1．曲线运动
教材分析
在第五章的章引中介绍了曲线运动，并介绍研究直线运动的思路原则上同样可以用来处理曲线运动。
人教新课标教材第3版与第2版相比，本章和本节内容均有较大的变动。
本节内容主要学习曲线运动的位移、曲线运动的速度、运动描述的实例和物体做曲线运动的条件等四个问题。
在直线运动中用坐标表示物体的位置，用坐标的变化量表示位移。教材中从位移的概念出发介绍了曲线运动中的位移确定方法；教材从实例和实验得出曲线运动的速度方向，并分析得出曲线运动的特点；在运动描述的实例中通过蜡块实验，对蜡块的位置、位移、速度、轨迹等具体的介绍，并初步介绍了运动的合成和分解的思想方法。最后通过实验分析得出物体做曲线运动的条件。
学情分析
在初中，已经学过什么是直线运动，什么是曲线运动，也知道曲线运动是常见的运动，但是不知道曲线运动的特点和原因。由于初中的速度概念的影响，虽然学生在第一模块学过速度的矢量性，但是在实际学习中常常忽略了速度的方向，也就是说学生对“曲线运动是变速运动”的掌握有困难。
学生在必修1中已经学习了直线运动的研究方法，在本学习中将利用直线运动的思路来研究曲线运动，初步掌握曲线运动的研究方法。
设计思想
在本节学习中利用研究直线运动的思路来研究曲线运动。关于曲线运动的速度方向的教学，通常通过演示圆周运动的小球离心现象，演示砂轮火星痕迹实验，采取告知的方式，让学生知道曲线运动的速度方向为该位置的切线方向，由于轨迹是瞬间性，实验有效性差。在教材中，通过曲线轨道实验演示曲线运动的方向，再告知速度方向是曲线的切线方向，能获得具体的轨迹和末速度的“方向”，但是无法证明速度方向是切线方向。通过简易器材，让学生通过探究过程获得曲线运动的速度方向，并自己获得如何画曲线运动的速度方向的方法，强调科学探究的过程，以便学生把自己获得的知识应用于实践，体验学以致用、知识有价的感受。
在运动描述的实例中，先观察蜡块的二维运动，探究其位置、轨迹和速度问题。虽然没有明确提出运动的合成和分解，以及合运动、分运动等概念，但在教材内容中隐含了这种方法。教材在实例选择时没有选用轮船渡河的现象来研究，主要是考虑有的学生对这一现象生活体验不足，缺泛感性认识，且演示困难。教材中选用的实验演示方便，操作简单，直接能够在课堂里观察。做好实验是上好本节课的关键，做实验时一定要有交代，有层次。考虑到学生观察时注意力只能集中在某一处，而分析合运动与分运动的关系时需要不断变换观察的对象，观察的过程又是思考的过程，所以最后的演示应该多做几遍。有条件的可用多媒体课件动态展示。实验演示要与学生的思考紧密结合。做实验时要让学生明确观察什么？思考什么？运动的合成与分解同力的合成与分解一样，都遵循矢量运算的平行四边形定则。建立坐标系，定量地分析蜡块的位置、运动轨迹、位移、速度等，在此基础上明确分运动、合运动，运动的合成和运动的分解等概念。运动的合成和运动的分解包括位移、速度和加速度的合成和分解。在例题教学中要让学生明确运动的合成和分解对变速运动也是成立的，但要强调瞬时对应性。
三维目标
知识与技能
1．知道曲线运动物体的位置确定方法，了解曲线运动物体的位移；
2．知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动；
3．掌握运动的合成和分解的基本方法，能用于研究蜡块的运动；
4．知道物体做曲线运动的条件是所受的合外力与它的速度方向不在一条直线上。
过程与方法
1．体验曲线运动与直线运动的区别；
2．体验曲线运动是变速运动及它的速度方向的变化；
3．体验用直线运动的思路来研究曲线运动。
情感、态度与价值观
1．能领略曲线运动的奇妙与和谐，发展对科学的好奇心与求知欲；
2．有参与科技活动的热情，将物理知识应用于生活和生产实践中。
教学重点
1．物体做曲线运动速度的方向的确定；
2．通过描述运动的实例，了解研究曲线运动的方法；
3．物体做曲线运动的条件。
教学难点
1．用直线运动的思路来研究曲线运动，了解研究曲线运动的方法；
2．物体微曲线运动的条件。
教学方法
探究、讲授、讨论、练习、归纳、推理法。
教具准备
音像资料、多媒体教学系统及课件、斜面、小钢球、小木球、条形磁铁、演示红蜡烛运动的有关装置。
教学过程
［新课导入］
前面我们研究了直线运动，下面请同学们思考两个问题：①什么是直线运动？②物体做直线运动的条件是什么？
在实际生活中，普遍发生的是曲线运动。下落的树叶、运动员掷出的铁饼、发射出的导弹、汽车拐弯等的运动是曲线运动，地球、月球、人造卫星等天体的运动也都是曲线运动。
从现在开始，我们研究质点沿曲线运动时所遵循的规律。这一节的任务是找出描述曲线运动的方法，下一节将根据牛顿运动定律得出质点做曲线运动的规律。这个思路与研究直线运动是一样的。
那么什么是曲线运动呢？从本节课开始我们就来学习这个问题。
［新课教学］
一、曲线运动
【屏幕展示】导弹所做的运动、汽车转弯时所做的运动、人造卫星绕地球的运动等几种物体所做的曲线运动。
总结：它们的运动轨迹都是曲线。
【演示】演示平抛运动，该运动的特征是什么？（轨迹是曲线）
这里我们看到一种我们前面没有学过的运动形式，它与我们前面学过的运动形式有本质的区别。前面我们学过的运动的轨迹都是直线，而我们现在看到的这种运动的轨迹是曲线，我们把这种运动称为曲线运动。
轨迹是曲线的运动叫曲线运动。
其实曲线运动是比直线运动普遍的运动情形，微观世界里如电子绕原子核旋转；宏观世界里如天体运行；生活中如投标抢、掷铁饼、跳高、既远等均为曲线运动。
二、曲线运动的位移
1．曲线运动的位置
研究物体运动时，坐标系的选取是很重要的。在直线运动中有直线坐标就能确定质点的位置，用坐标的变化量可以确定质点的位移。
当我们把一个物体沿水平方向抛出，它不会一直在水平方向上运动，而是沿着一条曲线落向地面。这种情况下无法应用直线坐标系，而应该选择平面直角坐标系。
例如，这个坐标系的原点可以选在物体离开手掌时的位置，同时让x轴沿水平抛出的方向、y轴沿竖直向下的方向，如图。
当物体运动到A点时，物体的位置可以用位置坐标xA、yA表示。
做曲线运动的质点某时刻的位置用平面直角坐标（xA、yA）表示。
2．曲线运动的位移
做曲线运动的质点相对于抛出点的位移是OA，可以用l表示。然而这类问题中位移矢量l的方向在不断变化，运算不太方便，所以要尽量用它在坐标轴方向的分矢量来代表它。由于两个分矢量的方向是确定的，所以只用A点的坐标就能表示它们，于是问题就简单了。
（1）大小
（2）方向
设位移方向与x轴正方向的夹角为α，有
三、曲线运动的速度
在前面学习直线运动的时候我们已经知道了任何确定的直线运动都有确定的速度方向，这个方向与物体的运动方向相同，现在我们又学习了曲线运动，大家想一想我们该如何确定曲线运动的速度方向?
