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2 运动的合成与分解
第2课时 运动的合成与分解常见模型
学习任务一 小船渡河问题
学习任务二 关联速度问题
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 小船渡河问题
［模型建构］
(1)渡河时间问题
①渡河时间取决于河宽及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即.
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示，此时.
请记住：要渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即与水流方向垂直，渡河时间与无关.
(2)最短位移问题
①若，最短的位移为河宽，船头与上游河岸夹角满足，如图甲所示.
甲
②若，如图乙所示，从出发点开始作矢量，再以末端为圆心，以的大小为半径画圆弧，自出发点向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角 满足，最短位移.
乙
例1 已知某船在静水中的速度为,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为,水流速度为且方向与河岸平行.
(1) 欲使船以最短时间渡河,船头应朝什么方向 最短时间是多少 船发生的位移是多大
[答案] 船头垂直于河岸; ;
甲
[解析] 由题意知,当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时,渡河所用时间最短,河水流速平行于河岸,不影响渡河时间,所以当船头垂直于河岸渡河时,所用时间最短,则最短时间为.如图甲所示,当船到达对岸时,船沿水流方向也发生了位移,船的位移大
小为,由题意可得,代入得.
(2) 欲使船以最小位移渡河,船头应朝什么方向 渡河所用时间是多少
[答案] 船头与上游河岸夹角的余弦为;
[解析] 因船在静水中的速度为,大于水流速度,故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示,设船头斜指向对岸上游,且与上游河岸所成夹角为 ,则有,,所用的时间为.
乙
变式1 [2023·江苏淮安一中月考] 某游泳爱好者横渡富春江，他以恒定的速度向对岸游去，面部始终保持与河岸垂直.设江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是( )
A
A.水速变大后，路程变长，时间不变 B.水速变大后，路程变长，时间变长
C.水速变大后，合速度变大，时间变短 D.路程、时间与水速无关
[解析] 在垂直于河岸方向上，游泳者的速度恒定不变，河的宽度一定，所以其过河所用时间一定，不受水速影响.水速变大后，合速度变大，由于时间一定，则路程变长，故A正确，B、C、D错误.
变式2 [2023·重庆八中月考] 一小船在静水中的速度大小为，它在一条河宽为、流速为的河流中渡河，则下列说法正确的是( )
C
A.小船渡河时间不少于
B.小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为
C.小船以最短位移渡河时，位移大小为
D.小船以最短位移渡河时，时间为
[解析] 当船头垂直河岸时渡河时间最短，，故A错误；船以最短时间渡河时沿河岸的位移，故B错误；因为水流速度大于船在静水中的速度，所以船不能沿垂直于河岸的方向渡河，如图所示，当合速度与船在静水中的速度方向垂直时，渡河位移最小，则，则渡河的最小位移，故C正确；船以最短位移渡河时，时间为，故D错误.
【要点总结】
1.解决小船渡河问题的关键是：正确区分合运动与分运动.沿船头指向方向的运动，是分运动，船的实际运动是合运动，一般情况下与船头指向不共线.
2.小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境,时间最短时,位移不是最短.
3.渡河最短时间与船随水漂流的速度大小无关,只要船头指向与河岸垂直,渡河时间即为最短.
学习任务二 关联速度问题
［物理建模］ “关联速度”模型
(1)“关联”速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动.一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度.
(2)“关联”速度分解的步骤
①确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向.
②确定合运动的两个效果.
③画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系.
(3)常见的模型(如图所示)
例2 如图所示，在以的速度匀速拉船靠岸的过程中，拉绳的速度与船的速度有何关系？船的速度如何变化？
[答案] 见解析
[解析] 船向左运动，对绳产生了两个效果，一是沿绳使绳右端与滑轮的距离变短，二是垂直于绳使绳绕滑轮旋转，将船速在沿绳和垂直于绳两个方向上进行分解，设绳与水面的夹角为 ，由图可得 ，船在靠岸时，夹角 增大，不变，则船速增大.
变式3 [2023·江西丰城九中月考] 如图所示,以速度沿竖直杆匀速下滑的物体用轻绳通过光滑定滑轮拉物体,当绳与水平面夹角为 时,物体的速度为(物体一直在水平方向上运动)( )
D
A. B. C. D.
[解析] 将A的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，如图所示，根据平行四边形定则得,故D正确.
