《向心加速度》导学案
【教学目标设计】
1.知识与技能：
⑴.理解速度变化量与加速度的概念。
⑵.知道向心加速度大小与线速度，角速度的关系。
⑶.能够运用矢量运算规则和相关数学知识推导出向心加速度的大小表达式。
⑷.能够应用向心加速度的相应表达式解决问题。
2.过程与方法：
通过实验感知使学生树立实事求是的科学态度，建立科学的方法。
经历矢量差法、比值定义法、极限法，渗透“无限逼近”的思维方法，尝试用数学方法解决物理问题，感悟科学探究的方法。
通过探究过程，引发学生思考，分析，归纳，从而培养学生的分析，归纳能力。
3.情感、态度与价值观：
⑴培养学生认识未知世界要有勇于猜想的勇气和严谨的科学态度。
⑵感知物理源自生活，激发学生热爱科学学习科学的热情。
【教学重点】
向心加速度的定义。
向心加速度的公式及其应用。
【教学难点】
向心加速度的方向。
向心加速度公式推导过程。
【温故而知新】
已知物体受到的合外力和质量，可以用什么公式求解物体的加速度？
已知物体在内的速度变化量为，可以用什么公式求解物体的加速度？
=___________,直线运动如何确定的方向？曲线运动又如何确定？
匀速圆周运动的几个物理量的公式:
=____________, =___________________
与的关系表达式为：____________________
探究一：匀速圆周运动物体合外力的方向
小组实验
画小球受力分析图
小球合外力的方向
1.手握细线一端，手指接近桌面，使小球在光滑桌面上做匀速圆周运动
2.给小钢球一个初速度，使小钢球沿光滑杯壁做匀速圆周运动
探究二：匀速圆周运动速度变化量的大小和方向
第一步：
设质点沿半径为r 的圆做匀速圆周运动，其线速度大小为,某时刻位于A点，速度为 ，经过时间△t 后位于B点，速度为 。AB表示弦AB的长度（温馨提示：,大小相等，即线段长度相等.）.
请在图中画出从A到B速度变化量；
观察△OAB与、、三条线段围成的三角形，
2个三角形有什么关系？
据两个三角形的几何关系请你求=____________________（用含AB，r,v的表达式表示）。
第二步：减小，则∠AOB减小，如图
1请在图中画出从A到B速度变化量；
观察△OAB与、、三条线段围成的三角形，
2个三角形有什么关系？
3.观察与所组成的角相对第一步在如何变化？
据两个三角形的几何关系请你求出：=____________________（用含AB，r,v的表达式表示）
第三步：再减小,当很小很小时，则∠AOB也很小很小
（为方便作图角取的仍然比较大）。
1.请在图中画出从A到B速度变化量；
2.请你判断：此时的表达式和前面是一样吗？
3.观察此时与的所组成的接近多少度，与半径OA是什么关系,指向哪里？
结论：当 很小很小时，的方向指向____,即匀速圆周运动的加速度指向____。
探究三：探究匀速圆周运动物体向心加速度的大小
设质点沿半径为r 的圆做匀速圆周运动，其线速度大小为某时刻位于A点，速度为 ，经过时间△t 后位于B点，速度为 。请你试着使用刚刚求解的来求解向心加速度的大小。
探究四：向心加速度公式的应用
如图为一皮带传动装置，大轮与小轮固定在同一根轴上，小轮与另一中等大小的轮子间用皮带相连（皮带不打滑），小、中、大轮子的半径之比是1：2：3．A、B、C分别为小、中、大轮子边缘上的三点,求三个点向心加速度大小之比为多少？
布置作业
（1）完成教材p22“问题与练习”第2、3、4题.
(2)推荐课外查阅与谈论
1.请同学们在网上查阅推导向心加速度的其他方法？
2.网上查阅用数学的方法证明向心加速度公式也适用非匀速圆周运动并查阅曲率半径。
3.课题：研究电视画面中汽车轮胎的正反问题.