【思考与讨论】
观察下面两图中描述的现象，你能不能说清楚，砂轮打磨下来的炽热微粒、飞出去的链球，它们沿着什么方向运动？
射出的火星是砂乾与刀具磨擦出的微粒，由于惯性，以脱离砂轮时的速度沿切线方向飞出，切线方向即为火星飞出时的速度方向。对于链球也是同样的道理，它们也会沿着脱离点的切线方向飞出。
运动员掷链球时，链球在运动员的牵引下做曲线运动，一旦运动员放手，链球即刻飞出。放手的时刻不同，链球飞出的方向也不一样，可见做曲线运动的物体，不同时刻的速度具有不同的方向。所以，在研究曲线运动的速度时，我们首先考虑怎样确定物体在某一时刻的速度方向。
1．曲线运动速度的方向
刚才的几个物体的运动轨迹都是圈，我们总结曲线运动的方向沿着切线方向，但对于一般的曲线运动是不是也是这样呢?下面我们来做个实验看一看，一般的曲线运动是什么情况。
【演示】
如图所示，水平桌面上摆一条曲线轨道，它是由几段稍短的轨道组合而成的。钢球由轨道的一端滚入（通过压缩弹簧射入或通过一个斜面滚入），在轨道的束缚下做曲线运动。在轨道的下面放一张白纸，蘸有墨水的钢球从出口A离开轨道后在白纸上留下一条运动的痕迹，它记录了钢球在A点的运动方向。
拆去一段轨道，钢球的轨道出口改在图中B。同样的方法可以记录钢球在轨道B点的运动方向。
白纸上的墨迹与轨道（曲线）有什么关系？
墨迹与轨道只有一个交点，说明了墨迹所在的直线为轨道所在曲线在该点的切线，也就是说质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是在曲线的这一点的切线方向。
在讨论曲线运动的速度方向时要明确一个数学概念：曲线的切线。初中数学中我们已经知道圆的切线，对于其他曲线，切线指的是什么？
如图所示，过曲线上的A、B两点作直线，这条直线叫做曲线的割线。设想B点逐渐向A点移动，这条割线的位置也就不断变化。当B点非常非常接近A点时，这条割线就叫做曲线在A点的切线（tangent）。
质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．曲线运动是变速运动
【思考讨论】
①在曲线运动中如何求某点的瞬时速度？
分析：用与直线运动相同的思维方法来解决。
先求AB的平均速度，t越小，vAB越接近A点的瞬时速度vA，当t→0时，即可求出A点的瞬时速度vA，A点的瞬时速度方向为该点的切线方向。
②在曲线运动中，曲线运动的速度和直线运动的速度最大的区别是什么？
在运动的过程中，直线运动的速度方向始终在一条直线上，不会时刻发生变化，而曲线运动速度方向时刻在变。
直线运动的速度大小和方向都可以不变，加速度可以为零。曲线运动的方向时刻在变，加速度一定不为零。
由速度的性质知，速度是矢量，既有大小又有方向。在匀变速运动中，速度大小发生变化，我们说这是变速运动，而在曲线运动中，速度方向时刻在改变，我们也说它是变速运动。
速度是矢量，它既有大小，又有方向。不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度矢量发生了变化，也就具有加速度。曲线运动中速度的方向时刻在变，所以曲线运动是变速运动。
速度大小、方向中的一个或两个同时变化，就表示速度矢量发生了变化。由于做曲线运动的物体，速度方向时刻改变，所以不论曲线运动物体的速度大小是否改变，它的速度矢量都发生了变化，一定有加速度，是变速运动。
曲线运动→速度方向时刻改变→速度矢量时刻改变→一定有加速度→合力一定不等于零→一定是变速运动。
曲线运动必有加速度，一定是变速运动。
【课堂练习】
①关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动逮度的方向不断地变化。但速度的大小可以不变
C．曲线运动的逮度方向可能不变
D．曲线运动的速度大小和方向一定同时改变
②对曲线运动中的速度的方向，下列说法正确的是（ ）
A．在曲线运动中，质点在任一位置的速度方向总是与这点的切线方向相同
B．在曲线运动中，质点的速度方向有时也不一定是沿着轨迹的切线方向
C．旋转雨伞时．伞面上的水滴由内向外做螺旋运动，故水滴速度方向不是沿其切线方向的
D．旋转雨伞时，伞面上的水滴由内向外做螺旋运动，水滴速度方向总是沿其轨道的切线方向
参考答案
①A 解析：对于曲线运动来说，在运动的过程中，物体速度方向始终在变化，所以曲线运动一定是变速运动．在这个过程中．物体速度的大小是否发生变化，并不影响曲线运动是变速运动。因此，速度大小可能变化，也可能不变。所以本题应该选择A。
②AD解析：本题主要考查物体做曲线运动时的速度方向，解此题只要把握一点：不论在任何情况下，曲线运动速度方向总是与其轨道的切线方向一致的，所以本题应该选择AD。
3．曲线运动的速度
（1）分速度
速度是矢量，它与其它矢量一样，可以用它在相互垂直的两个分矢量来表示，这两个分矢量叫分速度。
曲线运动速度相互垂直的两个分矢量叫分速度。
（2）曲线运动的速度与分速度的关系
我们仍以被抛出的物体的运动为例，物体的速度记为v，沿曲线的切线方向，vx、vy是它在两个坐标轴方向的分速度。如果速度方向与x轴的夹角是θ，按照锐角三角函数的定义，两个速度vx、vy与速度的关系是
vx＝vcosθ
vy＝vsinθ
【例题】飞机起飞时v＝300 km/h的速度斜向上飞，飞行方向与水平面的夹角θ＝30o。求水平方向的分速度vx和竖直方向的分速度vy。