例3 如图所示，一根长直轻杆在墙角沿竖直墙和水平地面滑动(假设端不脱离墙面).当杆和墙的夹角为 时，杆的端沿墙下滑的速度大小为，端沿地面滑动的速度大小为，则、的关系是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 将A、B两点的速度分解为沿方向与垂直于方向的分速度，沿方向的速度分别为和，沿方向的速度分量应相同， ，，由，可得 ，故选项C正确.
备 用 习 题
1. 小船横渡一条河,船头航行方向始终与河岸垂直.若小船相对静水的速度大小不变,小船的一段运动轨迹如图所示,则( )
A.由A到B,水速一直增大
B.由A到B,水速一直减小
C.由A到B,水速先增大后减小
D.由A到B,水速先减小后增大
B
[解析]从轨迹曲线的弯曲形状可知,加速度的方向水平向左,所以越靠近B则水速越小,故B正确.
备 用 习 题
2.如图所示,一铁球用细线悬挂于天花板上,静止垂在桌子的边缘,细线穿过一光盘的中间孔,手推光盘在桌面上平移,光盘带动细线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动,当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时,细线与竖直方向的夹角为θ,此时铁球( )
A.竖直方向速度大小为vcos θ
B.竖直方向速度大小为vsin θ
C.竖直方向速度大小为vtan θ
D.相对于地面速度大小为v
B
备 用 习 题
[解析]线与光盘交点参与两个运动,一是逆着线方向的运动,二是垂直于线方向的运动,合运动的速度大小为v,由几何关系知v线=vsin θ,而线的速度大小即为铁球在竖直方向的速度大小,故B正确,A、C错误;铁球相对于地面的速度大小为v'=,故D错误.
备 用 习 题
3. 如图所示,一个半径为R的表面光滑的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0匀速运动.在半圆柱体上放置一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动.杆与半圆柱体的接触点为P,当点P与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ时,求竖直杆运动的速度v1的大小.
[答案] v0tan θ
[解析]竖直杆运动的速度为v1,方向竖直向上,由于弹力方向沿OP方向,所以v0、v1在OP方向的投影相等,
即v0sin θ=v1cos θ
解得v1=v0tan θ
1.(小船渡河问题)小明同学遥控小船做过河实验,并绘制了四幅小船过河的航线图如图所示.图中实线为河岸,河水的流动速度不变,方向水平向右,虚线为小船从河岸驶向对岸的实际航线,小船相对于静水的速度不变.下列说法正确的是( )
A
A.航线图甲是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
B.航线图乙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
C.航线图丙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河位移最短
D.航线图丁是不正确的,如果船头保持图中的方向,那么船的轨迹应该是曲线
[解析] 根据图甲可知,小船相对于静水的速度方向(船头指向)垂直于河岸,合速度的方向偏向下游,且过河时间最短,故A正确;根据图乙可知,船头指向对岸上游,且合速度的方向正好垂直于河岸,过河的位移最小,但过河的时间不是最短,故B错误;由于河水的流动,不可能出现航线图丙,故C错误;由平行四边形定则知,合速度方向应在船头指向与水流方向之间,且合速度大小及方向不变,船的轨迹应是直线,故D错误.
2.(小船过河轨迹分析)1934年10月，红军为突破第五次反“围剿”，从宁化湖村等地集结出发，途经于都，强渡于都河(贡江).若渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大.设木船相对静水的速度大小恒定.以最短的时间过河，则木船在出发点与登陆点之间的运动轨迹是图中的( )
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行河岸向右，后平行河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误.
3.(关联速度问题)[2023·湖北荆州中学月考] 如图所示,、、三个物体用轻绳绕过定滑轮连接,物体、的速度方向向下,大小均为,则物体的速度大小为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 本题易错之处是将速度分解与力的分解相混淆,即将物体C的速度沿两绳方向分解,认为沿两绳方向的分速度等于,得出物体C的速度大小等于 ,从而错选A项.当物体A、B的速度向下,大小均为时,对于A、C或B、C两物体,根据轻绳不可伸长有,故选项D正确.