过程：在电视画面中我们常常会看到一辆向前奔驰的汽车，它的轮子一会儿在正转，一会儿又在倒转.假设轮子的辐条如图所示，请解释造成这种现象的原因是什么,并分析什么情况下出现正转现象,什么情况下出现倒转现象.（参考资料：电视画面是每隔1/30 s更迭一帧，人的视觉暂留时间为0.1 s）
向心加速度
【教材分析】
⑴.教材地位：前面有了描述匀速圆周运动的的几个基本概念，本节研究向心加速度这一重要概念，本节是本章的重点和难点，对本章知识点的学习有承上启下的作用。为后面学习匀速圆周运动实例分析，万有引力与天体运动，带电粒子在磁场中的运动起准备作用。
⑵.教材思路：通过对实验匀速圆周运动现象的观察、通过受力感悟得出向心加速度方向指向圆心，接着应用加速度的定义、矢量运算方法进行探究，推导出匀速圆周运动的加速度的方向和大小，逐步完成对匀速圆周运动探究。
【学情分析】
⑴.学生具备牛顿第二定律的知识，有进行对新知识“匀速圆周运动的加速度方向”的同化认知的能力。
⑵.学生具备研究直线运动的思路，有能力将本课探究的课题分解为几个相对独立的小问题即对圆周运动现象进行观察和描述，应用相关定义进行探究，应用数学运算方法进行推导。
⑶.学生对加速度的矢量性理解还停留在直线运动范畴，能理解加速度与速度同向和反向的情况，这节课理解向心加速度的方向与速度方向垂直将成为学生认知和思维上升的一个台阶。
⑷.学生对矢量运算的不熟练将成为具体探究过程的思维难点和操作难点。
【教学目标设计】
1.知识与技能：
⑴.理解速度变化量与加速度的概念。
⑵.知道向心加速度大小与线速度，角速度的关系。
⑶.能够运用矢量运算规则和相关数学知识推导出向心加速度的大小表达式。
⑷.能够应用向心加速度的相应表达式解决问题。
2过程与方法：
通过实验感知使学生树立实事求是的科学态度，建立科学的方法。
经历矢量差法、比值定义法、极限法，渗透“无限逼近”的思维方法，尝试用数学方法解决物理问题，感悟科学探究的方法。
通过探究过程，引发学生思考，分析，归纳，从而培养学生的分析，归纳能力。
3.情感、态度与价值观：
⑴培养学生认识未知世界要有勇于猜想的勇气和严谨的科学态度。
⑵感知物理源自生活，激发学生热爱科学学习科学的热情。
【教学重点】
向心加速度的定义。
向心加速度的公式及其应用。
【教学难点】
向心加速度的方向。
【教学过程】
设计情景导入新课
学习微课视频后接着一起观看我国运动员赵宏博，申雪冬奥会摘取金牌的一段视频，请注意观察女运动员做了什么运动？
新课教学
探究匀速圆周运动加速度
实验感悟
提问：我们知道匀速圆周运动是线速度大小不变的运动，匀速圆周运动是不是变速运动？
追问：既然匀速圆周运动是变速运动，有没加速度？
再追问：那么匀速圆周运动加速度有什么特点？我们又如何探究呢？
学生活动：思考得出有加速度，虽然学生知道有加速度，但问加速度有什么特点以及怎么探究对于这个未知领域，学生还是觉得难度大，但通过前面的学习，学生很容易在引导下想到用牛顿第二定律来探究匀速圆周运动的加速度，教师引导用实验来探究匀速圆周运动的受力特点。
探究一：匀速圆周运动合外力的方向
学生实验：
小组实验一：
1.手握细线一端，手指接近桌面，使小球在桌面上做匀速圆周运动
学生活动：实验现象小球（近似）在桌面上做匀速圆周运动。
受力分析：小球受重力，支持力，绳子的拉力。
结论，小球在绳子拉力的作用下做匀速圆周运动，并且绳子的拉力是指向圆心。
小组实验二：
小钢球在烧杯底沿杯壁做匀速圆周运动
实验现象小球（近似）沿杯壁做匀速圆周运动。
受力分析：小球受重力，支持力，杯壁的弹力。
结论，小球在杯壁的弹力的作用下做匀速圆周运动，并且杯壁的弹力是指向圆心
设计意图：通过简单的实验，结合受力分析，应用所学习的知识，探究未知的领域。
学生体验实验：
结合书本给我们提出了一个地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受到一个像太阳给地球手拉手的一个吸引力而做匀速圆周运动，我们请两位同学通过实验来体会下这个力。
学生活动：参与课堂，进一步得出匀速圆周运动的合外力是指向圆心。
通过上面的实验，我们感悟到做匀速圆周运动的物体受合外力都是指向圆心的，也就是匀速圆周运动的加速度是指向圆心的，我们能不能从理论上证明我们的感悟是否正确呢？
学生活动：又进入一个新的思考。
我们还可以从哪个角度来研究匀速圆周运动的加速度？
学生活动：学生应该想到加速度的定义式。
理论探究
提问：请问加速度的定义式是什么？
学生回答：
提问：公式中各个字母的含义?
