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专题课：牛顿运动定律中的连接体问题
◆ 导学案
学习任务一 加速度和速度都相同的连接体问题
学习任务二 加速度方向不同的连接体问题
素养提升
备用习题
随堂巩固
◆ 练习册
学习任务一 加速度和速度都相同的连接体问题
［科学思维］
(1)连接体
两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体.如几个物体叠放在一起，或并排放在一起，或用绳子、细杆等连在一起.
(2)连接体问题的常用解题方法
①整体法：把整个连接体系统看作一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解.其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力.
②隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解.其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形.
例1 (多选)如图所示，两个质量分别为、的物体、置于光滑的水平面上，中间用轻质弹簧测力计连接，两个大小分别为、的水平拉力分别作用在、上，则( )
AC
A.弹簧测力计的示数是 B.弹簧测力计的示数是
C.在突然撤去的瞬间，的加速度不变 D.在突然撤去的瞬间，的加速度不变
[解析] 对整体分析，根据牛顿第二定律知整体的加速度，其方向向右，隔离对B分析，有，解得，故A正确，B错误；
在突然撤去的瞬间，弹簧测力计的弹力不变，则A所受的合力不变，所以A的加速度不变，故C正确；
在突然撤去的瞬间，弹簧测力计的弹力不变，B所受的合力变为弹簧测力计的弹力，则加速度，加速度变大，故D错误.
变式1 如图所示，、两木块的质量分别为、，、之间用水平细绳相连，在水平拉力作用下沿水平面向右加速运动，重力加速度为.
(1) 若地面光滑，则、间绳的拉力为多大？
[答案]
[解析] 若地面光滑，以、整体为研究对象，有，然后隔离出为研究对象，有，联立解得.
(2) 若两木块与水平面间的动摩擦因数均为 ，则、间绳的拉力为多大？
[答案]
[解析] 若两木块与水平地面间的动摩擦因数均为 ，则以、整体为研究对象，有，然后隔离出为研究对象，有，联立解得.
(3) 如图乙所示，若把两木块放在固定斜面上，两木块与斜面间的动摩擦因数均为 ，在方向平行于斜面的拉力作用下沿斜面向上加速运动，则、间绳的拉力为多大？
[答案]
[解析] 设斜面的倾角为 ，以、整体为研究对象，有，以为研究对象，有，联立解得.
【要点总结】
(1)求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法.
(2)求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往整体法和隔离法两种方法交替运用.一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力.
学习任务二 加速度方向不同的连接体问题
［科学思维］ 跨过光滑轻质定滑轮的两物体的速度、加速度大小相同，但方向不同，此时一般采用隔离法，即对每个物体分别进行受力分析，根据牛顿第二定律分别列方程，然后联立方程求解.
例2 如图所示，物体重，物体重，不计一切摩擦和绳的重力，取.当两物体由静止释放后，物体的加速度与绳子上的张力分别为( )
A
A.、 B.、 C.、 D.、
[解析] 由静止释放后，物体A将加速下降，物体B将加速上升，二者加速度大小相等，由牛顿第二定律，对A有，对B有，联立解得，，A正确.
变式2 如图所示，质量分别为、的物体和恰好做匀速运动，已知，不计滑轮及绳子的质量，、与桌面间的动摩擦因数相同，重力加速度为.若将与互换位置，则( )
D
A.物体与仍做匀速运动
B.物体与做加速运动，加速度
C.物体与做加速运动，加速度
D.绳子中张力不变
[解析] 开始时A、B匀速运动，绳子的张力等于，且满足，解得，物体A与B互换位置后，对A有，对B有，联立解得，，故A、B、C错误，D正确.
动力学中的临界极值问题
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点.
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点往往是临界点.
类型一 相对滑动的临界极值问题
示例1 (多选)[2023·天津一中月考] 如图所示，、、三个物体静止叠放在水平桌面上，物体的质量为，和的质量都是，、间的动摩擦因数为 ，、间的动摩擦因数为 ，和地面间的动摩擦因数为 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为.现对施加一水平向右的拉力，则下列判断正确的是( )
CD
A.无论力为何值，的加速度都不会超过
B.当力时，相对滑动
C.若、、三个物体始终相对静止，则力不能超过
D.当力时，、间的摩擦力为
[解析] 与B间的最大静摩擦力为,C与B间的最大静摩擦力为,B与地面间的最大静摩 擦力为地,要使A、B、C都始终相对静止,三者一起向右加速运动,则对整体有,假设C恰好与B相对静止,则对C有,解得,,设此时A与B间的摩擦力为,对A有,解得,表明C达到临界时A还没有达到临界,故要使三者始终相对静止,则力不能超过,C正确;
当A相对B滑动时,C早已相对B滑动,对A、B整体有,对A有,解得,故当拉力大于时,B与A相对滑动,B错误;
当较大时,A、C都会相对B滑动,B的加速度达到最大,对B有,解得,A错误;
由C选项知,当时，对整体有，对A有，联立解得,D正确.