知识点一 小船渡河问题
1.[2023·浙江镇海中学月考] 某渡船在横渡闽江时从江岸边的位置出发，保持船头方向始终与对岸垂直，已知船在静水中的速度大小恒定，江水的流速不变.该渡船渡江的轨迹可能是图中的( )
C
A.① B.② C.③ D.④
[解析] 依题意，渡船参与两个分运动，沿船头方向的匀速直线运动和沿水流方向的匀速直线运动，根据运动的合成与分解可知，其合运动为匀速直线运动，所以渡江的轨迹可能为图中的③，故选C.
2.[2023·北大附中月考] 如图为救生员正在湍流的洪水中向对岸被困人员实施救援的场景.假设救生员的游泳速度大小不变，且始终比水流速度大，当救生员游至河流中央时，水流速度开始缓慢变大，则( )
B
A.如果救生员仍按原方向前进，则到对岸的时间将变长
B.为了能游到被困人员处，救生员游速方向应该向上游调整
C.虽然水流速度变大，但救生员的轨迹仍为原来的直线
D.因为水流速度变大，救生员将无法到达对岸
[解析] 如果救生员仍按原方向前进，由分运动的独立性和分运动与合运动的同时性可知到对岸的时间不变，故A、D错误；为了能游到被困人员处，要消除水流的影响，救生员游速方向应该向上游调整，故B正确；水流速度变大，救生员的合速度方向改变，救生员的轨迹不再是原来的直线，故C错误.
3.(多选)假设在一段平直的河道中水流速度为，皮划艇在静水中的速度为，河宽为，小刘和小张划动皮划艇过河，则下列说法正确的是( )
AD
A.若皮划艇过河时间最短，则皮划艇船头应对着河正对岸
B.调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对岸
C.若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间变长
D.若皮划艇能到达河正对岸，则皮划艇过河时间为
[解析] 皮划艇船头对着河正对岸时，皮划艇垂直河岸的分速度最大，河宽一定，由可知此时过河时间最短，故A正确；当时，由三角形定则可知皮划艇不能到达河的正对岸，故B错误；当船头方向不变时，根据运动的独立性可知，若水流速度增大，过河时间不变，故C错误；若皮划艇能到达河的正对岸，则合速度为，过河时间为
，故D正确.
知识点二 关联速度问题
4.(多选)[2023·山东济南一中月考] 如图所示，平台上的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引重物上升，平台足够长，汽车始终保持速度匀速向左沿直线运动，某时刻绳与水平方向夹角为 ，在重物未到达定滑轮高度之前，下列说法正确的是( )
BC
A.重物减速上升 B.重物加速上升
C.重物上升的速度为 D.重物上升的速度为
[解析] 对汽车的速度进行分解，可知重物上升的速度为 ，汽车运动过程中 逐渐减小，可知重物上升的速度逐渐增大，故选B、C.
5.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球和，竖直放置，两球质量均为，两球半径忽略不计，杆的长度为.由于微小的扰动，球沿竖直光滑槽向下运动，球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为 时(图中未标出)，关于两球速度和的关系，下列说法正确的是( )
C
A.若 ，则、两球的速度大小相等
B.若 ，则、两球的速度大小相等
C.
D.
[解析] 当杆与竖直方向的夹角为 时，根据运动的分解，如图所示，沿杆方向两分速度大小相等，则 ，即 ，当 时，可得，故选C.
6.(多选)[2023·天津一中月考] 如图所示，某一段河流的两岸相互平行，各处的水流速度相同且平稳，小船以大小为(在静水中的速度)、方向与上游河岸成角 的速度从处渡河，经过一段时间
AB
A.河中水流速度为
B.由已知条件可知河宽为
C.小船渡河的最短时间为
D.小船以最短的时间渡河的位移是
正好到达正对岸的处，则下列说法中正确的是( )
[解析] 小船垂直河岸渡河，由平行四边形定则得，A正确；由小船在垂直河岸方向做匀速直线运动可知，河宽为，B正确；小船船头指向正对岸时，渡河时间最短，最短时间为，C错误；小船以最短的时间渡河的位移为
，D错误.