分析和解 飞机斜向上飞的运动可以看做它在水平方向和竖直方向的两个分运动的合运动。把v＝300 km/h按水平方向和竖直水平方向分解，如图，可得
vx＝vcos30°＝260 km/h
vy＝vsin30°＝150 km/h
飞机在水平方向和竖直方向的分速度分别为260 km/h和150 km/h。
【做一做】
如图所示，取一根稍长的细杆，一端固定一枚铁钉，另一端用羽毛或纸片做一个尾翼，这就做成了一个能够显示曲线运动速度方向的“飞镖”。在空旷地带把飞镖斜向上抛出，飞镖在空中的指向就是它做曲线运动的速度方向。飞镖落至地面插入泥土后的指向就是它落地瞬时的速度方向。改变飞镖的投射角，观察它插至地面时的不同角度。
与飞镖在空中做曲线运动的轨迹相联系，体会曲线运动的速度方向与轨迹曲线的关系。
四、运动描述的实例
分析下面的实例，对于怎样用物体的位置（位移）和速度描述它在平面中的运动，可以有些更清晰的认识。
【演示】
在一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体R，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧（图甲）。
将这个玻璃管倒置，（图乙），蜡块R就沿玻璃管上升。如果旁边放一个米尺，可以看到蜡块上升的速度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。
再次将玻璃管上下颠倒，在蜡块上升的同时将玻璃管水平向右匀速移动，观察蜡块的运动。
这个实验中，蜡块既向上做匀速运动，又由于玻璃管的移动向右做匀速运动，在黑板的背景前我们看出蜡块是向右上方运动的。那么，蜡块的“合运动”是匀速运动吗？合运动的轨迹是直线吗？这些都不是单凭观察能够解决的。
红蜡块可看成是同时参与了下面两个运动，在玻璃管中竖直向上的运动和随玻璃管水平向右的运动，红蜡块实际发生的运动是这两个运动合成的结果。
1．运动的合成和分解
（1）合运动和分运动
①合运动：由几个简单运动组成的整体运动，叫做合运动。
上面的实验中，红蜡块实际发生的运动，即蜡块相对于黑板向右上方的运动叫做合运动。
②分运动：组成合运动的几个简单运动，叫做分运动。
上面的实验中，蜡块沿玻璃管的运动和它随着玻璃管向右的运动，都叫做分运动；
明确了合运动和分运动的概念之后，我们就可以得出运动合成与分解的概念了
（2）运动的合成和分解
①运动的合成
由分运动求合运动的过程叫做运动的合成（composition ofmotion）；
②运动的分解
由合运动求分运动的过程，叫做运动的分解（resolutionof motion）。
③运动的合成和分解遵循平行四边形定则
现在来考虑我们在对蜡块的速度、位移进行分解与合成的时候是采用的什么方法？或者说是在合成与分解的过程中合速度与分速度、合位移与分位移之间存在着什么样的联系？（合速度是两个分速度通过平行四边形定则求出来的，也就是它们之间是进行的矢量加减，合位移与分位移之间也存在这种关系。）
也就是说在运动的合成与分解的过程中，统一的遵守着平行四边形定则。之所以会出现这种规律，其根本在于我们在运动的合成与分解中所合成与分解的各个物理量都是矢量，而矢量的加减是遵循平行四边形定则的。
（3）运动合成的两个重要特性
现在来考虑各个分运动之间有什么关系？（就蜡块的运动来说，当玻璃管上下颠倒后静止时，在竖直方向上蜡块做的是匀速直线运动，当玻璃管上下颠倒后增加了一个向右的匀速直线运动后，蜡块竖直方向的运动仍然为匀速直线运动，也就是说，蜡块在竖直方向上的分运动并不会受到其他分运动的影响。）
实际上不仅仅蜡块竖直方向上的分运动不受其他分运动的影响，在运动的过程中，虽然体现出来的是合运动的运动效果，但各个分运动仍然保持各自的独立性，并不会因为参与了运动合成而改变自己的状态，在运动的合成的过程中，各个分运动是互不影响的。我们把这个特点称为运动的合成与分解的独立性原理。
①运动的独立性
任一分运动都不会因另一方向上的分运动而受到影响，亦即组成合运动的所有分运动都是各自独立的。
运动的独立性是运动挽叠加的基础，也是解题中的重要依据之一。
②运动的同时性
现在再来想一下，在运动的合成与分解的过程中，合运动和各个分运动之间有什么关系？（合运动和分运动总是同时开始同时结束，没有合运动也就没有分运动，反之也成立，即没有分运动也就没有合运动。）
很好，对于运动的合成与分解过程的这个特点，我们把它称为运动的合成与分解的同时性原理。也就是说，在物体的运动过程中，合运动持续的时间和各分运动所持续的时间是致的。这是合运动与分运动之间的关系。
合运动和组成它的所有分运动，在运动过程中到达对应位置所经历的时间都是相等的，这就是运动的同时性。
2．蜡块运动的分析
对于直线运动，很明显，其运动轨迹就是直线，直接建立直线坐标系就可以解决问题，但如果是一个运动轨迹不确定的运动还能这样处理吗？很显然是不能的，这时候我们可以选择平面内的坐标系了。比如选择我们最熟悉的平面直角坐标系。下面我们就来看一看怎样在乎面直角坐标系中研究物体的运动。
（1）蜡块的位置
建立如图所示的平面直角坐标系：选蜡块开始运动的位置为原点，水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向。