类型二 恰好脱离的临界极值问题
示例2 (多选)[2023·黑龙江牡丹江一中月考] 如图所示，光滑水平桌面上放置一个倾角为 的光滑楔形滑块，滑块的质量为.一细线的一端固定于楔形滑块的顶端处，细线另一端拴一质量为的小球.若滑块与小球在水平外力作用下，一起以加速度向左做匀加速运动，取，，，则下列说法正确的是( )
BD
A.当时，滑块对球的支持力为
B.当时，滑块对球的支持力为
C.当时，外力的大小为
D.当时，地面对的支持力为
[解析] 设加速度为时小球对滑块的压力恰好等于零，对小球受力分析，受到重力和拉力，在水平方向上，根据牛顿第二定律有，在竖直方向上，由平衡条件得，解得.当时，小球未离开滑块，滑块对小
球的支持力不为零，选项A错误；
当时，小球已经离开滑块，只受重力和绳的拉力，滑块对球的支持力为零，选项B正确；
当时，小球和楔形滑块一起加速运动，由整体法可知，选项C错误；
当系统相对稳定后，竖直方向上没有加速度，受力平衡，所以地面对A的支持力大小一定等于两个物体的重力之和，即，选项D正确.
变式3 (多选)[2023·山西忻州一中月考] 有一个弹簧台秤，秤盘质量和弹簧质量都可不计，盘内静止放置一个物体的质量，弹簧的劲度系数.现给施加一个竖直向上的力，使从静止开始向上做匀加速直线运动，如图所示.已知在前内的大小是变化的，在以后是恒力，取.下列说法正确的是( )
ACD
A.时与秤盘分离 B.做匀加速运动的加速度大小为
C.的最大值为 D.的最小值为
[解析] 在前内的大小是变化的，在以后是恒力，说明时与秤盘分离，故A正确；
设开始时弹簧的压缩量为，根据平衡条件可得，解得，当后物体所受拉力为恒力，即与盘脱离，弹簧无形变，所以内物体的位移，解得，故B错误；
脱离秤盘后的力最大，根据牛顿第二定律可得，解得
，故C正确；
开始时力最小，根据牛顿第二定律可得，解得
，故D正确.
1.粗糙水平面上有三个通过不计质量的卡扣依次连接在一起的货箱 、 、 ，
质量分别为 、 、 ，每个货箱与水平面间的动摩擦因数均为 ，重力
加速度为 .现在两人合作搬运货箱，一人用水平力 向右拉 ，另一人同时也
用力 向右推 ，使货箱向右运动，则 、 间的卡扣对 的作用力大小为
( )
A
A.0 B. C. D.
[解析] 对整体由牛顿第二定律得 ，对 由牛顿第二定律
得 ，解得 ，故A正确.
2.[2022·黑龙江牡丹江二中月考] 在电子商务高速发展的今天，国内每天约有1
亿个包裹，对物流业这种对人力成本敏感的产业来说，物流行业正从人工分拣
向智能化、自动化方向快速演变.某物流中心的分拣机器人可以简化为如图所
示的平板小车，在平板小车的左端固定有一个支架，质量为 的小球 用细
线悬挂于支架上，平板小车在自身牵引力的作用下沿水平面做直线运动，小车
上放质量为 的包裹 ，包裹 始终相对小车静止.若某段时间内观察到细
线与竖直方向的夹角 ， 取 ，则在这段时间内( )
A.小车一定向右做加速运动
B.细线受到的拉力大小为
C.包裹 对小车的摩擦力大小为 ，
方向水平向左
D.小车对包裹 的摩擦力大小为 ，
方向水平向左
√
[解析] 小球的加速度向右，小车可能向右加速运动，也可能向左减速运动，故A错误；
对小球 进行受力分析，可知 ， ，解得 ， ，故B错误；
包裹 所受的摩擦力大小 ，方向向右，根据牛顿第三定律，包裹 对小车的摩擦力大小为 ，方向向左，故C正确，D错误.
3.[2022·北京海淀期中] (多选) 如图所示，水平面上有3个完全相同的物块 、
和 ，它们在水平推力 的作用下沿水平面一起加速运动.设它们与水平面间
的动摩擦因数均为 ，运动过程中物块 和 之间的作用力大小为 、物块
和 之间的作用力大小为 ，下列说法正确的是( )
AC
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
[解析] 若 ，对整体由牛顿第二定律得 ，隔离 ，则物块 和 之间的作
用力大小 ，隔离 ，则物块 和 之间的作用力大小 ，
所以 ，故A正确，B错误；
若 ，对整体由牛顿第二定律得 ，隔离 ，则物块 和 之间的
作用力大小满足 ，隔离 ，则物块 和 之间的作用力大小满足
，所以 ，故C正确，D错误.
4.如图所示，光滑水平面放有一个质量为 的光滑斜
面体 ，将另一个质量为 的物块 放在斜面上，为
了保持物块与斜面相对静止，需用水平向左 的力
A
A. B. C. D.
推斜面.现将斜面固定，对 施加水平向右的力 使其静止在斜面上， 取
.则 大小为( )
[解析] 水平向左 的力 推斜面时，对整体，根据牛顿第二定律得
，对 受力分析，根据牛顿第二定律可
知， 受到重力和支持力的合力 ，斜面固定，对 施加水平
向右的力 使其静止在斜面上时， 所受合力为零，根据共点力平衡条件可
知 ，故A正确.