7.[2023·重庆巴蜀中学月考] 如图所示，一个小型侦察气球未打开驱动系统时，恰能相对空气静止，现需要避开前方一个长方形监控区，该区域为南北方向点在北)，长，为的中点.现气球恰好飞到点，与垂直且，而此时刚好有风，风速向东，大小为，为使气球避开监控区，则其驱动速度至少为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，要恰好避开监控区，气球可能沿着运动.根据三角形定则可知，最小的驱动速度 ，而，解得，故A正确，B、C、D错误.
8.(多选)[2023·江苏金陵中学月考] 在民族运动会上,运动员弯弓放箭射击同高度侧向的固定目标(如图所示).假设运动员骑马奔驰的速度大小为,运动员静止时射出的弓箭速度大小为,跑道离固定目标的最近距离为.下列说法中正确的是( )
CD
A.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为
B.只要击中侧向的固定目标,箭在空中运动的合速度大小一定是
C.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为
D.箭射到固定目标的最短时间为
[解析] 放出的箭垂直于马运动方向发射时,箭运行时间最短,最短时间,则箭在沿马运动方向上的位移为
,所以放箭处到目标的距离为,故A错误,C、D正确;只有箭垂直于马运动方向发射且击中侧向的固定目标,箭在空中运动的合速度的大小才是,故B错误.
9.[2023·山东烟台二中月考] 如图所示，一条小船位于宽的河正中央点处，从这里向下游处有一危险区，当时水流速度为.
(1) 若小船在静水中速度为，小船到对岸的最短时间是多少？
[答案]
[解析] 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，则最短时间为
(2) 若小船在静水中速度为，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间为多少？
[答案]
[解析] 水速大于船速，小船不能垂直河岸过河，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为， 则航程
则 角越大，航程越短，当 角最大时，航程最短，船头指向如图所示根据几何关系可知
则
则船头的方向与上游河岸成 角，此时，航行的位移为
船航行的速度
所用时间为
(3) 为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少？
[答案]
[解析] 小船恰好避开危险区沿直线到达对岸，设合速度与水流速度的夹角为 ，即有
则
小船在河水中运动时，当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小，为
10.[2023·福建上杭一中月考] 如图所示，工厂生产流水线上的玻璃以某一速度连续不断地随流水线向右匀速运动，在切割工序的处有一玻璃割刀.为了使割下的玻璃都成规定尺寸的矩形，
C
A.割刀相对地的速度方向一定沿方向1 B.割刀相对地的速度方向可能沿方向2
C.割刀相对地的速度方向可能沿方向3 D.割刀相对地的速度方向可能沿方向4
关于割刀相对地的速度方向，图中画出了割刀相对地的速度的四条大致的方向，其中1与玻璃运动方向垂直.下列说法正确的是 ( )
[解析] 依题意，为了使割下的玻璃都成规定尺寸的矩形，则割刀相对于玻璃的运动速度应垂直玻璃，即当割刀沿玻璃运动方向移动的分速度等于玻璃移动的速度时，则每次割下的玻璃都成规定尺寸的矩形，根据题图可知割刀相对地的速度方向可能沿方向3，故选C.
11.如图所示，倾角 的固定木板上端有一轻小定滑轮，绕过滑轮的轻绳一端与大球相连，另一端与物块相连.现让大球从球心与等高处释放，大球沿木板下滑过程中左侧轻绳的延长线始终经过大球球心，当左侧轻绳与水平方向夹角 时，大球、物块的速度大小分别为、，则( )
C
A. B. C. D.
[解析] 将大球的速度沿轻绳方向和与轻绳垂直方向进行分解，如图所示，由几何关系得 ，则物块的速度大小，故D正确.第2课时 运动的合成与分解常见模型
例1 (1)船头垂直于河岸 25 s 125 m (2)船头与上游河岸夹角的余弦为 s
[解析] (1)由题意知,当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时,渡河所用时间最短,河水流速平行于河岸,不影响渡河时间,所以当船头垂直于河岸渡河时,所用时间最短,则最短时间为t== s=25 s.如图甲所示,当船到达对岸时,船沿水流方向也发生了位移,船的位移大小为x=,由题意可得x1=v2t=3×25 m=75 m,代入得x=125 m.
(2)因船在静水中的速度为v1=4 m/s,大于水流速度v2=3 m/s,故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示,设船头斜指向对岸上游,且与上游河岸所成夹角为θ,则有cos θ==,v== m/s,所用的时间为t1== s= s.
