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二次函数与反比例函数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·海淀开学考）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·重庆市开学考）在反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小，则常数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024九上·惠州期中）若点在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·越秀月考）已知点，都在一次函数（k，b是常数，）图象上，（ ）
A．若有最大值4，则k的值为 B．若有最小值4，则k的值为
C．若有最大值，则k的值为4 D．若有最小值，则k的值为4
5．（2024九上·义乌月考）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )．
A． B． C． D．
6．（2024九上·零陵期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：
①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；
②的图象关于点对称；
③的图象关于直线对称；
④若，根据图象可知，的解集是．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
7．（2024九上·岳麓期末）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·高州模拟）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（2024九上·仙居期末）已知m，n为整数，抛物线（b为常数）经过点，．现有两个命题：①若，则与可能相等；②若，则与可能相等．则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都是真命题 B．①，②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
10．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值是25
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·双城月考）二次函数与x轴交于两点，且，则k的值为 ．
12．（2024九上·玉环月考）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为 m．
13．（2024九上·南宁月考）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 米．
14．（2024九上·镇海区期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ．
15．（2023九上·安吉期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为 ．
16．（2024九上·嘉兴期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·吉林高新技术产业开发期末）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值．
18．（2024九上·北京市月考）在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，它的对称轴为直线．
（1）若该抛物线经过点，求的值；
（2）当时，
若，则 0；（填“”“”或“”）
若对于，都有，求的取值范围．
19．（2024九上·新会开学考）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
（1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？
（2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
20．（2023九上·永善期末）已知函数（m为常数）.
（1）若该函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围；
（2）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点.
21．（2024九上·沅江开学考）如图，一次函数的图象与反比例的数的图象交于点和点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，，求的面积；
（3）直接写出关于x的不等式：的解集．
22．（2024九上·长沙开学考）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
23．（2024九上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧；
（1）若点A的坐标，点B的坐标为，请你求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点A的横坐标为1，，求出k的值．
（3）若反比例函数的图象经过点，点是双曲线上的一动点过B作y轴的垂线，垂足为C，点D是坐标系中的另一点．若以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线长度的最大值为多少．
24．（2024九上·定州期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
25．（2024九上·江岸月考）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）①当售价上涨时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
②当售价下降时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
（2）每件商品的售价x定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围______．
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二次函数与反比例函数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·海淀开学考）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，∴A不符合题意；
B、由函数的图象可知，由函数的图象可知，∴B不符合题意；
C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，∴C符合题意；
D、由函数的图象可知，，一次函数与轴交与负半轴，相矛盾，故错误，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）和反比例函数的图象与系数的关系（①当k>0时，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限）分析求解即可.
2．（2024九上·重庆市开学考）在反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小，则常数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵反比例函数图像的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小，
∴k-3>0，
∴k>3，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的增减性：当k>0时，反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小；当k<0时，反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而增大，即可求解.
3．（2024九上·惠州期中）若点在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 抛物线
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-2，
-2-（-4）=2，-1-（-2）=1，1-（-2）=3，
∵3＞2＞0，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由抛物线开口向下，可知抛物线上利用对称轴越远的点，所对应的函数值越小，据此解答即可.
4．（2024九上·越秀月考）已知点，都在一次函数（k，b是常数，）图象上，（ ）
A．若有最大值4，则k的值为 B．若有最小值4，则k的值为
C．若有最大值，则k的值为4 D．若有最小值，则k的值为4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点，都在一次函数（k，b是常数，）图象上
∴，
∴
∴
∴，
当时，有最大值，
若有最大值4，，则，故A不符合题意；
若有最大值，，则，此时，故C不符合题意；
当时，有最小值，
若有最小值4，，则，故B不符合题意；
若有最小值，，则，故D符合题意．
故选：D．
【分析】将点P和点Q的坐标代入可得，求得，根据二次函数的性质求出最值即可求解.
5．（2024九上·义乌月考）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴，此选项不符合题意；
B、∵对称轴在轴的右侧，∴，∴，此选项符合题意；
C、∵抛物线与轴交于正半轴，∴，此选项不符合题意；
D、由A、B、C可得a＞0，b＜0，c＞0，∴，此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点判断的符号即可求解．
6．（2024九上·零陵期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：
①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；
②的图象关于点对称；
③的图象关于直线对称；
④若，根据图象可知，的解集是．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①②④
【答案】B
【解析】【解答】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误；
②的图象关于对称，当时，，的图象关于点对称；结论正确；
③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确；
④如图，
根据图象可知，的解集是；结论错误；
正确的有②③；
故答案为：B．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解，再利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象，最后结合函数图象逐项分析判断即可.