1.(加速度相同的连接体问题)如图所示，并排放在光滑水平面上的两物体、的质量分别为和，且.当用水平推力向右推时，两物体间的相互作用力的大小为，则( )
C
A. B. C. D.
[解析] 当用向右推A时，由牛顿第二定律，对A和B整体有，对B有，又知，联立解得，故选项C正确.
2.(加速度相同的连接体问题)如图所示，质量为、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑槽内有一质量为的小铁球.现用一水平向右的推力推动凹槽，小铁球
B
A.小铁球受到的合力方向水平向左 B.
C.系统的加速度 D.
与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成 角，重力加速度为.下列说法正确的是( )
[解析] 隔离小铁球受力分析，小铁球所受的合力 ，且合力方向水平向右，故小铁球的加速度 ，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速
度 ，故A、C错误；
对整体受力分析,由牛顿第二定律得 ，故B正确，D错误.
3.(加速度方向不同的连接体问题)[2023·山东枣庄期中] 如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有一物体，通过不可伸长的轻绳与物体相连，滑轮与之间的绳子与斜面平行.如果物体的质量是物体的质量的2倍，即，不计滑轮质量和一切摩擦，重力加速度为，初始时用外力使保持静止，则去掉外力后，物体和的加速度的大小等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设绳子的拉力为，根据牛顿第二定律，对物体B有，对物体A有，联立解得，故C正确.
A. B. C. D.
知识点一 加速度相同的连接体问题
1.[2023·上海中学月考] 2021年10月16日0时23分，“神舟十三号”成功发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空并进驻空
C
间站.在空间站中，如需测量一个物体的质量，需要运用一些特殊方法：如图所示，先对质量为的标准物体施加一水平恒力，测得其在内的速度变化量大小是，然后将标准物体与待测物体紧靠在一起，施加同一水平恒力，测得它们内的速度变化量大小是，则待测物体的质量为( )
[解析] 对，由牛顿第二定律得其中，，对、整体，由牛顿第二定律得，其中,联立解得，选项C正确.
2.(多选)[2023·黑龙江大庆一中月考] 如图所示，质量分别为、的两物体1、2叠放在光滑水平面上，用水平力拉物体1可使它们一起运动，而两物体间保持相对静止，这时它们之间的摩擦力为.下列说法正确的是( )
AC
A.若改用的水平力拉物体1，则它们之间的摩擦力一定变为
B.若改用的水平力拉物体1，则它们之间的摩擦力一定变为
C.若水平力改拉物体2，则它们之间的摩擦力应为
D.若水平力改拉物体2，则它们之间的摩擦力应为
[解析] 用水平拉力拉物体1时，由整体法可知，对物体2有，若改用的水平力拉物体1，则两物体仍能相对静止，它们之间的摩擦力一定变为，但若改用的水平力拉物体1，则两物体不一定还能相对静止，它们之间的摩擦力不一定变为，选项A正确，B错误；
若水平力改拉物体2，假设两物体还能相对静止，由整体法可知，对物体1有，所以假设成立，它们之间的摩擦力应为，选项C正确，D错误.
知识点二 加速度方向不同的连接体问题
3.(多选)[2023·浙江温州期中] 如图所示，一条不可伸长的轻绳绕过光滑的轻质定滑轮分别与物体、相连，轻绳两部分分别处于水平和竖直状态，桌面光滑，物体和的质量分别为和，重力加速度为.现将系统由静止释放，在没有落地且没有碰到滑轮前，下列判断正确的是( )
BD
A.物体运动的加速度大小为 B.物体运动的加速度大小为
C.物体对轻绳的拉力大于 D.物体对轻绳的拉力小于
[解析] 设绳的拉力为，物体A、B的加速度大小均为，根据牛顿第二定律,对物体B有,对物体A有，联立解得，，即物体B对轻绳的拉力小于，故B、D正确.
4.(多选)[2023·湖南雅礼中学月考] 如图甲所示，细绳跨过光滑的轻质定滑轮连接、两物体，定滑轮悬挂在一个力传感器的正下方.保持物体的质量不变，取质量不同的物体，由静止释放，通过计算机描绘得到传感器对滑轮的拉力随物体质量变化关系的曲线如图乙所示，直线是曲线的渐近线，重力加速度为.下列说法正确的是( )
AD
A.物体的质量
B.越大，则物体的加速度越小
C.越大，则物体的加速度越大
D.在范围内，越大，则物体的加速度越小
[解析] 当时，B向下做匀加速运动，A向上做匀加速运动，设加速度大小均为，细绳中的拉力大小为，根据牛顿第二定律，对A、B分别有，，联立解得，，故越大，则越大，当 时，有，所以，解得；当时，B向上做匀加速运动，A向下做匀加速运动，同理可得两物的加速度大小，故越大，则越小，A、D正确，B、C错误.