学生回答：为速度变化量，为经过的时间.
提问：加速度方向与定义式中哪个物理量有关？是什么关系？
学生回答：与有关，方向始终相同。
原来要研究匀速圆周运动加速度方向也就是要研究速度变化量的方向，终于找到了研究匀速圆周运动加速度的突破口！
探究二：探究匀速圆周运动速度变化量的大小和方向
设物体做匀速圆周运动的物体的线速度大小为v，半径为r，经过，物体从A点运动到B点，请画出内的方向。
探究二：匀速圆周运动速度变化量的大小和方向
第一步：
设质点沿半径为r 的圆做匀速圆周运动，其线速度大小为,某时刻位于A点，速度为 ，经过时间△t 后位于B点，速度为 。AB表示弦AB的长度（温馨提示：,大小相等，即线段长度相等.）
请在图中画出从A到B速度变化量；
观察△OAB与、、三条线段围成的三角形，
2个三角形有什么关系？
据两个三角形的几何关系请你求=____________________（用含AB，r,v的表达式表示）。
第二步：减小，则∠AOB减小，如图
1请在图中画出从A到B速度变化量；
观察△OAB与、、三条线段围成的三角形，
2个三角形有什么关系？
3.观察与所组成的角相对第一步在如何变化？
据两个三角形的几何关系请你求出：=____________________（用含AB，r,v的表达式表示）
第三步：再减小,当很小很小时，则∠AOB也很小很小
（为方便作图角取的仍然比较大）。
1.请在图中画出从A到B速度变化量；
2.请你判断：此时的表达式和前面是一样吗？
3.观察此时与的所组成的接近多少度，与半径OA是什么关系,指向哪里？
设计目的：通过一步一步的深入体验得出需要探究的结论，也主要是把逐渐逼近的思想通过一步二步三步减小理解的难度。
结论：当 Δt 很小很小时，的方向指向_圆心_,即匀速圆周运动的加速度指向___圆心_。
向心加速度
1.定义：做匀速圆周运动的物体的加速度都是指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。
2.方向：始终指向圆心。
教师提问 ：我们解决了一个问题又迎来另外一个问题：向心加速度的大小是多少呢？
探究三：探究匀速圆周运动物体向心加速度的大小
设质点沿半径为r 的圆做匀速圆周运动，其线速度大小为v,某时刻位于A点，速度为vA ，经过时间△t 后位于B点，速度为vB 。请你试着利用刚刚求解的来求解向心加速度的大小。
加速度公式：
当时间趋于零时，此时弧对应的圆心角θ很小，弧长和弦长相等，所以
代入上式可得
利用可得
三．向心加速度公式的理解与应用
1.提问：向心加速度大小与半径成什么关系？
学生活动：学生容易得出一个成正比一个成反比，两个结论是否矛盾？
铺垫：y=kx这个关系式中，y与x成正比，前提是什么？
学生回答：前提是k为定值。
得出与半径成正比的条件是角速度不变
继续分析教材中哪两点成正比，哪两点成反比？
学生回答：A.B适用于向心加速度与半径成反比，B.C适用于向心加速度与半径成正比。
探究四：向心加速度公式的应用
如图为一皮带传动装置，大轮与小轮固定在同一根轴上，小轮与另一中等大小的轮子间用皮带相连（皮带不打滑），小、中、大轮子的半径之比是1：2：3．A、B、C分别为小、中、大轮子边缘上的三点,求三个点向心加速度大小之比为多少？
设计目的：让学生熟练公式，能应用向心加速度公式解决问题，能在不同的情况中选择合适的公式快速的解决问题。
向心加速度公式适用于非匀速圆周运动吗？
物体做非匀速圆周运动时，合加速度既有沿切线方向的分量，又有指向圆心的分量，由于沿切线方向的加速度始终与速度共线，所以只改变速度的大小不改变速度的方向，指向圆心的加速度只改变速度的方向不改变速度的大小，所以向心加速度仍然适用于非匀速圆周运动。
设计目的：让学生了解向心加速度度公式的适用范围，为后面解决竖直面的变速圆周运动做准备。
布置作业
（1）完成教材P22“问题与练习”第2、3、4题.