变式1 A [解析] 在垂直于河岸方向上,游泳者的速度恒定不变,河的宽度一定,所以其过河所用时间一定,不受水速影响.水速变大后,合速度变大,由于时间一定,则路程变长,故A正确,B、C、D错误.
变式2 C [解析] 当船头垂直河岸时渡河时间最短,tmin== s=50 s,故A错误;船以最短时间50 s渡河时沿河岸的位移x=v水tmin=5×50 m=250 m,故B错误;因为水流速度大于船在静水中的速度,所以船不能沿垂直于河岸的方向渡河,如图所示,当合速度与船在静水中的速度方向垂直时,渡河位移最小,则sin θ==,则渡河的最小位移x'== m=250 m,故C正确;船以最短位移渡河时,时间为t== s=62.5 s,故D错误.
例2 见解析
[解析] 船向左运动,对绳产生了两个效果,一是沿绳使绳右端与滑轮的距离变短,二是垂直于绳使绳绕滑轮旋转,将船速v在沿绳和垂直于绳两个方向上进行分解,设绳与水面的夹角为θ,由图可得v0=vx=vcos θ,船在靠岸时,夹角θ增大,v0不变,则船速v增大.
变式3 D [解析] 将A的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解,如图所示,根据平行四边形定则得vB=v2=vsin θ,故D正确.
例3 C [解析] 将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度,沿AB方向的速度分别为和,沿AB方向的速度分量应相同,=v1cos θ,=v2sin θ,由=,可得v1=v2tan θ,故选项C正确.
随堂巩固
1.A [解析] 根据图甲可知,小船相对于静水的速度方向(船头指向)垂直于河岸,合速度的方向偏向下游,且过河时间最短,故A正确;根据图乙可知,船头指向对岸上游,且合速度的方向正好垂直于河岸,过河的位移最小,但过河的时间不是最短,故B错误;由于河水的流动,不可能出现航线图丙,故C错误;由平行四边形定则知,合速度方向应在船头指向与水流方向之间,且合速度大小及方向不变,船的轨迹应是直线,故D错误.
2.D [解析] 以最短的时间过河,则木船的船头垂直于河岸,木船渡河同时参与了两个运动,垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动,其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度,保持不变;平行河岸的分速度等于水速,根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小,故木船的加速度先平行河岸向右,后平行河岸向左,木船做曲线运动,根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知,D正确,A、B、C错误.
3.D [解析] 本题易错之处是将速度分解与力的分解相混淆,即将物体C的速度沿两绳方向分解,认为沿两绳方向的分速度等于v,得出物体C的速度大小等于2vcos θ,从而错选A项.当物体A、B的速度向下,大小均为v时,对于A、C或B、C两物体,根据轻绳不可伸长有vC=,故选项D正确.第2课时 运动的合成与分解常见模型
1.C [解析] 依题意,渡船参与两个分运动,沿船头方向的匀速直线运动和沿水流方向的匀速直线运动,根据运动的合成与分解可知,其合运动为匀速直线运动,所以渡江的轨迹可能为图中的③,故选C.
2.B [解析] 如果救生员仍按原方向前进,由分运动的独立性和分运动与合运动的同时性可知到对岸的时间不变,故A、D错误;为了能游到被困人员处,要消除水流的影响,救生员游速方向应该向上游调整,故B正确;水流速度变大,救生员的合速度方向改变,救生员的轨迹不再是原来的直线,故C错误.
3.AD [解析] 皮划艇船头对着河正对岸时,皮划艇垂直河岸的分速度v垂最大,河宽d一定,由t=可知此时过河时间最短,故A正确;当v4.BC [解析] 对汽车的速度进行分解,可知重物上升的速度为v1=vcos θ,汽车运动过程中θ逐渐减小,可知重物上升的速度逐渐增大,故选B、C.
5.C [解析] 当杆与竖直方向的夹角为θ时,根据运动的分解,如图所示,沿杆方向两分速度大小相等,则vAcos θ=vBsin θ,即vA=vBtan θ,当θ=45°时,可得vA=vB,故选C.