5.(多选)如图所示,大圆环的质量为,经过环心的竖直钢丝(质量不计)上套有一质量为的橡皮球.现让橡皮球沿钢丝以一定的初速度竖直向上运动,大圆环恰好对地面无压力, 重力加速度为,则橡皮球上升过程中( )
AD
A.钢丝对橡皮球的摩擦力为,方向竖直向下
B.钢丝对橡皮球的摩擦力为0
C.橡皮球的加速度大小为
D.橡皮球的加速度大小为
[解析] 大圆环恰好对地面无压力，由牛顿第三定律可知，地面对大圆环恰好无支持力，则大圆环受力平衡，橡皮球对钢丝的摩擦力，方向竖直向上，由牛顿第三定律可知，钢丝对橡皮球的摩擦力，方向竖直向下，A正确，B错误；
对橡皮球进行受力分析，由牛顿第二定律得，解得橡皮球的加速度大小，D正确，C错误.
6.(多选)[2023·湖南长沙一中月考] 如图所示，在倾角为 的斜面体上用细线系着一个质量为的光滑小球，小球随斜面体一起向右做加速度大小为的匀加速直线运动.重力加速度为，则稳定时细线的拉力大小可能为( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 小球随斜面向右加速运动过程中，当加速度较小时，小球和斜面之间有相互作用力，此时小球受到三个力，即重力、斜面的支持力、细线的拉力，竖直方向上有，水平方向上有，解得，选项C正确；
当加速度较大时，小球会离开斜面，此时小球只受到两个力，即重力和细线的拉力，有，选项B正确；
当小球恰好要离开斜面时，小球只受到两个力，即重力和细线的拉力，此时细线与水平面的夹角为 ，有，解得，选项A正确,D错误.
7.如图所示，在倾角 的光滑固定斜面上有质量均为的物块、，物块与轻弹簧相连，物块用平行于斜面的细线与斜面顶端相连，、均静止且两者之间的弹力大小为为重力加速度.已知，.某时刻把细线剪断，下列说法正确的是( )
D
A.剪断细线前，细线的拉力大小为
B.剪断细线前，弹簧的弹力大小为
C.剪断细线的瞬间，、之间的弹力大小为
D.剪断细线的瞬间，、之间的弹力大小为
[解析] 剪断细线前，设细线的拉力为，弹簧的弹力为，根据平衡条件，对B有 ，对整体有 ，解得，，A、B错误；
剪断细线的瞬间，弹簧的弹力不变，根据牛顿第二定律，对整体有，对B有，联立解得，C错误，D正确.
8.[2023·福建福州期中] 如图所示，、两物体放置在光滑水平面上，相互接触但并不黏合，两物体的质量分别为
(1) 物体、经多长时间分离？
[答案]
[解析] 当物体、间的弹力变为零时，、将分离.设时刻、分离，根据牛顿第二定律，对、整体有
对有
把，代入以上两式，联立解得
，.从时刻开始，水平作用力和分别作用在、两物体上，、随时间变化的规律分别为，.
(2) 时，物体的加速度为多大？
[答案]
[解析] 时，、已分离，此时
则物体的加速度大小
9.如图所示，在倾角为 的固定光滑斜面上有一用轻绳拴着的长木板,木板上站着一只猫.已知木板的质量是猫的质量的2倍,重力加速度为.当绳子突然断开时,猫立即沿着
A
A. B. C. D.
[解析] 对猫,由平衡条件得 ,对长木板,由牛顿第二定律得,联立解得木板的加速度 ,选项A正确.
木板向上跑,以保持其相对斜面的位置不变,则此时木板沿斜面下滑的加速度为( )
10.[2023·北京四中月考] 一个倾角为 的斜面体固定在水平地面上，质量均为的两个物块、沿斜面体下滑，和之间、和之间、
和之间的动摩擦因数分别为、、.已知,， ，重力加速度取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1) 如图甲所示，物块、叠放一起，沿着斜面一起加速下，则：
① 、一起下滑的加速度为多大
[答案]
② 、之间的动摩擦因数至少为多大
[答案]
[解析] 对、整体，由牛顿第二定律得
解得
对物块,由牛顿第二定律得
要使相对不滑动，应有
联立解得
(2) 如图乙所示，物块和紧靠在一起，沿着斜面一起下滑，则、之间的作用力为多大
[答案]
[解析] 对、整体，由牛顿第二定律得
对，由牛顿第二定律得
联立解得专题课:牛顿运动定律中的连接体问题
例1 AC [解析] 对整体分析,根据牛顿第二定律知整体的加速度a==2 m/s2,其方向向右,隔离对B分析,有F-F2=m2a,解得F=26 N,故A正确,B错误;在突然撤去F2的瞬间,弹簧测力计的弹力不变,则A所受的合力不变,所以A的加速度不变,故C正确;在突然撤去F2的瞬间,弹簧测力计的弹力不变,B所受的合力变为弹簧测力计的弹力,则加速度a'== m/s2,加速度变大,故D错误.
变式1 (1)F (2)F (3)F
[解析] (1)若地面光滑,以A、B整体为研究对象,有F=(mA+mB)a,然后隔离出B为研究对象,有FT1=mBa,联立解得FT1=F.
