弹力先增大后减小 D.环对小球的弹力大小不变
[解析] 小球缓慢上升一小段位移的过程中，小球处于动态平衡状态，对小球进行受力分析，如图所示，由于三角形与三角形相似，可得，其中，，在小球缓慢上升一小段位移的过程中，由于和不变，减小，则减小，大小不变，A、C错误，B、D正确.
变式3 固定在水平面上的光滑半球半径为，球心的正上方处固定一个光滑定滑轮(大小可忽略)，细线一端拴一小球(可视为质点)置于半球面上的点，另一端绕过定滑轮，如图所示.现将小球缓慢地从点拉向点，则此过程中小球对半球的压力大小、细线的拉力大小的变化情况是( )
C
A.不变，不变 B.不变，变大 C.不变，变小 D.变大，变小
[解析] 小球受力如图所示，根据平衡条件知，小球所受的支持力和细线拉力的合力与重力是平衡力，两者大小相等，力的三角形与几何三角形相似，设滑轮到半球顶点B的距离为，细线长为，则有，由于小球从A点移向B点的过程中，、、均不变，减小，故大小不变，减小，由牛顿第三定律可知，故不变，C正确.
“晾衣绳类”活结问题
如图所示，“活结”两侧的绳子拉力大小相等，因两侧绳子的水平分力相等，即，故 ，根据几何关系可知，，若两杆间的距离不变，则上下移动绳子结点时， 不变，也不变，若两杆间的距离减小，则 减小，由于，故也减小.
示例 (多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆、上的、两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态.现只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
AB
A.将绳的右端上移到,则绳子拉力大小不变
B.将杆向右移一些，则绳子拉力变大
C.将绳的两端高度差减小，绳子拉力变小
D.换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
[解析] 设两侧绳间的夹角为 ,绳子拉力为，由平衡条件得，绳的右端上下移动及改变绳的两端高度差都不会改变两侧绳间的夹角 ，故绳子拉力不变，A正确，C错误；
将杆向右移一些，则两侧绳间的夹角 变大，绳子拉力变大，B正确；
在衣架悬挂点两侧的绳子与竖直方向的夹角相等，所以衣服悬挂点的位置只与绳长、两杆间距离及、的位置有关，与所挂的衣服质量无关，D错误.
1.[2020·云南昆明一中月考] 如图所示，半圆形金属框架竖直放在粗糙的水平
地面上，套在其上的光滑小球 在水平外力 的作用下处于静止状态， 与圆
心 的连线与水平面的夹角为 .现用力 拉动小球，使其缓慢上移到框架的
最高点，在此过程中金属框架始终保持静止，下列说法中正确的是( )
D
A.框架对小球的支持力先减小后增大
B.水平拉力 先增大后减小
C.地面对框架的支持力先减小后增大
D.地面对框架的摩擦力一直减小
[解析] 以小球为研究对象，分析受力情况如图所示，根据动态三角形可知，框
架对小球的支持力不断减小，水平拉力 一直减小，故A、B错误；
以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的
摩擦力以及力 的作用，则水平拉力 一直减小，所以地面对框架的摩擦力始
终在减小，地面对框架的支持力保持不变，故D正确，C错误.
2.如图所示，有一质量不计的杆 ，长为 ，可绕 自由
转动.用轻绳在 点悬挂一个重为 的物体，另一根轻绳一
端系在 点， 点为圆弧的圆心，另一端系在圆弧形墙壁
上的 点.在将该轻绳端点由点 逐渐沿圆弧 向上移动
的过程中(保持 与地面的夹角 不变)， 绳拉力的大
小变化情况是( )
C
A.逐渐减小 B.逐渐增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小
[解析] 对物体分析，物体受力平衡，则竖直绳的拉力大小等于物体的重力，故
竖直绳的拉力不变，再对 点分析， 点受到竖直绳的拉力、 的支持力
及 绳的拉力而处于平衡状态，受力分析如图所示， 和 绳的拉力的合
力与 大小相等，方向相反，则在 绳端点上移的过程中，平行四边形的对
角线保持不变，由图可知， 绳的拉力先减小后增大，故C正确.
3.如图所示, 、 两细绳一端系着质量为 的小球,另一端系在竖直放置的圆
环上,小球位于圆环的中心,开始时绳 水平,绳 倾斜.现将圆环在竖直平面内顺
时针缓慢地向右滚动至绳 水平,在此过程中( )
D
A. 上的张力逐渐增大, 上的张力逐渐增大
B. 上的张力逐渐减小, 上的张力逐渐减小
C. 上的张力逐渐减小, 上的张力逐渐增大
D. 上的张力逐渐增大, 上的张力逐渐减小
[解析] 设小球的重力为 ,圆环沿顺时针方向滚动过程中 绳与竖直方向的夹
角为 , 和 的拉力大小分别为 、 .由平衡条件可知两绳拉力的合力
不变,小球受到的重力 和 、 组成一个闭合的三角形, 、 的夹角
不变,由正弦定理得 ,在 的范围内, 变
大, 由 开始减小,故 变大, 变小,选项D正确.