7．（2024九上·岳麓期末）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为（），
由图象可知，函数经过点，
∴，得
∴反比例函数解析式为．
即用电阻R表示电流I的函数解析式为
故答案为：D.
【分析】结合函数图象上点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可.
8．（2025·高州模拟）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，
即时，，
，故①正确；
，
点，关于直线对称，
，故②正确；
二次函数的图象过点和，
，
解得，
，
当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，
若为任意实数，则；
当时，抛物线开口向下，当时，为最大值，
若为任意实数，则；
故③错误；
由得，
，
又，，
得，，
则△，
关于的方程必有两个不相等的实数根，
故④正确．
故选：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
9．（2024九上·仙居期末）已知m，n为整数，抛物线（b为常数）经过点，．现有两个命题：①若，则与可能相等；②若，则与可能相等．则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都是真命题 B．①，②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，①当时，，，
若，则，
∴，即，
∵时，等式不成立，
∴，
∵m，n为整数，
∴若，则，不合题意，舍去；
若，则，不合题意，舍去，
综上，若，则与不可能相等，故①是假命题；
②当时，，，
若，则，
∴，即，
∵时，等式不成立，
∴，
∵m，n为整数，
∴若，则，符合题意；
若，则，符合题意，
综上，若，则与可能相等，故②是真命题；
故选：D．
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组、判断命题的真假. 当时，，， 根据题意可列出方程， 通过因式分解可得， 进而可推出， 分两种情况：若，若，解方程可求出m和n的值，再结合 m，n为整数， 可确定m和n的值，据此可判断说法 ① ； 当时 ，根据题意可列出方程， 通过因式分解可得， 进而可推出， 分两种情况：若，若，解方程可求出m和n的值，再结合 m，n为整数， 可确定m和n的值，据此可判断说法 ② ，再结合选项可选出答案.
10．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值是25
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．
∴是的两个实数根，
∵都是正整数，
∴，，抛物线的开口向上，对称轴直线在轴的左侧，
∵和都大于1，
∴，，
∴对称轴在的左侧，，
∴，，故B选项错误，符合题意；
∴，故A选项正确，不符合题意，
∴当时，，
则，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵都是正整数，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵都是正整数，，
∴的最小值为1，
当时，，
∴，
∴，
∴的最小值为5，
∵，
∴的最小值也为5，
∴的最小值为：；故D选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】先得到抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧，根据和都大于1，得到，即可得到对称轴在的左侧，即可得，当时，，根据二次函数与一元二次方程的关系，得到，计算即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·双城月考）二次函数与x轴交于两点，且，则k的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：因为二次函数与x轴交于两点，
可得是方程的两根，
由根与系数的关系，可得，
又因为，可得，
解得
当时，方程可化为，，符合题意；
当时，方程可化为，，不符合题意，
所以k的值为．
故答案为：．
【分析】根据题意，得到是方程的两根，再利用一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式，列出方程，求得的值，结合判别式，即可求解.
12．（2024九上·玉环月考）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为 m．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：以所在直线为轴、所在直线为轴建立直角坐标系
由题意知：P为抛物线的顶点
∵P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为
∴
∵喷水口A距地面
∴点
设抛物线的解析式为
将点代入，得：
解得：
则抛物线的解析式为：
令
∴
解得：，
∵x>0
∴舍去
m
答：水流的落地点到水枪底部的距离为．
故答案为：．
【分析】先根据题意建立以所在直线为轴、所在直线为轴的直角坐标系，再根据抛物线的顶点，设抛物线顶点式：为，把代入求得的值，可得：再令，求出的值即可．
13．（2024九上·南宁月考）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 米．
【答案】
【解析】【解答】解：以直线作为轴，以地面为轴，
由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，
∴设抛物线解析式为，
将代入可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，
∴调高后的抛物线解析式为，即，
将代入得，，
整理得：，
，
解得：，（舍去），
∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米，
故答案为：．
【分析】先建立平面直角坐标系，以直线作为轴，以地面为轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入函数解析式可求出a的值，即可得到函数解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值．
14．（2024九上·镇海区期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：①当k=2时， 函数变为：y=-4x+3，
∴y=-4x+3与x轴只有一个交点；
当k≠2时，
∵函数的图象与轴只有一个交点，
∴Δ=(-2k)2-4(k-2)(k+1)=0，
解得k =-2；
当k=±2时，函数y=(k-2)x2-2kx+(k+1)的图象与x轴只有一个交点；
故答案为：±2.