在观察中我们已经发现蜡块在玻璃管中是匀速上升的，所以我们设蜡块匀速上升的速度为vy，玻璃管向右匀速运动的速度为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，我们就可以得到蜡块在t时刻的位置P(x，y)，我们该如何得到点p的两个坐标呢？
蜡块在两个方向上做的都是匀速直线运动，所以x、y可以通过匀速直线运动的位移公式x＝vt获得，即：
x＝vxt
y＝vyt
这样我们就确定了蜡块运动过程中任意时刻的位置，然而要知道蜻块做的究竟是什么运动这还不够，我们还要知道蜡块的运动轨迹是什么样的。下面我们就来操究这个问题。
（2）蜡块的位移
在直线运动中我们要确定物体运动的位移，我们只要知道物体的初末位置就可以了，对于曲线运动也是一样的。在前面建立坐标系的时候我们已经说过了，物体开始运动的位置为坐标原点，现在我们要找任意时刻的位移，只要再找出任意时刻t物体所在的位置就可以了。
实际上这个问题我们已经解决了，前面我们已经找出物体在任意时刻的位置P(x，y)，请同学们想一下在坐标中物体位移应该是怎么表示的呢？
在坐标系中，线段OP的长度就代表了物体位移的大小。现在我找一位同学来计算一下这个长度。
我们在前面的学习中已经知道位移是矢量，所以我们要计算物体的位移仅仅知道位移的大小是不够的，我们还要再计算位移的方向。这应该怎样来求呢？
因为坐标系中的曲线就代表了物体运动的轨迹，所以我们只要求出该直线与x轴的夹角θ就可以了，它的正切值为
tanθ＝
这样就可以求出θ，从而得知位移的方向。
现在我们已经知道了蜡块做的是直线运动，并且求出了蜡块在任意时刻的位移，但我们还不知道蜡块做的是什么样的直线运动，要解决这个问题，我们还需要求出蜡块的速度。
（3）蜡块的速度
根据我们前面学过的速度的定义，物体在某过程中的速度等于该过程的位移除以发生这段位移所需要的时间，即前面我们已经求出了蜡块在任意时刻的位移的大小，所以我们可以直接计算蜡块的位移，直接套入速度公式我们可以得到什么样的速度表达式？带入公式可得：
＝
根据三角函数的关系，还可以确定速度v的方向，即角θ的正切
tanθ＝
分析这个公式我们可以得到什么样的结论？
vx、vy都是常量，也是常量。也就是说蜡块的速度是不发生变化的，即蜡块做的是匀速运动。
速度v和两个分速度vx、vy的关系也可以根据三角函数的关系和勾股定理导出。
（4）蜡块的运动轨迹
我们在数学课上就已经学过了怎样在坐标中表示一条直线或曲线。在数学上，关于x、y两个变量的方程就可以代表一条直线或曲线，现在我们要找的蜡块运动的轨迹，实际上我们只要找到表示蜡块运动轨迹的方程就可以了。观察我们刚才得到的关于蜡块位置的两个方程，发现在这两个关系式中，除了x、y之外还有一个变量，那我们应该如何来得到蜡块的轨迹方程呢？
根据数学上的消元法，我们可以从这两个关系式中消去变量t，就可以得到关于x，y两个变量的方程了。实际上我们前面得到的两个关系式就相当于我们在数学上学到的参数方程，消t的过程实际上就是消参数的过程。
从这两个关系式中消去变量t，得到
现在我们对上式进行数学分析，看看它究竟代表的是一条什么样的曲线呢？
由于蜡块在x、y两个方向上做的都是匀速直线运动，所以vy、vx都是常量，所以也是常量，可见代表的是一条过原点的倾斜直线。
在物理上这代表什么意思呢？
这也就是说，蜡块相对于黑板的运动轨迹是直线，即蜡块做的是直线运动。
3．位移、速度的合成和分解
（1）位移的合成和分解
设某段时间内两分位移分别为x1、x2，且x1、x2间的夹角为θ，则对应时间内的合位移大小：
x＝
方向：合位移x与x1间夹角Φ的正切为：
tanΦ＝
在进行位移的合成时，应注意“同物性”、“同时性”和 “同系性”。
位移的分解是位移的合成的逆运算。
（2）速度的合成和分解
设某时刻两分运动的速度分别为v1、v2，且v1、v2间的夹角为θ，则对应时时刻的合速度v的大小：
v＝
方向：v与v1间夹角Φ的正切为：
tanΦ＝
在进行速度的合成时，同样应注意“同物性”、“同时性”和 “同系性”。
速度的分解是速度的合成的逆运算。
（3）合运动性质的判断
①定性判断──作图法
合运动性质的判断可采用描点作图法。
②定量判断──计算法
运用合速度的大小和方向的两个公式可判断合运动的性质。
若tanΦ的值不随时间而变，则合运动为直线运动；若tanΦ与时间有关，随时间而变，则合运动为曲线运动。
利用合速度大小公式，可得到合速度的大小是否随时间而变，并可得到定量的关系。
【思考讨论】
①两个在同一直线上的分运动的合运动性质怎样？
②两个互成角度的匀速直线运动的合运动性质怎样？
③两个互成角度的初速度为零的匀加速直线运动的合运动性质怎样？
④两个互相垂直的一个匀速运动、一个初速度为零的匀加速运动的合运动性质怎样？
【例题】在前面所做的实验中，如果玻璃管长90cm，红蜡块由玻璃管的一端沿管匀速竖直向上运动，同时匀速地水平移动玻璃管，当玻璃管水平地移动了80cm时，红蜡块到达玻璃管的另一端。整个运动过程所用的时间为20s，求红蜡块运动的合速度。
分析和解：红蜡块参与水平方向和竖直方向的两个分运动，两个分运动和合运动所用的时间相同，根据已知条件可求出两个方向的分速度，进而可求出合速度。
竖直方向的分速度v1＝0.045m/s
水平方向的分速度v2＝0.04m/s
合速度的大小：v＝＝6.0×10－2 m/s。
合速度与水平方向夹角的正切值为tanΦ＝v1/ v2＝1.125
（本题也可先求出合位移，再求速度）