1.(运用解析法处理动态平衡问题)如图所示，在一水平长木板上放一木块，缓慢抬起木板的右端，木块和木板始终相对静止，则( )
C
A.木块受到木板的支持力和摩擦力都减小 B.木块受到木板的支持力和摩擦力都增大
C.木块受到木板的作用力大小和方向都不变 D.木块受到木板的作用力大小和方向都变化
[解析] 对木块受力分析，木块受到重力、支持力和沿木板向上的摩擦力的作用，木块受力平衡，所以摩擦力和重力沿木板向下的分力大小相等，即 ，在夹角
增大的过程中，木块所受的摩擦力一直在增大，木块受到的支持力 ，由于运动过程中，夹角 增大，所以支持力减小，故A、B错误；
由于木块一直处于平衡状态，所以木块受到木板的作用力大小始终等于重力，方向竖直向上，即木块受到木板的作用力大小不变、方向不变，故C正确，D错误.
2.(运用图解法处理动态平衡问题)如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于点.现用水平力缓慢推动斜面体，小球在斜面体上无摩擦地滑动，细绳始终处于张紧状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力以及绳对小球的拉力的变化情况是( )
D
A.保持不变，不断增大 B.不断增大，不断减小
C.保持不变，先增大后减小 D.不断增大，先减小后增大
[解析] 对小球受力分析，作出动态平衡下的受力分析图如图所示，其中的大小、方向均不变，的方向不变，由图可知，推动斜面体时，逐渐趋于水平，所以先减小后增大，不断增大，D正确.
3.(运用相似三角形法处理动态平衡问题)如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔,质量为的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住.现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移,在移动过程中手对线的拉力大小和圆环对小球的弹力大小的变化情况是( )
C
A.不变,增大 B.不变,减小 C.减小,不变 D.增大,减小
[解析] 小球沿圆环缓慢上移,可看作处于动态平衡,对小球进行受力分析,作出受力示意图如图所示,其中,由相似三角形可知,,当A点上移时,与长度不变,长度减小,故减小(即减小),不变,故C正确.
知识点一 运用解析法处理动态平衡问题
1.如图所示，清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中.已知工人及其装备的总质量为，悬绳与竖直墙壁的夹角为 ，悬绳对工人的拉力大小为，墙壁对工人的弹力大小为，重力加速度为，则( )
B
A.
B.
C.缓慢减小悬绳的长度时，与的合力变大
D.缓慢减小悬绳的长度时，减小，增大
[解析] 工人受到重力、墙壁的弹力和悬绳的拉力，如图所示，根据共点力平衡条件，有， ，故A错误，B正确.
当缓慢减小悬绳的长度，即工人上移时，悬绳与竖直方向的夹角 增大，故增大，增大，但和的合力与重力平衡，所以与的合力保持不变，故C、D错误.
2.[2023·浙江温州中学期中] 如图所示，光滑的轻滑轮用细绳悬挂于点，另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块，外力水平向右拉物块，整个系统处于静止状态.若方向不变，大小在一定范围内变化，物块仍始终保持静止，则下列说法正确的是( )
D
A.绳的张力也在一定范围内变化
B.物块受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接物块和的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
[解析] 和都静止不动，则连接和的绳的张力的大小等于物块的重力，所以始终不变，滑轮两侧绳子的合力也始终不变，由平衡条件可知，绳的张力始终不变，故A、C错误；
对于，在竖直方向上，根据平衡条件得，由于连接与的绳的张力及绳与竖直方向的夹角不变，所以物块受到的支持力始终保持不变，故B错误；
对于，在水平方向上，根据平衡条件得，或者，由于的大小在一定范围内变化，所以物块与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化，故D正确.
知识点二 运用图解法处理动态平衡问题
3.[2023·山西忻州一中月考] 如图所示，用、两根轻绳将物体悬于两竖直墙壁之间，开始时绳水平.现保持点位置不变，改变绳长，使绳末端由点缓慢上移至点，此时与之间的夹角 .设此过程中、的拉力分别为、，下列说法正确的是( )
B
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.逐渐增大 D.逐渐减小
[解析] 以结点为研究对象，受力分析如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力和重力大小相等、方向相反，作出轻绳在不同位置时力的合成图如图所示，由图可看出，逐渐减小，先减小后增大，当 时，最小，选项B正确，A、C、D错误.
4.如图所示，斜面与水平面间、斜面与挡板间的夹角均为 ，一小球放置在斜面与挡板之间，挡板对小球的弹力为，斜面对小球的弹力为.以挡板与斜面连接点所形成的水平直线为轴，将挡板从图示位置开始缓慢地逆时针转到水平位置，不计摩擦，在此过程中( )
D
A.始终减小，始终增大 B.始终增大，始终减小
C.始终减小，先减小后增大 D.先减小后增大，始终减小
[解析] 对小球受力分析如图所示，将与合成，其合力与重力等大反向，挡板转动时，挡板对小球的弹力与斜面对小球的弹力的合力和重力平衡，则与的合力大小和方向均不变，其中垂直于斜面，方向不变，挡板转动过程中，的方向变化情况如图所示，为满足平行四边形定则，的大小变化规律为先变小后变大，且挡板与斜面垂直时最小，而一直减小，故D正确.