(2)推荐课外查阅与讨论
1.请同学们在网上查阅推导向心加速度的其他方法？
2.网上查阅用数学的方法证明向心加速度公式也适用非匀速圆周运动并查阅曲率半径。
3.课题：研究电视画面中汽车轮胎的正反问题.
过程：在电视画面中我们常常会看到一辆向前奔驰的汽车，它的轮子一会儿在正转，一会儿又在倒转.假设轮子的辐条如图所示，请解释造成这种现象的原因是什么,并分析什么情况下出现正转现象,什么情况下出现倒转现象.（参考资料：电视画面是每隔1/30 s更迭一帧，人的视觉暂留时间为0.1 s）
板书设计
5.向心加速度
一、探究匀速圆周运动的加速度
1.实验感悟
2.理论探究
二、向心加速度
1.定义：
2.方向：始终指向圆心.
3.向心加速度公式：
三．向心加速度公式应用
1.向心加速度与r的关系.
2.向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动.
课件20张PPT。向心加速度看视频学知识情景引入1、匀速圆周运动是不是变速运动？ 2、匀速圆周运动是变速运动，有没有加速度？ 3、匀速圆周运动的物体加速度有什么样的特点?我们又如何探究呢?我们怎样求解物体的加速度？
加速度与合外力的方向相同方案一:实验感悟探究一：匀速圆周运动物体合外力的方向
指向圆心指向圆心画小球受力分析图 结论：通过实验我们感悟到：匀速圆周运动物体的合外力指向_______，匀速圆周运动的物体加速度指向__________.
圆心圆心探究一：匀速圆周运动物体合外力的方向a 的方向与Δv 的方向相同速度的变化量Δv方案二：理论验证 设质点沿半径为r 的圆做匀速圆周运动，其线速度大小为v,某时刻位于A点，速度为vA ，经过时间△t 后位于B点，速度为vB ,AB表示弦AB的长度（温馨提示： vA, vB大小相等，即线段长度相等 ）探究二.探究匀速圆周运动速度变化量的大小和方向3.据两个三角形的几何关系请你求出：
=____________________（用含AB，r,v的表达式表示）
探究二.探究匀速圆周运动速度变化量的大小和方向第一步：
1.请在图中画出从A到B速度变化量 相似三角形3、观察 与 所组成的角相对第一步在如何变化？
4.由几何关系可以求出 =
2、观察等腰△OAB与 、 、 三条线段围成的三角形，2个三角形有什么关系？相似三角形增大探究二.探究匀速圆周运动速度变化量的大小和方向第二步：减小Δt，则∠AOB减小，如右图
1、请在图中画出从A到B的3.观察此时 与 所组成的角接近多少度？ 与半径OA成什么关系？指向哪里？ 第三步：再减小Δt,当Δt很小很小时，则∠AOB也很小很小
1.请在图中画出从A到B速度变化量 。
2. 请你判断： 此时的表达式和前面是一样吗？探究二.探究匀速圆周运动速度变化量的大小和方向一样90度平行圆心结论：当 Δt 很小很小时，匀速圆周运动任意一点 的方向指向_____,即匀速圆周运动的加速度指向____。
圆心圆心探究二.探究匀速圆周运动速度变化量的大小和方向向心加速度大小又如何确定呢？据公式：代入 得：当 很小很小时弧长等于弦长AB，据线速度公式有：故：探究三.探究匀速圆周运动向心加速度的大小向心加速度的公式探究三.探究匀速圆周运动向心加速度的大小
向心加速度与半径成什么关系？y=kx这个关系式中，y 与x成正比，前提是什么？当v大小不变时，an与r 成反比当ω不变时，an与r 成正比探究四. 向心加速度公式的应用 自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A、B、C。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”? 做出解释。生活实例应用：分析：A、B两点所在轮子用同一根铁链相连，线速度V大小相等，适用于“向心加速度与半径成反比”；B、C两点围绕同一个轴心转动，角速度ω相等，适用于“向心加速度与半径成正比”。 如图为一皮带传动装置，大轮与小轮固定在同一根轴上，小轮与另一中等大小的轮子间用皮带相连（皮带不打滑），它们的半径之比是1：2：3．A、B、C分别为小、中、大轮子边缘上的三点,求三个点向心加速度大小之比为多少？解：对于A、C两点：角速度ω相
等，由公式：
得对于A、B两点：线速度大小v相等，由公式
得
所以向心加速度1.完成教材P22“问题与练习”第2、3、4题.