【例题】在湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过一个高处的滑轮拉船靠岸。当绳子以大小不变的速度v通过滑轮，绳与水平方向成α角时，求船前进的瞬时速度？船作怎样的运动？
通过本例介绍用速度定义法和绳向速度相等法求两个相关物体的速度关系的方法。
解：（略）
v船＝v/cosα，船在水平方向作变加速运动。
五、物体做曲线运动的条件
为什么有些物体做直线运动，有些物体做曲线运动呢?下面我们通过几个实验来研究以下这个问题。
【演示】
如图所示的装置放在水平桌面上，在斜面顶端放置一钢球，放开手让钢球自由滚下，观察钢球在桌面上的运动情况，记住钢球的运动轨迹。（钢球做直线运动，速度逐渐减小。）
请同学们来分析钢球在桌面上的受力情况？（钢球受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，还受到滑动摩擦力的作用。）
摩擦力的方向如何？（摩擦力的方向与运动方向在同一直线上，但与运动方向相反）
在刚才的实验中，钢球的运动路径旁边放一块磁铁，重复刚才的实验操作，观察钢球在桌面上的运动情况？（钢球做曲线运动）
分析钢球在桌面上的受力情况？（钢球受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，还受到方向与运动方向相反的滑动摩擦力的作用，此外还受到磁铁的吸引力。）
引力的方向如何？（引力的方向随着钢球的运动不断改变，但总是不与运动方向在同一直线上。）
把上次实验用的钢球改为同等大小的木球重复上次实验，观察木球运动情况？（木球做直线运动，速度不断减小。）
分析木球在桌面上的受力情况？（木球受竖直向下的重力、竖直向上的支持力，还受到方向与运动方向相反的滑动摩擦力的作用，木球并不受到磁铁给它的吸引力。）
随手抛出一个粉笔头，观察粉笔头的运动状态？（粉笔头做曲线运动）
分析粉笔头的受力情况？（受竖直向下的重力的作用。）
在以上几个实验中，第一个钢球只受到与运动方向在同一条直线上与运动方向垂直的力的作用，做的是直线运动，木球同样也受到这样的力的作用，也是做直线运动，面第二个钢球受到一个与运动方向成一定夹角的力的作用，做的是曲线运动；粉笔头受的重力与它的运动方向也不在同一条直线上，粉笔头傲曲线运动。由此我们可以得出什么样的情况下物体会做曲线运动？
1．当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动
抛出的石子，由于所受重力的方向与速度的方向不在一条直线上，所以石子做曲线运动；人造地球卫星绕地球运行，由于地球对它的引力与速度的方向不在同一直线上，所以卫星做曲线运动。
?
2．做曲线运动的物体，它的加速度方向跟它的速度方向也不同一直线上
因加速度方向跟它所受合力方向相同，所以，做曲线运动的物体，它的加速度方向跟它的速度方向也不同一直线上。
3．物体做直线运动和曲线运动条件的理论解释
物体做直线运动和曲线运动条件，可以根据牛顿第二定律平来解释。
当合力的方向与物体的速度方向在同一直线上时，产生的加速度也在这条直线上，物体就做直线运动。
如果合力的方向跟速度方向不在同一条直线上，而是成一角度，产生的加速度也是跟速度的方向不在一条直线上，而是成一夹角，这时，合力不但可以改变速度的大小，而且可以改变速度的方向，使物体就做曲线运动。做曲线运动的物体所受的合力，可分解为切向力和法向力，切向力改变速度的大小，法向力改变速度的方向。
4．曲线运动轨迹弯曲的特点
实例分析：将物体抛出后物体在重力的作用下做曲线运动。
结论：（1）做曲线运动的物体，所受的合力偏在速度的哪一侧，轨迹就向哪一侧弯曲；（2）曲线运动的轨迹一定夹在速度与力矢量之间。
【交流与讨论】
①飞机扔炸弹，分析为什么炸弹做曲线运动？
②我们骑摩托车或自行车通过弯道时，我们侧身骑，为什么？
③盘山公路路面有何特点?火车铁轨在弯道有何特点？
参考解答
①炸弹离开飞机后由于惯性，具有与飞机同样的水平初速度，且受重力，初速度与重力方向有一定角度，所以做曲线运动。
②骑摩托车或自行车通过弯道时，我们和车一起做曲线运动，这个时候人和车这个整体需要一个与运动方向成一定夹角的力来完成这个曲线运动，我们侧身正是为了提供这个力。
③盘山公路的路面并不是水平的，而是一边高一边低；火车铁轨在弯道的时候两根铁轨并不是一般高的，而是一个高一个低．之所以这样设计，正是因为各种车辆爬盘山公路的时候做的都是曲线运动，火车拐弯时也是曲线运动，这些曲线运动都需要一个与运动方向成一定夹角的力来完成．盘山公路和火车铁轨的这种设计就是为提供这个力服务的。
【巩固练习】
1、关于曲线运动，下列说法正确的是（ AB ）
A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动速度的方向不断变化，但速度的大小可以不变
C．曲线运动的速度方向可能不变
D．曲线运动的速度大小和方向一定同时改变
2、物体在力F1、F2、F3的共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去外力F1，则物体的运动情况是（ CD ）
A．必沿着F1的方向做匀加速直线运动
B．必沿着F1的方向做匀减速直线运动
C．不可能做匀速直线运动
D．可能做直线运动，也可能做曲线运动
［小结］