知识点三 运用相似三角形法处理动态平衡问题
5.如图所示,轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定,杆的端用铰链固定,光滑轻小滑轮在点正上方,端吊一重物.现将绳的一端拴在杆的端,用拉力将端缓慢上拉,在杆达到竖直前(均未断),关于绳子的拉力和杆所受的弹力的变化,下列判断正确的是( )
B
A.变大 B.变小 C.变大 D.变小
[解析] 设重物的重力为,以B点为研究对象,进行受力分析,如图所示,作出力与的合力,根据平衡条件可知,,由得,解得,由于、、不变,则大小保持不变,C、D错误;
由得,由于减小,则一直减小,A错误,B正确.
6.[2023·吉林省实验中学月考] 如图所示，轻杆能以点为圆心在竖直平面内自由转动，端用轻绳挂一重物，用另一根轻绳跨过定滑轮系住端.在绳端拉力的作用下，当杆和竖直方向的夹角缓慢增大时，力的大小应( )
B
A.恒定不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先增大后减小
[解析] 以点为研究对象，进行受力分析，作出力的合成图如图所示，根据平衡条件可知，和的合力与重力大小相等、方向相反，由三角形相似得，当杆和竖直方向的夹角缓慢增大时，增大，而、不变，所以逐渐增大，B正确.
7.[2023·湖南长沙一中月考] 如图甲所示，一重物用细绳悬挂于点，用水平绳牵引绳上点，牵引至图示位置保持静止.现保持点的位置不变，改变绳牵引的方向，其拉力随旋转角度 的变化如图乙所示，则重物的重力为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由图乙可知，当 时，绳的拉力最小，最小值为，此时与垂直，则 ，解得重物的重力，故B正确.
8.[2023·浙江效实中学月考] 如图所示，足够长的细线一端固定在竖直墙上点，另一端跨过体积可忽略的光滑定滑轮与质量为的重物拴接，点高于定滑轮的转轴，、连线与竖直方向的夹角为 .另一条细线与细线拴接于点，下端悬挂质量也为的重物，重力加速度为.不断改变点位置，点位置自紧靠点开始向右逐一拴接，过程中系统始终处于平衡状态，则段绳子的拉力( )
A
A.一直减小 B.先减小后增大 C.先增大后减小 D.最大值为
[解析] 段绳子的拉力与段绳子的拉力大小始终等于，则段绳子方向应始终在的角平分线上，当、A几乎重合时，最小，最小值为 ，此时段绳子的拉力最大，根据平衡条件得，之后一直增大，段绳子的拉力一直减小，A正确，B、C、D错误.
9.(多选)如图所示,质量均为的小球、用劲度系数为的轻弹簧相连,球用长为的细绳悬于点,球固定在点正下方距离为处.当小球平衡时,绳子所受的拉力为,弹簧的弹力为.现把、间的弹簧换成原长相同但劲度系数为的另一轻弹簧,在其他条件不变的情况下仍使系统平衡,此时绳子所受的拉力为,弹簧的弹力为.下列判断正确的
是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 以小球B为研究对象,进行受力分析如图所示,由平衡条件可知,弹簧的弹力和绳子的拉力的合力与重力大小相等,方向相反,即,由三角形相似得,其中,设的长度为,解得,,故绳子的拉力只与小球B的重力有关,与弹簧的劲度系数无关,所以;当弹簧的劲度系数变大时,虽弹簧的压缩量减小,但,A、D错误,B、C正确.
10.半圆柱体放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板，在半圆柱体和之间放有一光滑的均匀小圆柱体，整个装置处于平衡状态，装置的纵截面图如图所示.现使保持竖直并且缓慢地向右平移，在滑落到地面之前，发现始终保持静止，则在此过程中，下列说法正确的是( )
B
A.对的弹力逐渐减小 B.地面对的摩擦力逐渐增大
C.、间的弹力先减小后增大 D.所受的合力逐渐增大
[解析] 对受力分析如图所示，表示对的弹力，表示对的弹力，的方向始终水平向左，的方向顺时针旋转，由平行四边形的边长变化可知，与都逐渐增大，A、C错误；
由于缓慢移动，所以处于动态平衡状态，所受合力为零，D错误；
对、整体受力分析，由平衡条件得，由于逐渐增大，故逐渐增大，B正确.
11.[2023·广东广雅中学月考] 如图所示,细绳一端固定在点,跨过与等高的光滑定滑轮后在另一端悬挂一个沙桶.现有另一个沙桶通过光滑挂钩挂在、之间,稳定后挂钩下降至点, .下列说法正确的是( )
C
A.若只增加桶的沙子,则再次平衡后点位置不变
B.若只增加桶的沙子,则再次平衡后点位置不变
C.若在两桶内增加相同质量的沙子,则再次平衡后点位置不变
D.若在两桶内增加相同质量的沙子,则再次平衡后沙桶位置上升
[解析] 平衡时绳子的拉力大小等于的重力,若只增加桶的沙子,则绳子拉力增大,再次平衡后C点位置升高,选项A错误;
若只增加桶的沙子,则再次平衡后C点位置降低,选项B错误;
由于稳定时 ,根据平衡条件可得,绳子的拉力大小等于的重力,又等于的重力,所以在两桶内增加相同质量的沙子,再次平衡后C点位置不变,选项C正确,D错误.