【分析】①该函数为一次函数时，k-2=0，即可得出k的值；②该函数是二次函数时，当判别式
Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一交点，即可求k的值.
抛物线与x轴的交点：
当Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；
当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
当Δ=b2-4ac < 0时，抛物线与x轴没有交点.
15．（2023九上·安吉期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为 ．
【答案】5或-1
【解析】【解答】解：∵抛物线y= ax2+bx+c（a≠0） 的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，
又∵抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是，而抛物线y=ax2－bx＋c的对称轴是，
∴两抛物线开头方向，形状都相同，又关于y轴对称，
∴两抛物线与x轴的交点也关于y轴对称，
∴抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点的横坐标为5和-1，
即方程 ax2－bx＋c=0 的解为x1=5，x2=-1.
故答案为：5或-1.
【分析】抛物线的图像与x轴的交点就是对应一元二次方程的两个根，所以本题只需要知道抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点就能求出.
16．（2024九上·嘉兴期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴交于点 ，
∴点A坐标（0，－3）.
∵ =a(x-2)2－4a－3
∴顶点坐标是P（2，－4a－3），对称轴是x=2，
∴B点坐标（4，－3）.
∴AB=4.
∴，
∴BC=3.
∴C(1，－3)或者C（7，－3）
∴当C坐标为(1，－3)时，直线OP的解析式：y=－3x.
把x=2代入得，y=-6，即－4a－3=－6，
∴.
∴当C坐标为(7，－3)时，直线OP的解析式：
把x=2代入得，，即，
∴.
故答案为：或.
【分析】根据A点坐标和对称轴可以得到点B的坐标，从而得到AB长，根据4BC=3AB，得BC长，点C在直线AB上，但位置不确定，由两种情况：①点C在线段AB之间，②点C在线段AB的延长线上，分情况表示出点C坐标，从而得到直线OP的解析式，把x=2代入，即可得到a的值.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·吉林高新技术产业开发期末）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值．
【答案】（1）解：∵y是x的反例函数，
∴设y= (k≠0)，
当x=2时，y=6．
∴k=xy=12，
∴y=；
（2）解：∵y=，
∴当x=4时，y=3．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）将x=4代入解析式y=，求出y的值即可.
（1）解：∵y是x的反例函数，
∴设y= (k≠0)，
当x=2时，y=6．
∴k=xy=12，
∴y=；
（2）解：∵y=，
∴当x=4时，y=3．
18．（2024九上·北京市月考）在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，它的对称轴为直线．
（1）若该抛物线经过点，求的值；
（2）当时，
若，则 0；（填“”“”或“”）
若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①
②，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，且经过原点，
∴与轴的另一个交点为，
∵，
∴或，
解得：或．
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线图象开口向下，
∵时，，
∴抛物线过原点，
①，，
∴对称轴，
∴
故答案为：；
【分析】（1）将点（4，0）代入解析式求出，再结合 对称轴为直线，可得，最后求出t的值即可；
（2）①先求出对称轴，再求出即可；
②先求出抛物线与轴的另一个交点为，再结合，求出或即可．
（1）∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴抛物线图象开口向下，
∵时，，
∴抛物线过原点，
，，
∴对称轴，
∴
故答案为：；
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，且经过原点，
∴与轴的另一个交点为，
∵，
∴或，
解得：或．
19．（2024九上·新会开学考）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
（1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？
（2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，根据题意得
解之：
∴y=-2x+100，
当x=35时y=-2×35+100=30，
设三月份每件产品的成本是a元，根据题意得
30（35-a）=450
解之：a=20.