6.AB [解析] 小船垂直河岸渡河,由平行四边形定则得v水=v1cos θ=3 m/s,A正确;由小船在垂直河岸方向做匀速直线运动可知,河宽为d=v1sin θ·t=240 m,B正确;小船船头指向正对岸时,渡河时间最短,最短时间为tmin==48 s,C错误;小船以最短的时间渡河的位移为x=vtmin=·tmin=48 m,D错误.
7.A [解析] 如图所示,要恰好避开监控区,气球可能沿着PA运动.根据三角形定则可知,最小的驱动速度v驱=v风sin α,而sin α==,解得v驱=2 m/s,故A正确,B、C、D错误.
8.CD [解析] 放出的箭垂直于马运动方向发射时,箭运行时间最短,最短时间t=,则箭在沿马运动方向上的位移为x=v1t=,所以放箭处到目标的距离为s==,故A错误,C、D正确;只有箭垂直于马运动方向发射且击中侧向的固定目标,箭在空中运动的合速度的大小才是v=,故B错误.
9.(1)25 s (2)37° 41.7 s (3)2.5 m/s
[解析] (1)当船头方向垂直河岸时,渡河时间最短,则最短时间为
t==25 s
(2)水速大于船速,小船不能垂直河岸过河,设船航行的速度方向与下游河岸夹角为β,则航程
x=
则β角越大,航程越短,当β角最大时,航程最短,船头指向如图所示
根据几何关系可知sin β==
则β = 53°
则船头的方向与上游河岸成37°角,此时,航行的位移为x==125 m
船航行的速度v合==3 m/s
所用时间为t==41.7 s
(3)小船恰好避开危险区沿直线到达对岸,设合速度与水流速度的夹角为α,即有tan α=
则α = 30°
小船在河水中运动时,当小船在静水中的速度与合速度垂直时,小船在静水中的速度最小,为
vmin = v1sin α = 2.5 m/s
10.C [解析] 依题意,为了使割下的玻璃都成规定尺寸的矩形,则割刀相对于玻璃的运动速度应垂直玻璃,即当割刀沿玻璃运动方向移动的分速度等于玻璃移动的速度时,则每次割下的玻璃都成规定尺寸的矩形,根据题图可知割刀相对地的速度方向可能沿方向3,故选C.
11.D [解析] 将大球的速度沿轻绳方向和与轻绳垂直方向进行分解,如图所示,由几何关系得β=θ-α=30°,则物块的速度大小v2=v1cos β=v1,故D正确.第2课时 运动的合成与分解常见模型
学习任务一 小船渡河问题
[模型建构]
(1)渡河时间问题
①渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小,即t=.
②若要渡河时间最短,只要使船头垂直于河岸航行即可,如图所示,此时t=.
请记住:要渡河时间最短,船头应垂直指向河对岸,即v船与水流方向垂直,渡河时间与v水无关.
(2)最短位移问题
①若v水< v船,最短的位移为河宽d,船头与上游河岸夹角满足cos θ=,如图甲所示.
②若> v船,如图乙所示,从出发点A开始作矢量v水,再以v水末端为圆心,以v船的大小为半径画圆弧,自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos θ=,最短位移x短=.
例1 已知某船在静水中的速度为v1=4 m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100 m,水流速度为v2=3 m/s且方向与河岸平行.
(1)欲使船以最短时间渡河,船头应朝什么方向 最短时间是多少 船发生的位移是多大
(2)欲使船以最小位移渡河,船头应朝什么方向 渡河所用时间是多少
变式1 [2023·江苏淮安一中月考 ] 某游泳爱好者横渡富春江,他以恒定的速度向对岸游去,面部始终保持与河岸垂直.设江中各处水流速度相等,他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是( )
A.水速变大后,路程变长,时间不变
B.水速变大后,路程变长,时间变长
C.水速变大后,合速度变大,时间变短
D.路程、时间与水速无关
[反思感悟]
变式2 [2023·重庆八中月考] 一小船在静水中的速度大小为3 m/s,它在一条河宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河,则下列说法正确的是 ( )
A.小船渡河时间不少于60 s
B.小船以最短时间渡河时,它沿水流方向的位移大小为150 m
C.小船以最短位移渡河时,位移大小为250 m
D.小船以最短位移渡河时,时间为60 s
[反思感悟]
【要点总结】
1.解决小船渡河问题的关键是:正确区分合运动与分运动.沿船头指向方向的运动,是分运动,船的实际运动是合运动,一般情况下与船头指向不共线.