12.如图所示，竖直放置的“&1& ”形支架上，一根不可伸长的轻绳通过不计摩擦的轻质滑轮悬挂一重物.现将轻绳的一端固定于支架上的点，另一端从点(与点等高)沿支架缓慢地向点靠近，则绳中拉力大小的变化情况是( )
C
A.变大 B.变小 C.不变 D.先变大后变小
[解析] 因不计轻质滑轮的摩擦，故悬挂重物的左右两段轻绳的拉力大小相等，由平衡条件可知，两段轻绳与竖直方向的夹角大小相等，设均为 ，则有，设左右两段绳长分别为、，两竖直支架之间的距离为，有，解得，从B竖直向上移至C点的过程中，虽然、的大小均变化，但不变，故 不变，不变，C正确.
13.[2023·北京二中月考] 如图所示，楔形物块固定在水平地面上，在其斜面上静止着小物块.现用大小一定的力分别沿不同方向作用在小物块上，小物块仍保持静止，则、之间的静摩擦力一定增大的是( )
A
A.&2& B.&3& C.&4& D.&5&
[解析] 不加力时，对物块进行受力分析，将重力分解，根据平衡条件得 .加上沿斜面向下的力后，有，故摩擦力一定增大，A正确.
加上沿斜面向上的力后，如果 ，则，摩擦力变小；如果， 则 ，由于不知道具体是多大，所以摩擦力变化情况不确定，可能增大，也可能减小，还可能大小不变，B错误
项与B项相似，摩擦力变化情况也不确定，C错误.
加垂直于斜面向下的力后，根据平衡条件得，故摩擦力不变，D错误.
14.[2023·山东威海期末] 如图所示，质量均为的、两滑块与两轻杆相连，放在粗糙水平地面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆上方施加一竖直向下的力，使整个装置处于静止状态，设杆与水平地面间的夹角为 .下列说法正确的是( )
B
A.当一定时， 越小，滑块对地面的压力越大
B.当一定时， 越大，轻杆受力越小
C.当 一定时，越大，滑块与地面间的摩擦力越大
D.当 一定时，越小，可施加的力越大
[解析] 以A、B两滑块和两轻杆为整体，根据受力平衡可得
，解得，当一定时，地面对滑
块的支持力保持不变，可知滑块对地面的压力保持不变，A错误；
以杆与杆间连接点为对象，根据受力平衡可得，解得，可知当一定时， 越大， 越大，轻杆受力越小，B正确；
对A受力分析，受重力、杆的推力、地面支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有 ，可知滑块与地面间的摩擦力与无关，错误；
根据整体法可得，可知越小，地面对滑块的支持力越小，地面对滑块的最大静摩擦力越小，根据 ，可知当 一定时，可施加的力越小，D错误.专题课:动态平衡问题
例1 B [解析] 对物块受力分析,建立如图所示的坐标系.由平衡条件得Fcos θ-Ff=0,FN-(mg+Fsin θ)=0,又知Ff=μFN,联立可得F=,当θ减小时,F一直减小,A错误,B正确;摩擦力Ff=μFN=μ(mg+Fsin θ),当θ、F减小时,Ff一直减小,C、D错误.
变式1 D [解析] 滑块缓慢上升,可看作动态平衡,根据几何关系可知,轻绳与竖直杆的夹角α越来越大,在竖直方向上,有Fcos α=mg,夹角α增大,则cos α减小,F增大,故A、C错误;在水平方向上,有FN=mgtan α,夹角α增大,则tan α增大,FN增大,B错误,D正确.
例2 B [解析] 夹角θ缓慢增大的过程中,小球缓慢移动,可理解为小球经历了一系列的平衡状态,属于动态平衡问题.根据小球重力的作用效果,将重力G分解为使球压板的分力F1(与球对薄板的压力大小相等)和使球压墙的分力F2,作出平行四边形如图所示,当θ增大时,F1、F2均变小,而且在θ=90°时,F1有最小值G,选项B正确.
变式2 AD [解析] 如图所示,在支架上选取三个点B1、B2、B3,当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时,OA、OB中的拉力分别为FA1、FA2、FA3和FB1、FB2、FB3,从图中可以直观地看出,FA逐渐变小,且方向不变;而FB先变小后变大,且方向不断改变,当FB与FA垂直时,FB最小,故选项A、D正确.
例3 BD [解析] 小球缓慢上升一小段位移的过程中,小球处于动态平衡状态,对小球进行受力分析,如图所示,由于三角形ABC与三角形POA相似,可得==,其中AO=R,PO=,在小球缓慢上升一小段位移的过程中,由于AO和PO不变,AP减小,则F减小,FN大小不变,A、C错误,B、D正确.
变式3 C [解析] 小球受力如图所示,根据平衡条件知,小球所受的支持力FN'和细线拉力FT的合力与重力是平衡力,两者大小相等,力的三角形与几何三角形COA相似,设滑轮到半球顶点B的距离为h,细线长AC为L,则有==,由于小球从A点移向B点的过程中,G、R、h均不变,L减小,故FN'大小不变,FT减小,由牛顿第三定律可知FN=FN',故FN不变,C正确.