(2)若两木块与水平地面间的动摩擦因数均为μ,则以A、B整体为研究对象,有F-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a1,然后隔离出B为研究对象,有FT2-μmBg=mBa1,联立解得FT2=F.
(3)设斜面的倾角为θ,以A、B整体为研究对象,有F-(mA+mB)gsin θ-μ(mA+mB)gcos θ=(mA+mB)a2,以B为研究对象,有FT3-mBgsin θ-μmBgcos θ=mBa2,联立解得FT3=F.
例2 A [解析] 由静止释放后,物体A将加速下降,物体B将加速上升,二者加速度大小相等,由牛顿第二定律,对A有mAg-FT=mAa,对B有FT-mBg=mBa,联立解得a=6 m/s2,FT=8 N,A正确.
变式2 D [解析] 开始时A、B匀速运动,绳子的张力等于mBg,且满足mBg=μmAg,解得μ=,物体A与B互换位置后,对A有mAg-FT=mAa,对B有FT-μmBg=mBa,联立解得FT=mBg,a=g,故A、B、C错误,D正确.
素养提升
示例1 CD [解析] A与B间的最大静摩擦力为FfABm=μ×2mg=2μmg,C与B间的最大静摩擦力为FfCBm=μ×mg=μmg,B与地面间的最大静摩擦力为FfB地m=(2m+m+m)g=μmg,要使A、B、C都始终相对静止,三者一起向右加速运动,则对整体有F-μmg=4ma,假设C恰好与B相对静止,则对C有μmg=ma,解得a=μg,F=μmg,设此时A与B间的摩擦力为Ff,对A有F-Ff=2ma,解得Ff=μmg<2μmg,表明C达到临界时A还没有达到临界,故要使三者始终相对静止,则力F不能超过μmg,C正确;当A相对B滑动时,C早已相对B滑动,对A、B整体有F-μmg-μmg=3ma',对A有F-2μmg=2ma',解得F=μmg,故当拉力F大于μmg时,B与A相对滑动,B错误;当F较大时,A、C都会相对B滑动,B的加速度达到最大,对B有2μmg-μmg-μmg=maB,解得aB=μg,A错误;由C选项知,当F=μmg时,对整体有F-μmg=4ma,对A有F-F'f=2ma,联立解得F'f=μmg,D正确.
示例2 BD [解析] 设加速度为a0时小球对滑块的压力恰好等于零,对小球受力分析,受到重力和拉力,在水平方向上,根据牛顿第二定律有Fcos 37°=ma0,在竖直方向上,由平衡条件得Fsin 37°=mg,解得a0=g=13.3 m/s2.当a=5 m/s2时,小球未离开滑块,滑块对小球的支持力不为零,选项A错误;当a=15 m/s2时,小球已经离开滑块,只受重力和绳的拉力,滑块对球的支持力为零,选项B正确;当a=5 m/s2时,小球和楔形滑块一起加速运动,由整体法可知F=a=5 N,选项C错误;当系统相对稳定后,竖直方向上没有加速度,受力平衡,所以地面对A的支持力大小一定等于两个物体的重力之和,即FN=g=10 N,选项D正确.
变式3 ACD [解析] 在前0.2 s内F的大小是变化的,在0.2 s以后F是恒力,说明t=0.2 s时P与秤盘分离,故A正确;设开始时弹簧的压缩量为x0,根据平衡条件可得kx0=mg,解得x0=0.15 m,当0.2 s后物体所受拉力F为恒力,即P与盘脱离,弹簧无形变,所以0~0.2 s内物体的位移x0=at2,解得a=7.5 m/s2,故B错误;P脱离秤盘后的力F最大,根据牛顿第二定律可得Fmax-mg=ma,解得Fmax=210 N,故C正确;开始时力F最小,根据牛顿第二定律可得Fmin+kx0-mg=ma,解得Fmin=90 N,故D正确.
随堂巩固
1.C [解析] 当用F向右推A时,由牛顿第二定律,对A和B整体有F=(m1+m2)a,对B有FN=m2a,又知m1=2m2,联立解得FN=,故选项C正确.
2.B [解析] 隔离小铁球受力分析,小铁球所受的合力F合=mgtan α,且合力方向水平向右,故小铁球的加速度a球==gtan α,因为小铁球与凹槽相对静止,故系统的加速度a=a球=gtan α,故A、C错误;对整体受力分析,由牛顿第二定律得F=(M+m)a=(M+m)gtan α,故B正确,D错误.
3.C [解析] 设绳子的拉力为F,根据牛顿第二定律,对物体B有mBg-F=mBa,对物体A有F+mAgsin 30°=mAa,联立解得a=g,故C正确.专题课:牛顿运动定律中的连接体问题
学习任务一 加速度和速度都相同的连接体问题
[科学思维]
(1)连接体
两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体.如几个物体叠放在一起,或并排放在一起,或用绳子、细杆等连在一起.
(2)连接体问题的常用解题方法
①整体法:把整个连接体系统看作一个研究对象,分析整体所受的外力,运用牛顿第二定律列方程求解.其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力.
②隔离法:把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象,进行受力分析,列方程求解.其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力,容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形.