通过这节课学习，了解了运动轨迹是曲线的曲线运动，知道曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点的瞬时速度的方向在曲线的这一点的切线上。
本节课还学习了研究曲线运动的基本方法──运动的合成与分解。学习了合运动和分运动、运动的合成和分解等概念，知道分运动和合运动具有独立性和同时性，运动的合成和分解遵循平行四边形定则。
当合外力的方向与它的速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。所受的合力偏在速度的哪一侧，轨迹就向哪一侧弯曲，曲线运动的轨迹一定夹在速度与力矢量之间。
［布置作业］
教材第7页“问题与练习”。
板书设计
1．曲线运动
一、曲线运动
轨迹是曲线的运动叫曲线运动。
二、曲线运动的位移
1．曲线运动的位置
做曲线运动的质点某时刻的位置用平面直角坐标（xA、yA）表示。
2．曲线运动的位移
（1）大小：
（2）方向：
三、曲线运动的速度
1．曲线运动速度的方向
质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．曲线运动是变速运动
曲线运动必有加速度，一定是变速运动。
3．曲线运动的速度
（1）分速度
曲线运动速度相互垂直的两个分矢量叫分速度。
（2）曲线运动的速度与分速度的关系
四、运动描述的实例
1．运动的合成和分解
（1）合运动和分运动
①合运动：由几个简单运动组成的整体运动，叫做合运动。
②分运动：组成合运动的几个简单运动，叫做分运动。
（2）运动的合成和分解
①运动的合成
由分运动求合运动的过程叫做运动的合成；
②运动的分解
由合运动求分运动的过程，叫做运动的分解。
③运动的合成和分解遵循平行四边形定则
（3）运动合成的两个重要特性
①运动的独立性：任一分运动都不会因另一方向上的分运动而受到影响，亦即组成合运动的所有分运动都是各自独立的。
②运动的同时性：合运动和组成它的所有分运动，在运动过程中到达对应位置所经历的时间都是相等的，这就是运动的同时性。
2．蜡块运动的分析
（1）蜡块的位置：x＝vxt，y＝vyt
（2）蜡块的位移：，tanθ＝
（3）蜡块的速度：＝，tanθ＝
（4）蜡块的运动轨迹：，蜡块做的是直线运动。
3．位移、速度的合成和分解
（1）位移的合成和分解
x＝
tanΦ＝
注意“同物性”、“同时性”和 “同系性”。
（2）速度的合成和分解
v＝
tanΦ＝
注意“同物性”、“同时性”和 “同系性”。
（3）合运动性质的判断
①定性判断──作图法
②定量判断──计算法
五、物体做曲线运动的条件
1．当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动
2．做曲线运动的物体，它的加速度方向跟它的速度方向也不同一直线上
3．物体做直线运动和曲线运动条件的理论解释
4．曲线运动轨迹弯曲的特点
（1）做曲线运动的物体，所受的合力偏在速度的哪一侧，轨迹就向哪一侧弯曲；（2）曲线运动的轨迹一定夹在速度与力矢量之间。
第1节 曲线运动
第1课时
本节教材分析
(1)三维目标
(一)知识与技能
1.知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动.
2.知道物体做曲线运动的条件是所受的合外力与它的速度方向不在一条直线上.
(二)过程与方法
1.体验曲线运动与直线运动的区别.
2.体验曲线运动是变速运动及它的速度方向的变化.
(三)情感、态度与价值观
能领略曲线运动的奇妙与和谐，培养对科学的好奇心和求知欲
(2)教学重点
1.什么是曲线运动.
2.物体做曲线运动方向的判断.
3.物体做曲线运动的条件.
(3)教学难点
物体做曲线运动的条件.
(4)教学建议
本节主要内容是做曲线运动物体的速度方向的判定，以及物体做曲线运动的条件.曲线运动是一种变速运动，教学中要突出矢量性的分析教学，让学生进一步感受矢量的含义.
对于曲线运动的教学，教师可以联系各种生活实例以及前面学习过的直线运动的知识来帮助学生理解.在此基础上进一步引入曲线运动的方向性问题，首先让学生讨论如何确定曲线运动的方向，教师可以通过点拨引导，让学生自己设计可行的实验方案，进而通过实验找出任意曲线运动的速度方向与其运动轨迹的关系，然后教师引导学生证明这个结论.对于物体做曲线运动的条件，更要从实际出发，通过大量列举生活中的实例，分析、总结、归纳出结论，千万不要想当然地直接告诉学生结论.教给学生方法比教给学生知识重要得多，教师在教学中一定要突出学生的主体地位.
导入一:
生活中有很多种运动情况，我们学习过各种直线运动，包括匀速直线运动、匀变速直线运动(包括自由落体)等，我们知道这几种运动的共同特点是物体运动的方向不变.下面我们来欣赏几组画面(多媒体播放)：
抛出去的标枪、宇宙中的星体的运动又是一种怎样的运动呢?
演示1.自由释放一支较小的粉笔头;
演示2.平行抛出一支相同大小的粉笔头.
两支粉笔头的运动情况有什么不同呢?
学生交流讨论.
结论：前者是直线运动，后者是曲线运动.
导入二：
教师活动：设问：
物体的运动从轨迹的不同可以分为两大类，是哪两类?请举例说明。
学生活动：积极思考，列举实例。学生代表发言，其他同学补充。
教师活动：学生举例后，演示课件，增加感性认识。
点评：问题比较简单，可由C层次同学(提问)答出，增加其学习的兴趣。
[结论]直线、曲线两种.