素养提升
示例 AB [解析] 设两侧绳间的夹角为θ,绳子拉力为F,由平衡条件得2Fcos=mg,绳的右端上下移动及改变绳的两端高度差都不会改变两侧绳间的夹角θ,故绳子拉力F不变,A正确,C错误;将杆N向右移一些,则两侧绳间的夹角θ变大,绳子拉力F变大,B正确;在衣架悬挂点两侧的绳子与竖直方向的夹角相等,所以衣服悬挂点的位置只与绳长、两杆间距离及a、b的位置有关,与所挂的衣服质量无关,D错误.
随堂巩固
1.C [解析] 对木块受力分析,木块受到重力、支持力和沿木板向上的摩擦力的作用,木块受力平衡,所以摩擦力和重力沿木板向下的分力大小相等,即Ff=mgsin θ,在夹角θ增大的过程中,木块所受的摩擦力一直在增大,木块受到的支持力FN=mgcos θ,由于运动过程中,夹角θ增大,所以支持力减小,故A、B错误;由于木块一直处于平衡状态,所以木块受到木板的作用力大小始终等于重力,方向竖直向上,即木块受到木板的作用力大小不变、方向不变,故C正确,D错误.
2.D [解析] 对小球受力分析,作出动态平衡下的受力分析图如图所示,其中F的大小、方向均不变,FN的方向不变,由图可知,推动斜面体时,FT逐渐趋于水平,所以FT先减小后增大,FN不断增大,D正确.
3.C [解析] 小球沿圆环缓慢上移,可看作处于动态平衡,对小球进行受力分析,作出受力示意图如图所示,其中F'=F,由相似三角形可知,==,当A点上移时,AO与BO长度不变,AB长度减小,故F'减小(即F减小),FN不变,故C正确.专题课:动态平衡问题
学习任务一 运用解析法处理动态平衡问题
[物理观念] 动态平衡:通过控制某一物理量,使物体的状态缓慢变化,变化过程中可认为物体处于一系列的平衡状态.
例1 如图所示,与水平方向成θ角的推力F作用在物块上,随着θ逐渐减小直到F的方向变为水平的过程中,物块始终沿水平面缓慢运动.关于物块受到的力,下列判断正确的是( )
A.推力F先增大后减小
B.推力F一直减小
C.物块受到的摩擦力先减小后增大
D.物块受到的摩擦力一直不变
变式1 如图所示,一直角支架固定不动,在其光滑竖直杆上套着一个滑块,轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮.用竖直向下的力F缓慢拉绳,使滑块从A点起由静止开始缓慢上升至B、C点.下列说法正确的是( )
A.滑块从A点到B点的过程中,力F大小不变
B.滑块从A点到C点的过程中,杆对滑块的弹力不变
C.滑块从A点到C点的过程中,力F逐渐变小
D.滑块从A点到C点的过程中,杆对滑块的弹力变大
【要点总结】
运用解析法处理动态平衡问题时,先对研究对象的任一状态进行受力分析,根据平行四边形定则画出矢量图,建立平衡方程,再根据边角关系求出因变量与自变量的一般函数式,然后根据自变量的变化确定因变量的变化.
学习任务二 运用图解法处理动态平衡问题
[科学思维] 图解法
(1)图解法适用于三力平衡问题,特点是一个力是恒力,另一个是方向不变的变力,第三个是大小、方向均变化的力.
(2)一般按照以下流程解题:
受力
分析画不同状态
下的平衡图确定力
的变化
例2 如图所示,小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间,在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中,球对薄板的压力变化情况为( )
A.逐渐变大 B.逐渐变小
C.先变大后变小 D.先变小后变大
变式2 (多选)如图所示,用细绳OA、OB悬挂一重物,OB水平,O为半圆形支架的圆心,悬点A和B在支架上.若悬点A固定,将悬点B从图中所示位置逐渐移到C点,则OA绳和OB绳中的拉力变化情况为( )
A.OA绳中的拉力逐渐减小
B.OA绳中的拉力逐渐增大
C.OB绳中的拉力逐渐减小
D.OB绳中的拉力先减小后增大
学习任务三 运用相似三角形法分析动态平衡问题
[科学思维] 当物体受三个共点力作用而处于平衡状态时,若三力中有两力的方向发生变化,无法直接用图解法得出结论,则可以用表示三力关系的矢量三角形和题中的几何三角形相似,建立关系求解.