2.小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境,时间最短时,位移不是最短.
3.渡河最短时间与船随水漂流的速度大小无关,只要船头指向与河岸垂直,渡河时间即为最短.
学习任务二 关联速度问题
[物理建模] “关联速度”模型
(1)“关联”速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起,或直接挤压在一起的物体,它们的运动简称为关联运动.一般情况下,在运动过程中,相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的,即二者的速度通常不同,但却有某种联系,我们称二者的速度为“关联”速度.
(2)“关联”速度分解的步骤
①确定合运动的方向:物体实际运动的方向就是合运动的方向,即合速度的方向.
②确定合运动的两个效果.
用轻绳或可自由
转动的轻杆连接
的物体的问题
相互接触的
物体的问题
③画出合运动与分运动的平行四边形,确定它们的大小关系.
(3)常见的模型(如图所示)
例2 如图所示,在以v0的速度匀速拉船靠岸的过程中,拉绳的速度v0与船的速度v有何关系 船的速度如何变化
变式3 [2023·江西丰城九中月考] 如图所示,以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过光滑定滑轮拉物体B,当绳与水平面夹角为θ时,物体B的速度为(物体B一直在水平方向上运动)( )
A.v B.
C.vcos θ D.vsin θ
[反思感悟]
例3 如图所示,一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动(假设A端不脱离墙面).当AB杆和墙的夹角为θ时,杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1,B端沿地面滑动的速度大小为v2,则v1、v2的关系是 ( )
A.v1=v2 B.v1=v2cos θ
C.v1=v2tan θ D.v1=v2sin θ
[反思感悟]
1.(小船渡河问题)小明同学遥控小船做过河实验,并绘制了四幅小船过河的航线图如图所示.图中实线为河岸,河水的流动速度不变,方向水平向右,虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线,小船相对于静水的速度不变.下列说法正确的是( )
A.航线图甲是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
B.航线图乙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河时间最短
C.航线图丙是正确的,船头保持图中的方向,小船过河位移最短
D.航线图丁是不正确的,如果船头保持图中的方向,那么船的轨迹应该是曲线
2.(小船过河轨迹分析)1934年10月,红军为突破第五次反“围剿”,从宁化湖村等地集结出发,途经于都,强渡于都河(贡江).若渡河区域内的河岸平直,水流速度方向处处与河岸平行,越靠近河中央,水流速度越大.设木船相对静水的速度大小恒定.以最短的时间过河,则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹是图中的 ( )
A
B
C
D
3.(关联速度问题)[2023·湖北荆州中学月考] 如图所示,A、B、C三个物体用轻绳绕过定滑轮连接,物体A、B的速度方向向下,大小均为v,则
物体C的速度大小为( )
A.2vcos θ B.vcos θ
C. D.第2课时 运动的合成与分解常见模型建议用时:40分钟
◆ 知识点一 小船渡河问题
1.[2023·浙江镇海中学月考] 某渡船在横渡闽江时从江岸边的P位置出发,保持船头方向始终与对岸垂直,已知船在静水中的速度大小恒定,江水的流速不变.该渡船渡江的轨迹可能是图中的 ( )
A.①
B.②
C.③
D.④
2.[2023·北大附中月考] 如图为救生员正在湍流的洪水中向对岸被困人员实施救援的场景.假设救生员的游泳速度大小不变,且始终比水流速度大,当救生员游至河流中央时,水流速度开始缓慢变大,则( )
A.如果救生员仍按原方向前进,则到对岸的时间将变长
B.为了能游到被困人员处,救生员游速方向应该向上游调整
C.虽然水流速度变大,但救生员的轨迹仍为原来的直线
D.因为水流速度变大,救生员将无法到达对岸