教师活动：总结点评学生的发言情况，引出课题。
直线运动已经学过，但实际生活中普遍发生的却是曲线运动。所以，研究曲线运动的特点，物体在什么情况下做曲线运动等问题将是我们更重要的任务，从本节课开始我们来研究曲线运动。
课件17张PPT。 曲线运动观察观察轨迹是曲线的运动叫做曲线运动怎样确定做曲线运动物体在某一时刻的速度方向？数学概念：
曲线的切线BA火星沿砂轮的切线方向飞出，墨水也沿着陀螺边缘的切线飞出 砂轮打磨下来的火星 （炽热颗粒）和墨水 它们沿着什么方向运动？观察与思考2．做曲线运动物体的速度方向：AB 质点在A点和B点的瞬时速度方向在过A和B点的切线方向上时刻在改变沿曲线在这一点的切线方向1．质点某一点（或某一时刻）的速度方向：归纳总结3、曲线运动的性质 速度是矢量，既有大小、又有方向，不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度矢量发生了变化，也就是具有加速度。曲线运动中速度方向时刻在改变。
曲线运动是变速运动 ，具有加速度。二、物体做曲线运动的条件人造地球卫星的运动地球vF 抛体运动物体做曲线运动的条件：
当物体所受的合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．F恒定（a恒定）匀变速运动变加速运动F≠0
(a ≠0)变速运动F变化（a变化）F、v共线直线运动F、v不共线曲线运动2、曲线运动是变速运动。1、（至少v的方向在变化）归纳总结曲线运动特点条件轨迹是一条曲线;某点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的切线方向;曲线运动的速度方向时刻在改变，所以是变速运动，并且必有加速度.质点所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上;即v≠0,F ≠ 0,且F与V的夹角既不等于0°,也不等于180 °F合（a）跟v在一直线上 → 直线运动 F合（a）跟v不在一直线上 → 曲线运动 归纳总结1.以下说法正确的是
A、曲线运动一定是变速运动
B、变速运动一定是曲线运动
C、曲线运动的加速度一定不为零
D、曲线运动轨迹上任一点的切线方向就是质点在这一点的瞬时速度方向ACD练习2.物体在光滑水平桌面受三个水平恒力（不共线）处于平衡状态，当把其中一个水平恒力撤去时，物体将
A、物体可能做匀加速直线运动
B、物体可能做匀减速直线运动
C、物体有可能做曲线运动
D、物体一定做曲线运动ABC练习3.如图,物体在恒力F 作用下沿曲线从 A 运动到B , 这时突然使它所受力反向（大小不变），则物体以后的运动情况
A、可能沿曲线 Ba运动
B、可能沿直线 Bb 运动
C、可能沿曲线 Bc运动
D、可能沿原曲线由 B 返回 AC练习巧讲小船渡河问题
小船渡河问题是运动的合成与分解的一个典型实例，又是新人教版物理教材中小蜡块实验的拓展与延伸。但在实际的教学中，由于这部分知识太过抽象，又没有切实可行的教具直观演示。所以使得这部分知识老师头疼教，学生头疼学。下面是我在处理这部分知识的一些拙见。望批评指正。
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一、按照研究物理问题的方法，先从简单的情况入手
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在小船渡河问题中，我们若选地面为参考系，小船将会涉及到两个分运动：一个是与小船的动力装置有关、与船头同向的小船在静水中的速度方向的运动（如图1所示）；另一个是受水流作用使得小船具有速度方向的运动（如图2所示）。而实际上小船的实际运动是这两个运动的合成。但是在现实中由于船头方向的不确定性（如图1所示），使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定（如图3所示），从而导致小船渡河问题的复杂化，加深了学生理解的难度。根据研究物理问题的方法，我们从简单的情况入手，先研究船头垂直河岸渡河的问题，如图4所示。
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二、借助小蜡块实验，从学生已知的实例入手
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小蜡块的实验是新人教版物理必修2课本上关于运动的合成与分解的演示实验，学生已经掌握，借助它来研究小船渡河问题无疑又给学生铺设了一级台阶。如下图所示。
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我们根据研究小蜡块的方法与步骤，取地面为参考系，以小船为研究对象来研究小船渡河问题。第一步：如图5（乙）所示，小船在静水中，由动力装置提供速度，垂直河岸做匀速直线运动。第二步：如图6（乙）所示，小船在关闭动力装置的前提下，垂直河岸停靠由于水流作用而具有了速度，从而沿河岸做匀速直线运动。第三步：如图7（乙）所示，我们让小船同时参与上面两个运动，也就是让小船既具有垂直河岸的速度又具有沿河岸的速度。而小船的实际运动是这两个运动的合运动。根据运动的合成与分解，小船的实际运动是以速度做匀速直线运动，从而到达河对岸O点。在这一步教学中，我们还可以借助小蜡块实验的可操作性，类比性地给学生展示小船渡河的各个环节。
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在教学中，像这样的类比不仅能促进学生对知识本身的理解，而且也有利于学生沟通新旧知识，深化所学内容，建立知识网络，使知识条理化，从而提高学生的综合能力。总之，不论在物理学发展史上，还是在物理教学中，类比方法被经常应用。
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三、利用平面直角坐标系，先从学生易接受的情况入手
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对于平面直角坐标系的建立及应用，在前面教学中多处地方都已经给学生提到，学生已经熟悉。所以说对于刚接触矢量学习不久的高一学生来说，利用平行四边形法则去求解相关问题，就不如利用平面直角坐标系直观、简单。下面我们就利用平面直角坐标系来解决船头不朝河对岸的小船渡河问题。从而让看似学生没有接触过的问题简化成学生已知的问题。