例3 (多选)如图所示,在竖直平面内的固定光滑圆环上套有一质量为m的小球,一轻绳通过光滑滑轮P连接小球A,在另一端用水平向左的力F拉绳,使小球缓慢上升一小段位移.图中O为圆心,OQ为半径,P为OQ的中点.在小球上升过程中,下列说法正确的是( )
A.绳的拉力先减小后增大
B.绳的拉力一直减小
C.环对小球的弹力先增大后减小
D.环对小球的弹力大小不变
变式3 固定在水平面上的光滑半球半径为R,球心O的正上方C处固定一个光滑定滑轮(大小可忽略),细线一端拴一小球(可视为质点)置于半球面上的A点,另一端绕过定滑轮,如图所示.现将小球缓慢地从A点拉向B点,则此过程中小球对半球的压力大小FN、细线的拉力大小FT的变化情况是( )
A.FN不变,FT不变 B.FN不变,FT变大
C.FN不变,FT变小 D.FN变大,FT变小
“晾衣绳类”活结问题
如图所示,“活结”两侧的绳子拉力大小相等,因两侧绳子的水平分力相等,即Fsin θ1=Fsin θ2,故θ1=θ2=θ,根据几何关系可知,sin θ==,若两杆间的距离d不变,则上下移动绳子结点时,θ不变,F也不变,若两杆间的距离d减小,则θ减小,由于2Fcos θ=mg,故F=也减小.
示例 (多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点, 悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态.现只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是( )
A.将绳的右端上移到b',则绳子拉力大小不变
B.将杆N向右移一些,则绳子拉力变大
C.将绳的两端高度差减小,绳子拉力变小
D.换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
1.(运用解析法处理动态平衡问题)如图所示,在一水平长木板上放一木块P,缓慢抬起木板的右端,木块P和木板始终相对静止,则( )
A.木块受到木板的支持力和摩擦力都减小
B.木块受到木板的支持力和摩擦力都增大
C.木块受到木板的作用力大小和方向都不变
D.木块受到木板的作用力大小和方向都变化
2.(运用图解法处理动态平衡问题)如图所示,小球用细绳系住,绳的另一端固定于O点.现用水平力F缓慢推动斜面体,小球在斜面体上无摩擦地滑动,细绳始终处于张紧状态,当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是( )
A.FN保持不变,FT不断增大
B.FN不断增大,FT不断减小
C.FN保持不变,FT先增大后减小
D.FN不断增大,FT先减小后增大
3.(运用相似三角形法处理动态平衡问题)如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔,质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住.现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移,在移动过程中手对线的拉力大小F和圆环对小球的弹力大小FN的变化情况是( )
A.F不变,FN增大
B.F不变,FN减小
C.F减小,FN不变
D.F增大,FN减小专题课:动态平衡问题
1.B [解析] 工人受到重力、墙壁的弹力和悬绳的拉力,如图所示,根据共点力平衡条件,有F1=,F2=mgtan α,故A错误,B正确.当缓慢减小悬绳的长度,即工人上移时,悬绳与竖直方向的夹角α增大,故F1增大,F2增大,但F1和F2的合力与重力平衡,所以F1与F2的合力保持不变,故C、D错误.
2.D [解析] a和b都静止不动,则连接a和b的绳的张力FT的大小等于物块a的重力mag,所以FT始终不变,滑轮两侧绳子的合力也始终不变,由平衡条件可知,绳OO'的张力始终不变,故A、C错误;对于b,在竖直方向上,根据平衡条件得FN+FTcos θ=mbg,由于连接a与b的绳的张力FT及绳与竖直方向的夹角不变,所以物块b受到的支持力FN始终保持不变,故B错误;对于b,在水平方向上,根据平衡条件得FTsin θ=F+Ff,或者FTsin θ+Ff=F,由于F的大小在一定范围内变化,所以物块b与桌面间的摩擦力Ff也在一定范围内变化,故D正确.
3.B [解析] 以结点O为研究对象,受力分析如图所示,根据平衡条件知,两根绳子的拉力的合力和重力大小相等、方向相反,作出轻绳OB在不同位置时力的合成图如图所示,由图可看出,FOA逐渐减小,FOB先减小后增大,当θ=90°时,FOB最小,选项B正确,A、C、D错误.
4.D [解析] 对小球受力分析如图所示,将FN1与FN2合成,其合力与重力等大反向,挡板转动时,挡板对小球的弹力FN1与斜面对小球的弹力FN2的合力和重力平衡,则FN1与FN2的合力大小和方向均不变,其中FN2垂直于斜面,方向不变,挡板转动过程中,FN1的方向变化情况如图所示,为满足平行四边形定则,FN1的大小变化规律为先变小后变大,且挡板与斜面垂直时FN1最小,而FN2一直减小,故D正确.
5.B [解析] 设重物的重力为G,以B点为研究对象,进行受力分析,如图所示,作出力FN与F的合力F2,根据平衡条件可知,F2=F1=G,由△BDE∽△ABO得=,解得FN=G,由于AB、AO、G不变,则FN大小保持不变,C、D错误;由△BDE∽△ABO得=,由于OB减小,则F一直减小,A错误,B正确.
6.B [解析] 以P点为研究对象,进行受力分析,作出力的合成图如图所示,根据平衡条件可知,FN和F的合力与重力G大小相等、方向相反,由三角形相似得=,当杆OP和竖直方向的夹角α(0<α<π)缓慢增大时,AP增大,而G、AO不变,所以F逐渐增大,B正确.
7.B [解析] 由图乙可知,当α=30°时,绳BO的拉力最小,最小值为Fmin=5 N,此时OB与OA垂直,则Fmin=Gsin 30°,解得重物的重力G=10 N,故B正确.