答：三月份每件产品的成本是20万元
（2）解：根据题意得
w=[x-（20-14）]y=（x-6）（-2x+100）-450=-2（x-28）2+518
∵四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，
∴25≤x≤30，
∵a=-2，抛物线的开口向下，
∴当25≤x＜28时，y随x的增大而增大，28＜x≤30时，y随x的增大而减小，
∴当x=25时，w有最小值=-2（25-28）2+518=500
∴ 最少利润是500万元
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可求出y与x的函数解析式，同时求出当x=35时y的值；设三月份每件产品的成本是a元，根据今年三月份的利润为450万元，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）利用利润=每一件的利润×销售量-450，可得到w关于x的函数解析式，再根据四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，可得到x的取值范围，再利用二次函数的增减性，可求出w的最小值，即可求解.
20．（2023九上·永善期末）已知函数（m为常数）.
（1）若该函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围；
（2）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点.
【答案】（1）解：∵ 函数与 y轴的交点在x轴上方，
∴ x=0，y=m-1
∴ m-1＞0
∴ m＞1
则m的取值范围是m＞1.
（2）解：∵
∴ a=1，b=2m，c=m-1
∴
∵ （2m-1）2≥0，
∴ （2m-1）2+3≥3
∴
∴ 不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点.
【解析】【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，与x轴的交点个数，利用函数求出函数与y轴交点坐标，明确函数与x轴交点个数由与0的关系来决定。（1）求出函数与y轴交点纵坐标，则纵坐标大于0即可得m范围；（2）证明≥0即可.
21．（2024九上·沅江开学考）如图，一次函数的图象与反比例的数的图象交于点和点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，，求的面积；
（3）直接写出关于x的不等式：的解集．
【答案】（1）解：∵点和点都在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴，，
把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为．
故答案为：一次函数解析式为；反比例函数的解析式为.
（2）解：把代入得：，解得：，
∴，
∴．
故答案为：.
（3）解：根据函数图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上面，
∴关于x的不等式：的解集为或．
故答案为：或．
【解析】【分析】（1）利用点A、B都在反比例函数图象上，可得，求出n的值，再将点A、B的坐标分别代入求出k、b的值即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式及割补法求出即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图像在上方的原则求解即可.
（1）解：∵点和点都在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴，，
把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为．
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴，
∴．
（3）解：根据函数图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上面，
∴关于x的不等式：的解集为或．
22．（2024九上·长沙开学考）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：因为销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
所以，
解得，k＝﹣1，b＝120，
即一次函数的表达式为；
（2）解：因为服装成本为每件60元， 销售单价x，销售量，
所以
，
因为销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，
所以，得，
所以当x＝87时，W取得最大值，此时，
答：利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
【解析】【分析】（1）根据题意，将两对数值代入一次函数的表达式列出关于和的方程组，利用待定系数法可以求得一次函数的表达式；
（2）根据题意可以得到利润W与销售单价x之间的关系式，并求得销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元；
（1）解：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
，
解得，k＝﹣1，b＝120，
即一次函数的表达式为；
（2）解：由题意可得，
，
∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，
，得，
∴当x＝87时，W取得最大值，此时，
答：利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
23．（2024九上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧；
（1）若点A的坐标，点B的坐标为，请你求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点A的横坐标为1，，求出k的值．
（3）若反比例函数的图象经过点，点是双曲线上的一动点过B作y轴的垂线，垂足为C，点D是坐标系中的另一点．若以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线长度的最大值为多少．
【答案】（1）解：把代入得到，
∴反比例函数解析式为；
∵经过点，
∴，
∴，
设直线解析式为，代入，得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：连接OA、OB，过作轴于，过作于，交轴于，则，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵点A的横坐标为1，经过点A的双曲线，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
把代入得，
解得，
∵在第一象限，
∴，
∴；
（3）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点是双曲线上的一动点，
∴，
∵过B作y轴的垂线，垂足为C，
∴，，
过作轴交于，
∵以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