例1 (多选)如图所示,两个质量分别为m1=2 kg、m2=3 kg的物体A、B置于光滑的水平面上,中间用轻质弹簧测力计连接,两个大小分别为F1=30 N、F2=20 N的水平拉力分别作用在A、B上,则( )
A.弹簧测力计的示数是26 N
B.弹簧测力计的示数是50 N
C.在突然撤去F2的瞬间,A的加速度不变
D.在突然撤去F2的瞬间,B的加速度不变
变式1 如图所示,A、B两木块的质量分别为mA、mB,A、B之间用水平细绳相连,在水平拉力F作用下沿水平面向右加速运动,重力加速度为g.
(1)若地面光滑,则A、B间绳的拉力为多大
(2)若两木块与水平面间的动摩擦因数均为μ,则A、B间绳的拉力为多大
(3)如图乙所示,若把两木块放在固定斜面上,两木块与斜面间的动摩擦因数均为μ,在方向平行于斜面的拉力F作用下沿斜面向上加速运动,则A、B间绳的拉力为多大
【要点总结】
(1)求解各部分加速度都相同的连接体问题时,要优先考虑整体法;如果还需要求物体之间的作用力,再用隔离法.
(2)求解连接体问题时,随着研究对象的转移,往往整体法和隔离法两种方法交替运用.一般的思路是先用其中一种方法求加速度,再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力.
学习任务二 加速度方向不同的连接体问题
[科学思维] 跨过光滑轻质定滑轮的两物体的速度、加速度大小相同,但方向不同,此时一般采用隔离法,即对每个物体分别进行受力分析,根据牛顿第二定律分别列方程,然后联立方程求解.
例2 如图所示,物体A重20 N,物体B重5 N,不计一切摩擦和绳的重力,g取10 m/s2.当两物体由静止释放后,物体A的加速度与绳子上的张力分别为( )
A.6 m/s2、8 N B.10 m/s2、8 N
C.8 m/s2、6 N D.6 m/s2、9 N
变式2 如图所示,质量分别为mA、mB的物体A和B恰好做匀速运动,已知mA>mB,不计滑轮及绳子的质量,A、B与桌面间的动摩擦因数相同,重力加速度为g.若将A与B互换位置,则( )
A.物体A与B仍做匀速运动
B.物体A与B做加速运动,加速度a=g
C.物体A与B做加速运动,加速度a=
D.绳子中张力不变
动力学中的临界极值问题
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点.
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点往往是临界点.
类型一 相对滑动的临界极值问题
示例1 (多选)[2023·天津一中月考] 如图所示,A、B、C三个物体静止叠放在水平桌面上,物体A的质量为2m,B和C的质量都是m,A、B间的动摩擦因数为μ,B、C间的动摩擦因数为μ,B和地面间的动摩擦因数为μ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g.现对A施加一水平向右的拉力F,则下列判断正确的是( )
A.无论力F为何值,B的加速度都不会超过μg
B.当力F>μmg时,B相对A滑动
C.若A、B、C三个物体始终相对静止,则力F不能超过μmg
D.当力F=μmg时,A、B间的摩擦力为μmg
类型二 恰好脱离的临界极值问题
示例2 (多选)[2023·黑龙江牡丹江一中月考] 如图所示,光滑水平桌面上放置一个倾角为37°的光滑楔形滑块A,滑块的质量为M=0.8 kg.一细线的一端固定于楔形滑块A的顶端O处,细线另一端拴一质量为m=0.2 kg的小球.若滑块与小球在水平外力F作用下,一起以加速度a向左做匀加速运动,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是 ( )
A.当a=5 m/s2时,滑块对球的支持力为0 N
B.当a=15 m/s2时,滑块对球的支持力为0 N
C.当a=5 m/s2时,外力F的大小为4 N
D.当a=15 m/s2时,地面对A的支持力为10 N
变式3 (多选)[2023·山西忻州一中月考] 有一个弹簧台秤,秤盘质量和弹簧质量都可不计,盘内静止放置一个物体P.P的质量m=12 kg,弹簧的劲度系数k=800 N/m.现给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动,如图所示.已知在前0.2 s内F的大小是变化的,在0.2 s以后F是恒力,g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A.0.2 s时P与秤盘分离
B.P做匀加速运动的加速度大小为5 m/s2
C.F的最大值为210 N
D.F的最小值为90 N
1.(加速度相同的连接体问题)如图所示,并排放在光滑水平面上的两物体A、B的质量分别为m1和m2,且m1=2m2.当用水平推力F向右推A时,两物体间的相互作用力的大小为FN,则 ( )
A.FN=F B.FN=F
C.FN=F D.FN=F
2.(加速度相同的连接体问题)如图所示,质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上,光滑槽内有一质量为m的小铁球.现用一水平向右的推力F推动凹槽,小铁球与光滑凹槽相对静止时,凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角,重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A.小铁球受到的合力方向水平向左
B.F=(M+m)gtan α
C.系统的加速度a=gsin α
D.F=mgtan α
3.(加速度方向不同的连接体问题)[2023·山东枣庄期中] 如图所示,在倾角为30°的光滑斜面上有一物体A,通过不可伸长的轻绳与物体B相连,滑轮与A之间的绳子与斜面平行.如果物体B的质量是物体A的质量的2倍,即mB=2mA,不计滑轮质量和一切摩擦,重力加速度为g,初始时用外力使A保持静止,则去掉外力后,物体A和B的加速度的大小等于( )
A.g
B.g
C.g
D.g专题课:牛顿运动定律中的连接体问题
1.C [解析] 对P,由牛顿第二定律得F=m1a1其中m1=1.0 kg,a=10 m/s2,对P、Q整体,由牛顿第二定律得F=(m1+m2)a2,其中a2=2 m/s2,联立解得m2=4.0 kg,选项C正确.