8.A [解析] OB段绳子的拉力与OC段绳子的拉力大小始终等于Mg,则OA段绳子方向应始终在∠BOC的角平分线上,当O、A几乎重合时,∠BOC最小,最小值为60°,此时OA段绳子的拉力最大,根据平衡条件得Fmax=2FOCcos 30°=Mg,之后∠BOC一直增大,OA段绳子的拉力一直减小,A正确,B、C、D错误.
9.BC [解析] 以小球B为研究对象,进行受力分析如图所示,由平衡条件可知,弹簧的弹力F和绳子的拉力FT的合力F合与重力mg大小相等,方向相反,即F合=mg,由三角形相似得==,其中OA=OB=L,设AB的长度为x,解得FT=mg,F=mg,故绳子的拉力FT只与小球B的重力有关,与弹簧的劲度系数无关,所以FT1=FT2;当弹簧的劲度系数变大时,虽弹簧的压缩量减小,但F2>F1,A、D错误,B、C正确.
10.B [解析] 对Q受力分析如图所示,F1表示P对Q的弹力,F2表示MN对Q的弹力,F2的方向始终水平向左,F1的方向顺时针旋转,由平行四边形的边长变化可知,F1与F2都逐渐增大,A、C错误;由于MN缓慢移动,所以Q处于动态平衡状态,所受合力为零,D错误;对P、Q整体受力分析,由平衡条件得Ff=F2,由于F2逐渐增大,故Ff逐渐增大,B正确.
11.C [解析] 平衡时绳子的拉力大小等于Q的重力,若只增加Q桶的沙子,则绳子拉力增大,再次平衡后C点位置升高,选项A错误;若只增加P桶的沙子,则再次平衡后C点位置降低,选项B错误;由于稳定时∠ACB=120°,根据平衡条件可得,绳子的拉力大小等于P的重力,又等于Q的重力,所以在两桶内增加相同质量的沙子,再次平衡后C点位置不变,选项C正确,D错误.
12.C [解析] 因不计轻质滑轮的摩擦,故悬挂重物的左右两段轻绳的拉力大小相等,由平衡条件可知,两段轻绳与竖直方向的夹角大小相等,设均为θ,则有2FTcos θ=G,设左右两段绳长分别为l1、l2,两竖直支架之间的距离为d,有l1sin θ+l2sin θ=d,解得sin θ=,从B竖直向上移至C点的过程中,虽然l1、l2的大小均变化,但l1+l2不变,故θ不变,FT不变,C正确.
13.A [解析] 不加力F时,对物块b进行受力分析,将重力分解,根据平衡条件得Ff=mgsin θ.加上沿斜面向下的力F后,有Ff=mgsin θ+F,故摩擦力一定增大,A正确.加上沿斜面向上的力F后,如果F14.B [解析] 以A、B两滑块和两轻杆为整体,根据受力平衡可得2F地=2mg+F,解得F地=,当F一定时,地面对滑块的支持力保持不变,可知滑块对地面的压力保持不变,A错误;以杆与杆间连接点为对象,根据受力平衡可得2F杆sin θ=F,解得F杆=,可知当F一定时,θ越大,sin θ越大,轻杆受力越小,B正确;对A受力分析,受重力、杆的推力、地面支持力和向右的静摩擦力,根据平衡条件,有Ff=F杆cos θ=·cos θ,可知滑块与地面间的摩擦力与m无关, C错误;根据整体法可得F地=,可知m越小,地面对滑块的支持力越小,地面对滑块的最大静摩擦力越小,根据Ff=F杆cos θ=·cos θ,可知当θ一定时,可施加的力F越小,D错误.专题课:动态平衡问题
◆ 知识点一 运用解析法处理动态平衡问题
1.如图所示,清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中.已知工人及其装备的总质量为m,悬绳与竖直墙壁的夹角为α,悬绳对工人的拉力大小为F1,墙壁对工人的弹力大小为F2,重力加速度为g,则( )
A.F1=
B.F2=mgtan α
C.缓慢减小悬绳的长度时,F1与F2的合力变大
D.缓慢减小悬绳的长度时,F1减小,F2增大
2.[2023·浙江温州中学期中] 如图所示,光滑的轻滑轮用细绳OO'悬挂于O点,另一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块a,另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b,外力F水平向右拉物块b,整个系统处于静止状态.若F方向不变,大小在一定范围内变化,物块b仍始终保持静止,则下列说法正确的是( )
A.绳OO'的张力也在一定范围内变化
B.物块b受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接物块a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
◆ 知识点二 运用图解法处理动态平衡问题
3.[2023·山西忻州一中月考] 如图所示,用OA、OB两根轻绳将物体悬于两竖直墙壁之间,开始时OB绳水平.现保持O点位置不变,改变OB绳长,使绳末端由B点缓慢上移至B'点,此时OB'与OA之间的夹角θ<90°.设此过程中OA、OB的拉力分别为FOA、FOB,下列说法正确的是( )
A.FOA逐渐增大
B.FOA逐渐减小
C.FOB逐渐增大
D.FOB逐渐减小