3.(多选)假设在一段平直的河道中水流速度为v0,皮划艇在静水中的速度为v,河宽为d,小刘和小张划动皮划艇过河,则下列说法正确的是 ( )
A.若皮划艇过河时间最短,则皮划艇船头应对着河正对岸
B.调整皮划艇船头方向,一定能够到达河的正对岸
C.若水流速度增大,则皮划艇过河最短时间变长
D.若皮划艇能到达河正对岸,则皮划艇过河时间为
◆ 知识点二 关联速度问题
4.(多选)[2023·山东济南一中月考] 如图所示,平台上的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引重物上升,平台足够长,汽车始终保持速度v匀速向左沿直线运动,某时刻绳与水平方向夹角为θ,在重物未到达定滑轮高度之前,下列说法正确的是( )
A.重物减速上升
B.重物加速上升
C.重物上升的速度为vcos θ
D.重物上升的速度为
5.如图所示,一个长直轻杆两端分别固定小球A和B,竖直放置,两球质量均为m,两球半径忽略不计,杆的长度为L.由于微小的扰动,A球沿竖直光滑槽向下运动,B球沿水平光滑槽向右运动,当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出),关于两球速度vA和vB的关系,下列说法正确的是 ( )
A.若θ=30°,则A、B两球的速度大小相等
B.若θ=60°,则A、B两球的速度大小相等
C.vA=vBtan θ
D.vA=vBsin θ
6.(多选)[2023·天津一中月考] 如图所示,某一段河流的两岸相互平行,各处的水流速度相同且平稳,小船以大小为v1=5 m/s(在静水中的速度)、方向与上游河岸成角θ=53°的速度从A处渡河,经过一段时间t=60 s正好到达正对岸的B处,则下列说法中正确的是( )
A.河中水流速度为3 m/s
B.由已知条件可知河宽为240 m
C.小船渡河的最短时间为60 s
D.小船以最短的时间渡河的位移是d=240 m
7.[2023·重庆巴蜀中学月考] 如图所示,一个小型侦察气球未打开驱动系统时,恰能相对空气静止,现需要避开前方一个长方形监控区ABCD,该区域为南北方向(A点在北),长200 m,O为AD的中点.现气球恰好飞到P点,PO与AD垂直且PO=150 m,而此时刚好有风,风速向东,大小为 m/s,为使气球避开监控区,则其驱动速度至少为 ( )
A.2 m/s B.3 m/s
C.4 m/s D.5 m/s
8.(多选)[2023·江苏金陵中学月考] 在民族运动会上,运动员弯弓放箭射击同高度侧向的固定目标(如图所示).假设运动员骑马奔驰的速度大小为v1,运动员静止时射出的弓箭速度大小为v2,跑道离固定目标的最近距离为d.下列说法中正确的是 ( )
A.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为
B.只要击中侧向的固定目标,箭在空中运动的合速度大小一定是v=
C.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为
D.箭射到固定目标的最短时间为
9.[2023·山东烟台二中月考] 如图所示,一条小船位于d=200 m宽的河正中央A点处,从这里向下游100 m处有一危险区,当时水流速度为v1=5 m/s.
(1)若小船在静水中速度为v2=4 m/s,小船到对岸的最短时间是多少
(2)若小船在静水中速度为v2=4 m/s,小船以最短的位移到岸,小船船头与河岸夹角及所用时间为多少
(3)为了使小船避开危险区沿直线到达对岸,小船在静水中的速度至少是多少
10.[2023·福建上杭一中月考] 如图所示,工厂生产流水线上的玻璃以某一速度连续不断地随流水线向右匀速运动,在切割工序的P处有一玻璃割刀.为了使割下的玻璃都成规定尺寸的矩形,关于割刀相对地的速度方向,图中画出了割刀相对地的速度的四条大致的方向,其中1与玻璃运动方向垂直.下列说法正确的是 ( )
A.割刀相对地的速度方向一定沿方向1
B.割刀相对地的速度方向可能沿方向2
C.割刀相对地的速度方向可能沿方向3
D.割刀相对地的速度方向可能沿方向4
11.如图所示,倾角θ=60°的固定木板上端有一轻小定滑轮B,绕过滑轮的轻绳一端与大球相连,另一端与物块相连.现让大球从球心O与B等高处释放,大球沿木板下滑过程中B左侧轻绳的延长线始终经过大球球心O,当B左侧轻绳与水平方向夹角α=30°时,大球、物块的速度大小分别为v1、v2,则( )
A.v1=v2
B.v1=v2
C.v2=v1
D.v2=v1