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（1）小船船头朝向上游与河岸成夹角，如图8（甲）所示。沿着河岸和垂直河岸方向建立平面坐标系，把速度分解到坐标轴上，如图8（乙）所示。经过标量计算后，小船在X轴上具有速度，在Y轴上具有速度。而小船的实际运动是以速度做匀速直线运动到达对岸O点。
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注：=
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（2）小船船头朝向下游与河岸成夹角，如图9（甲）所示。同样的沿着河岸和垂直河岸方向建立平面坐标系，把速度分解到坐标轴上，如图9（乙）所示。经过标量计算后，小船在X轴上具有速度，在Y轴上具有速度。而小船的实际运动是以做匀速直线运动到达对岸O点。
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注：
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总之，万变不离其宗，一切教学活动都应该从学生角度去考虑。让学生从现象去认识本质，又从本质去发现现象。
高一物理 学案
曲线运动
【学习目标】
知道什么是曲线运动
知道做曲线运动的条件
【预习内容及方法】
预习内容：课本P2-P4，本期学案
预习方法：阅读资料，小组讨论，实验探究，形成结论，分析事例
【预习效果检查】
1.什么是曲线运动？
2.曲线运动的速度方向沿什么方向？
3．物体做曲线运动的条件是什么？
【疑难探究】
1.曲线运动的速度方向
（1）.在旋转的砂轮上磨刀具。磨出的火星如何运动？为什么？
（2）撑开带有雨滴的雨伞绕柄旋转，伞边缘上的水滴如何运动？水滴为什么会沿脱离时的轨迹的切线飞出？
（3）链球运动员运动到最快时突然松手，在脱手处小球如何飞出？链球为什么会沿脱手处的切线飞出？
2.物体做曲线运动的条件、曲线运动中力与运动轨迹的关系
（1）一个在水平面上做直线运动的钢球，从旁侧给它一个力，例如在钢球运动路线的旁边放一块磁铁，观察钢球的运动。
（2）.斜抛出的石子，观察石子的运动。
结论：
【练习与展示】
1、物体做曲线运动（ ）
A．速度的方向时刻在改变。
B．速度的大小一定会改变。
C．速度的方向不能确定。
D．不一定是变速运动。
2、对曲线运动中的速度方向，下列说法中正确的是（ ）
A．曲线运动中，质点在任一位置处的速度方向总是通过这一点的轨迹曲线的切线方向。
B．旋转雨伞时，伞面上的水滴是由内向外的螺旋运动，故水滴的速度方向不是沿其轨 迹的切线方向。
C．旋转雨伞时，伞面上的水滴是由内向外的螺旋运动，水滴在任何位置处的速度方向仍是通过该点轨迹曲线的切线方向。
D．只有做圆周运动的物体，瞬时速度的方向才是轨迹在该点的切线方向。
3、若已知物体的速度方向和它所受合力的方向，如图所示，可能的运动轨迹是( )
4、某质点在恒力F作用下从A点沿图中曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的( )
A．曲线a B．曲线b
C．曲线C D．以上三条曲线都不可能
【归纳总结】
曲线运动课后反思
一．内容上的反思
第五章第一节的内容在老教材上主要是曲线运动的概念，曲线运动的任何一点的速度方向和做曲线运动的条件，而新教材上又添加了曲线运动的位移以及速度的合成（应用平行四边形定则），从而对一般的运动进行合成分解（比如蜡块同时在竖直方向和水平方向上参与的运动）。因考虑知识的整合和时间上的条件，我决定对这节课安排两个课时，第一节课主要安排曲线运动的特点，而第二个课时主要从位移和速度的矢量合成中推导出一般运动的合成和分解。
本节课，我先从图片中得到轨迹的特点归纳出曲线运动是变速运动，从而自然引入到曲线运动中速度的方向，然后安排物体做曲线运动的条件。从知识结构上看，曲线运动的方向在轨迹上某点的切线方向是反映曲线运动的运动学特征，而曲线运动的条件则是动力学特征，完全符合牛顿力学的研究思路。从对学生认知建构的过程来看，知道曲线运动的方向只是知道一个事物的结果，掌握了曲线运动发生的条件才能理解出现该结果的原因，这样才能在逻辑上有利于学生深刻理解本节的两个重点内容。
二．实验上的反思
教材中选取了两个实际情景的图片和一个演示实验。这样的安排充分体现了重视教学中知识与技能目标达成的同时更加突出过程和方法的形成。
（一）曲线运动的速度方向
（二）曲线运动的条件
我用一个小球让学生讨论如何使之做直线和曲线运动，用学生的生活经验及学过的知识通过收集信息和分析、处理信息，然后得到物理结论，这样能使学生感觉到，一个结论的形成并不是草率的。教材中是安排了一个磁铁吸引钢球的的实验来说明曲线运动的条件，但实际操作中对小球和磁铁的距离有一定的要求，小球很容易被磁铁吸引住。于是我设计了类似的实验。让小球从轨道上滚落到一个斜面（使小球的速度和斜面给它的力不在一条直线上），从小球的受力分析来说明做曲线运动的条件，加深理解。
三．需要完善的地方
1.语言的组织上，对每个问题每句话都要好好推敲，力求语言精练准确，不能有随意性。
2.在曲线运动的速度方向处理上，可以调整一下顺序。用学生已知的圆周的切线方向引入，先观察生活中的砂轮磨道具的视频，雨水从伞上甩出的实验，再从圆周到一般的曲线，用极限思想得到曲线的切线，最后看视频演示实验，观察小球从任意位置出来的方向。这样可以从感性到理性再到感性，从生活到理论再到生活。另外我用反冲仪出来的水流表示曲线的切线方向，出发点是想形象直观的让学生看到，可是仔细推敲发现水流和反冲仪的转动方向是相反的。
3.在曲线运动的条件处理上，我演示了小球从斜面上滚落下做曲线运动的实验，因为在白板上不易留下痕迹，所以应该在白板上贴上一张白纸，这样能让学生清晰看到轨迹。另外分析力的时候，小球的摩擦力其实时刻在变，分析的时候没有分析清楚；又或者可以把小球的滚动摩擦忽略掉，分析的时候会简单的多。