4.如图所示,斜面与水平面间、斜面与挡板间的夹角均为30°,一小球放置在斜面与挡板之间,挡板对小球的弹力为FN1,斜面对小球的弹力为FN2.以挡板与斜面连接点所形成的水平直线为轴,将挡板从图示位置开始缓慢地逆时针转到水平位置,不计摩擦,在此过程中 ( )
A.FN1始终减小,FN2始终增大
B.FN1始终增大,FN2始终减小
C.FN1始终减小,FN2先减小后增大
D.FN1先减小后增大,FN2始终减小
◆ 知识点三 运用相似三角形法处理动态平衡问题
5.如图所示,轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定,杆的A端用铰链固定,光滑轻小滑轮在A点正上方,B端吊一重物.现将绳的一端拴在杆的B端,用拉力F将B端缓慢上拉,在AB杆达到竖直前(均未断),关于绳子的拉力F和杆所受的弹力FN的变化,下列判断正确的是( )
A.F变大
B.F变小
C.FN变大
D.FN变小
6.[2023·吉林省实验中学月考] 如图所示,轻杆OP能以O点为圆心在竖直平面内自由转动,P端用轻绳PB挂一重物,用另一根轻绳跨过定滑轮系住P端.在绳端拉力F的作用下,当杆OP和竖直方向的夹角α(0<α<π)缓慢增大时,力F的大小应( )
A.恒定不变
B.逐渐增大
C.逐渐减小
D.先增大后减小
7.[2023·湖南长沙一中月考] 如图甲所示,一重物用细绳AC悬挂于A点,用水平绳BO牵引绳AC上O点,牵引至图示位置保持静止.现保持O点的位置不变,改变绳BO牵引的方向,其拉力F随旋转角度α的变化如图乙所示,则重物的重力为( )
A.5 N B.10 N C.15 N D.20 N
8.[2023·浙江效实中学月考] 如图所示,足够长的细线一端固定在竖直墙上A点,另一端跨过体积可忽略的光滑定滑轮与质量为M的重物拴接,A点高于定滑轮的转轴B,A、B连线与竖直方向的夹角为60°.另一条细线OC与细线拴接于O点,下端悬挂质量也为M的重物,重力加速度为g.不断改变O点位置,O点位置自紧靠A点开始向右逐一拴接,过程中系统始终处于平衡状态,则OA段绳子的拉力( )
A.一直减小
B.先减小后增大
C.先增大后减小
D.最大值为Mg
9.(多选)如图所示,质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连,B球用长为L的细绳悬于O点,A球固定在O点正下方距离为L处.当小球B平衡时,绳子所受的拉力为FT1,弹簧的弹力为F1.现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧,在其他条件不变的情况下仍使系统平衡,此时绳子所受的拉力为FT2,弹簧的弹力为F2.下列判断正确的是( )
A.FT1>FT2
B.FT1=FT2
C.F1D.F1=F2
10.半圆柱体P放在粗糙的水平地面上,其右端有一固定放置的竖直挡板MN,在半圆柱体P和MN之间放有一光滑的均匀小圆柱体Q,整个装置处于平衡状态,装置的纵截面图如图所示.现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移,在Q滑落到地面之前, 发现P始终保持静止,则在此过程中,下列说法正确的是( )
A.MN对Q的弹力逐渐减小
B.地面对P的摩擦力逐渐增大
C.P、Q间的弹力先减小后增大
D.Q所受的合力逐渐增大
11.[2023·广东广雅中学月考] 如图所示,细绳一端固定在A点,跨过与A等高的光滑定滑轮B后在另一端悬挂一个沙桶Q.现有另一个沙桶P通过光滑挂钩挂在A、B之间,稳定后挂钩下降至C点,∠ACB=120°.下列说法正确的是( )
A.若只增加Q桶的沙子,则再次平衡后C点位置不变
B.若只增加P桶的沙子,则再次平衡后C点位置不变
C.若在两桶内增加相同质量的沙子,则再次平衡后C点位置不变
D.若在两桶内增加相同质量的沙子,则再次平衡后沙桶Q位置上升
12.如图所示,竖直放置的“”形支架上,一根不可伸长的轻绳通过不计摩擦的轻质滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点,另一端从B点(与A点等高)沿支架缓慢地向C点靠近,则绳中拉力大小的变化情况是( )
A.变大
B.变小
C.不变
D.先变大后变小
13.[2023·北京二中月考] 如图所示,楔形物块a固定在水平地面上,在其斜面上静止着小物块b.现用大小一定的力F分别沿不同方向作用在小物块b上, 小物块b仍保持静止,则a、b之间的静摩擦力一定增大的是( )
A
B
C
D
14.[2023·山东威海期末] 如图所示,质量均为m的A、B两滑块与两轻杆相连,放在粗糙水平地面上,两轻杆等长,杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接,在两杆上方施加一竖直向下的力F,使整个装置处于静止状态,设杆与水平地面间的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A.当F一定时,θ越小,滑块对地面的压力越大
B.当F一定时,θ越大,轻杆受力越小
C.当θ一定时,m越大,滑块与地面间的摩擦力越大
D.当θ一定时,m越小,可施加的力F越大