2.AC [解析] 用水平拉力F拉物体1时,由整体法可知a=,对物体2有Ff=m2a=,若改用0.5F的水平力拉物体1,则两物体仍能相对静止,它们之间的摩擦力一定变为0.5Ff,但若改用2F的水平力拉物体1,则两物体不一定还能相对静止,它们之间的摩擦力不一定变为2Ff,选项A正确,B错误;若水平力F改拉物体2,假设两物体还能相对静止,由整体法可知a=,对物体1有Ff'=m1a=3.BD [解析] 设绳的拉力为FT,物体A、B的加速度大小均为a,根据牛顿第二定律,对物体B有mg-FT=ma,对物体A有FT=Ma,联立解得a=,FT=g4.AD [解析] 当m>m0时,B向下做匀加速运动,A向上做匀加速运动,设加速度大小均为a,细绳中的拉力大小为FT,根据牛顿第二定律,对A、B分别有FT-m0g=m0a,mg-FT=ma,联立解得FT==,a==g-,故m越大,则a越大,当m→∞时,有FTm=2m0g,所以F0=2FTm=4m0g,解得m0=;当m5.AD [解析] 大圆环恰好对地面无压力,由牛顿第三定律可知,地面对大圆环恰好无支持力,则大圆环受力平衡,橡皮球对钢丝的摩擦力Ff=Mg,方向竖直向上,由牛顿第三定律可知,钢丝对橡皮球的摩擦力Ff'=Ff=Mg,方向竖直向下,A正确,B错误;对橡皮球进行受力分析,由牛顿第二定律得Ff'+mg=ma,解得橡皮球的加速度大小a=g,D正确,C错误.
6.ABC [解析] 小球随斜面向右加速运动过程中,当加速度较小时,小球和斜面之间有相互作用力,此时小球受到三个力,即重力、斜面的支持力、细线的拉力,竖直方向上有FTsin θ+FNcos θ-mg=0,水平方向上有FTcos θ-FNsin θ=ma,解得FT=m(gsin θ+acos θ),选项C正确;当加速度较大时,小球会离开斜面,此时小球只受到两个力,即重力和细线的拉力,有FT==m,选项B正确;当小球恰好要离开斜面时,小球只受到两个力,即重力和细线的拉力,此时细线与水平面的夹角为θ,有FTsin θ=mg,解得FT=,选项A正确,D错误.
7.D [解析] 剪断细线前,设细线的拉力为FT,弹簧的弹力为F,根据平衡条件,对B有FT+0.5mg=mgsin θ,对整体有FT+F=2mgsin θ,解得FT=0.1mg,F=1.1mg,A、B错误;剪断细线的瞬间,弹簧的弹力不变,根据牛顿第二定律,对整体有2mgsin θ-F=2ma,对B有mgsin θ-FN=ma,联立解得FN=0.55mg,C错误,D正确.
8.(1)2.6 s (2)1 m/s2
[解析] (1)当物体A、B间的弹力变为零时,A、B将分离.设t时刻A、B分离,根据牛顿第二定律,对A、B整体有FA+FB=(mA+mB)a
对B有FB=mBa
把FA=(10-2t)(N),FB=(2+2t)(N)代入以上两式,联立解得t=2.6 s
(2)t=4 s时,A、B已分离,此时FA=2 N
则物体A的加速度大小aA==1 m/s2
9.A [解析] 对猫,由平衡条件得Ff=mgsin α,对长木板,由牛顿第二定律得Ff+2mgsin α=2ma,联立解得木板的加速度a=1.5gsin α,选项A正确.