2.推荐课外查阅与讨论
(1)请同学们在网上查阅推导向心加速度的其他方法。
(2)网上查阅用数学的方法证明向心加速度公式也适用非匀速圆周运动。
布置作业
第5节 向心加速度
人教版教参补充题
1.下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是（ ）
A.向心加速度的方向保持不变
B.向心加速度是恒定的
C.向心加速度的方向始终和速度的方向垂直
D.向心加速度的大小不断变化
解析：匀速圆周运动向心加速度的方向始终指向圆心，但大小不变，故A、B、D均错。
答案：C
2.一圆环的圆心为O，若以它的直径AB为轴做匀速转动，如图5-5-27所示，圆环上P、Q两点的线速度大小之比是 ；若圆环的半径是20 cm，绕AB轴转动的周期是0.1 s，环上Q点的向心加速度大小是 。
解析：P、Q两点均绕AB轴转动，,∶=sin 60°∶sin 30°=∶1；
由v=ωr,则P、Q两点线速度大小之比∶＝）∶)=∶1；
·＝ ^= ^2×0.2×sin 30° 。
答案：∶1
其他版本的题目
广东教育版
如图5-5-28所示，当正方形薄板绕着通过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点的线速度之比和向心加速度之比分别为多大？
解析：A、B两点绕其同轴转动，,又∶＝cos 45°∶1=∶2,
则∶)∶)=∶2，
∶= ∶ =∶2。
答案：均为∶2
山东科技版
1.图5-5-29所示为甲、乙两球做匀速圆周运动向心加速度随半径变化的图象，由图象可知（ ）
A.甲球运动时，线速度大小保持不变
B.甲球运动时，角速度大小保持不变
C.乙球运动时，线速度大小保持不变
D.乙球运动时，角速度大小保持不变
解析：由a=知，v不变时，a与R成反比，图象为双曲线一支，则A对B错；由R知，ω不变时，a与R成正比，图象为一次函数，则C错D对。
答案：AD
2.如图5-5-30所示，两个轮通过皮带传动，设皮带与轮之间不打滑，A为以O为圆心、半径为R的轮缘上一点，B、C为以O′为圆心、半径为2R的轮缘和轮上的点，O′C＝R。当皮带轮转动时，A、B、C三点的角速度之比∶∶= ,线速度之比∶∶= ,向心加速度之比∶∶= 。
解析：A、B是同一皮带传动中轮缘上的点，故,B、C同轴转动，,又∶∶=R∶2R∶R=3∶6∶2,由v=ωR和a=ωv。
知∶∶=2∶1,故∶∶=2∶1∶1,∶∶=3∶3∶1。
∶∶)∶)∶)=（2×3)∶（1×3)∶（1×1)=6∶3∶1。
答案：2∶1∶1 3∶3∶1 6∶3∶1
3.在航空竞赛场里，由一系列路标塔指示飞机的飞行路径。在飞机转弯时，飞行员能承受的最大向心加速度大小为6g（g为重力加速度)。设一飞机以150 m/s的速度飞行，当加速度为6g时，其路标塔转弯半径应该为多少？
解析：v=150 m/s,a=6g=6×9.8 =58.8
由a=得：
r=＝ m≈382.7 m。
答案：382.7 m
教育科学版
1.在长0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6 m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，求小球运动的向心加速度和角速度。
解析：由a=得，a= =1.8
由R得,ω= = rad/s=3 rad/s。
答案：1.8 3 rad/s
2.一般自行车车轮的直径约为0.7 m。当自行车以5 m/s的速度匀速行驶时，车轮边缘的质点相对于车轮的轴做匀速圆周运动。试求车轮边缘质点的向心加速度。若小轮自行车以相同速度匀速运动时，车轮边缘质点的向心加速度是大一些还是小一些？
解析：由题意，自行车车轮半径R＝0.35 m，由a=,得a= = ；
由a=知,v相等时，R越小，a越大，小轮自行车车轮半径小，故向心加速度大。