中过A，B，C，三个点分别作对边的平行线，交点为，此时以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，
当是平行四边形时，如图，点向左平移4个单位长度得到点，则向左平移4个单位长度得到点，此时对角线，；
同理当是平行四边形时，如图，由平移得到，此时对角线，；
同理当是平行四边形时，如图，由平移得到，此时对角线，；
综上所述，以A，B，C，D为顶点的平行四边形的对角线长度的最大值为．
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点求出点B（4，1），最后再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）连接OA、OB，过作轴于，过作于，交轴于，易得四边形OMNC是矩形，由矩形的对边相等得OM=CN，MN=CO，由等角对等边得OA=AB，由同角的余角相等得∠OAM=∠ABN，从而利用AAS判断出△AOM≌△BAN，由全等三角形的对应边相等得AM=BN，OM=AN；根据反比例函数图象上点的坐标特点得，根据点的坐标与图形性质得，将点B的坐标代入得，解方程即可；
（3）先求出反比例函数解析式为，再由面积得到，最后在中过A，B，C，三个点分别作对边的平行线，交点为，此时以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，利用平移求出点坐标，分别求出对角线的长度，最后取最大对角线长度即可．
（1）解：把代入得到，
∴反比例函数解析式为；
∵经过点，
∴，
∴，
设直线解析式为，代入，得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：连接OA、OB，过作轴于，过作于，交轴于，则，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵点A的横坐标为1，经过点A的双曲线，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
把代入得，
解得，
∵在第一象限，
∴，
∴；
（3）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点是双曲线上的一动点，
∴，
∵过B作y轴的垂线，垂足为C，
∴，，
过作轴交于，
∵以A，B，C，D为顶点的平行四边形的面积为12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
中过A，B，C，三个点分别作对边的平行线，交点为，此时以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，
当是平行四边形时，如图，点向左平移4个单位长度得到点，则向左平移4个单位长度得到点，此时对角线，；
同理当是平行四边形时，如图，由平移得到，此时对角线，；
同理当是平行四边形时，如图，由平移得到，此时对角线，；
综上所述，以A，B，C，D为顶点的平行四边形的对角线长度的最大值为．
24．（2024九上·定州期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）解：当时，，
，
将和代入，得：，
解得，
；
（2）解：由抛物线的对称性可得，
，
，
，
矩形的周长为，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）解：如图，
当时，点A，B，C，D的坐标分别为，，，，
∴矩形对角线的交点P的坐标为，
∵直线平分矩形的面积，
∴点P是和的中点，
∴，
∵，
∴线段平移后得到的线段是，线段的中点Q平移后的对应点是P，
由平移知，，
∴是的中位线，
∴，
即抛物线向右平移的距离是4个单位．
【解析】【分析】本题考查二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，平移变换的性质.（1）将和代入可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出 抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性可得，进而可得，再根据，利用矩形的周长计算公式可用含t的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质可求出矩形的周长有最大值，进而可求出答案；
（3）由可求出点A，B，C，D及矩形对角线交点P的坐标，根据直线平分矩形的面积，可得直线必过点P，根据知线段平移后得到的线段是，由线段的中点Q平移后的对应点是P，据此可得：，利用三角形的中位线定义可得：是的中位线，据此可得：，进而可求出抛物线平移的距离．
25．（2024九上·江岸月考）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）①当售价上涨时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
②当售价下降时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
（2）每件商品的售价x定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围______．
【答案】（1）解：∵进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，
又∵售价每上涨1元，则每月少卖10件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件，
∴上涨了元，少卖出了件，
∴，
整理得：，
∵每件售价不能高于65元，x为正整数，
∴；
∵如果售价每下降1元，则每月多卖12件，
∴下降了元，多卖出了件，
∴，
整理得：，
∵每件售价不低于48元，x为正整数，
∴，
（2）解：∵由（1）得和，
∴对价格上涨和下降分情况讨论利润问题：
设：利润为，
①当价格上涨时，售价为x，此时销量为，
∴，
整理得：，
∵且为正整数，，开口向下利润有最大值，
∴售价元时利润最大，最大利润为：元，
②当价格下降时，售价为x，此时销量为，
∴，
整理得：，
∵且为正整数，，开口向下利润有最大值，
∴对称轴，当元时，利润最大为：元，
∵，
∴综上所述：当售价为55元时，利润最大，最大利润为2250元.
（3）解：∵售价上涨的情况下，每件商品还有元的其他费用需要扣除，
由（1）得，，
∴，
整理得：，
∴对称轴为：，
∵当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小，
∴，
∴，
∵，
∴，
【解析】【分析】（1）①根据“ 当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件 ”列出函数解析式即可；
②利用“ 当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元） ”列出函数解析式即可；
（2）分类讨论：①当价格上涨时，售价为x，此时销量为，②当价格下降时，售价为x，此时销量为，再分别利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，最后利用二次函数的性质分析求解即可；
（3）根据题意列出函数解析式，整理得：，再利用二次函数的性质分析求解即可.
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