10.(1)①1.25 m/s2 ② (2)0.625 N
[解析] (1)对A、B整体,由牛顿第二定律得
2mgsin α-μ2·2mgcos α=2ma1
解得a1=1.25 m/s2
对物块A,由牛顿第二定律得mgsin α-Ff=ma1
要使A相对B不滑动,应有Ff≤μ3mgcos α
联立解得μ3≥μ2=
(2)对A、B整体,由牛顿第二定律得
2mgsin α-μ1mgcos α-μ2mgcos α=2ma2
对A,由牛顿第二定律得
mgsin α+FNAB-μ1mgcos α=ma2
联立解得FNAB=0.625 N专题课:牛顿运动定律中的连接体问题
◆ 知识点一 加速度相同的连接体问题
1.[2023·上海中学月考] 2021年10月16日0时23分,“神舟十三号”成功发射,顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空并进驻空间站.在空间站中,如需测量一个物体的质量,需要运用一些特殊方法:如图所示,先对质量为m1=1.0 kg的标准物体P施加一水平恒力F,测得其在1 s内的速度变化量大小是10 m/s,然后将标准物体与待测物体Q紧靠在一起,施加同一水平恒力F,测得它们1 s内的速度变化量大小是2 m/s,则待测物体Q的质量m2为( )
A.2.0 kg B.3.0 kg
C.4.0 kg D.5.0 kg
2.(多选)[2023·黑龙江大庆一中月考] 如图所示,质量分别为m1、m2(m1A.若改用0.5F的水平力拉物体1,则它们之间的摩擦力一定变为0.5Ff
B.若改用2F的水平力拉物体1,则它们之间的摩擦力一定变为2Ff
C.若水平力F改拉物体2,则它们之间的摩擦力应为Ff
D.若水平力F改拉物体2,则它们之间的摩擦力应为Ff
◆ 知识点二 加速度方向不同的连接体问题
3.(多选)[2023·浙江温州期中] 如图所示,一条不可伸长的轻绳绕过光滑的轻质定滑轮分别与物体A、B相连,轻绳两部分分别处于水平和竖直状态,桌面光滑,物体A和B的质量分别为M和m,重力加速度为g.现将系统由静止释放,在B没有落地且A没有碰到滑轮前,下列判断正确的是( )
A.物体A运动的加速度大小为
B.物体A运动的加速度大小为
C.物体B对轻绳的拉力大于mg
D.物体B对轻绳的拉力小于mg
4.(多选)[2023·湖南雅礼中学月考] 如图甲所示,细绳跨过光滑的轻质定滑轮连接A、B两物体,定滑轮悬挂在一个力传感器的正下方.保持A物体的质量m0不变,取质量m不同的B物体,由静止释放,通过计算机描绘得到传感器对滑轮的拉力F随B物体质量m变化关系的曲线如图乙所示,直线F=F0是曲线的渐近线,重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A.A物体的质量m0=
B.m越大,则A物体的加速度越小
C.m越大,则A物体的加速度越大
D.在m5.(多选)如图所示,大圆环的质量为M,经过环心的竖直钢丝AB(质量不计)上套有一质量为m的橡皮球.现让橡皮球沿钢丝以一定的初速度v0竖直向上运动,大圆环恰好对地面无压力, 重力加速度为g,则橡皮球上升过程中( )
A.钢丝对橡皮球的摩擦力为Mg,方向竖直向下
B.钢丝对橡皮球的摩擦力为0
C.橡皮球的加速度大小为g
D.橡皮球的加速度大小为g
6.(多选)[2023·湖南长沙一中月考] 如图所示,在倾角为θ的斜面体上用细线系着一个质量为m的光滑小球,小球随斜面体一起向右做加速度大小为a的匀加速直线运动.重力加速度为g,则稳定时细线的拉力大小可能为( )
A.
B.m
C.m
D.m
7.如图所示,在倾角θ=37°的光滑固定斜面上有质量均为m的物块A、B,物块A与轻弹簧相连,物块B用平行于斜面的细线与斜面顶端相连,A、B均静止且两者之间的弹力大小为0.5mg(g为重力加速度).已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.某时刻把细线剪断,下列说法正确的是( )
A.剪断细线前,细线的拉力大小为0.6mg
B.剪断细线前,弹簧的弹力大小为1.2mg
C.剪断细线的瞬间,A、B之间的弹力大小为0.5mg
D.剪断细线的瞬间,A、B之间的弹力大小为0.55mg
8.[2023·福建福州期中] 如图所示,A、B两物体放置在光滑水平面上,相互接触但并不黏合,两物体的质量分别为mA=2 kg,mB=3 kg.从t=0时刻开始,水平作用力FA和FB分别作用在A、B两物体上,FA、FB随时间变化的规律分别为FA=(10-2t)(N),FB=(2+2t)(N).
(1)物体A、B经多长时间分离
(2)t=4 s时,物体A的加速度为多大
9.如图所示,在倾角为α的固定光滑斜面上有一用轻绳拴着的长木板,木板上站着一只猫.已知木板的质量是猫的质量的2倍,重力加速度为g.当绳子突然断开时,猫立即沿着木板向上跑,以保持其相对斜面的位置不变,则此时木板沿斜面下滑的加速度为( )
A.1.5gsin α
B.0.5gsin α
C.gsin α
D.2gsin α
10.[2023·北京四中月考] 一个倾角为α的斜面体C固定在水平地面上,质量均为m=1 kg的两个物块A、B沿斜面体C下滑,A和C之间、B和C之间、A和B之间的动摩擦因数分别为μ1、μ2、μ3.已知μ1=,μ2=,α=30°,重力加速度g取10 m/s2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1)如图甲所示,物块A、B叠放一起,沿着斜面一起加速下,则:
①A、B一起下滑的加速度为多大
②A、B之间的动摩擦因数μ3至少为多大
(2)如图乙所示,物块A和B紧靠在一起,沿着斜面一起下滑,则A、B之间的作用力为多大
