5.5向心加速度
学习目标：1.知道匀速圆周运动是变速运动，存在加速度。
2.理解匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以又叫做向心加速度。
3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
4.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
学习重点：理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式。
学习难点：向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的应用
自学设计
课前预习
学生阅读教材，思考并回答。
1、匀速圆周运动的特点：线速度： ；角速度
。 (“存在”或“不存在”)加速度。
2、向心加速度 ，公式 ，单位 ，方向 。物理意义
。
3、匀速圆周运动是匀变速曲线运动吗？ 。
合作探究一
学生阅读教材 “思考与讨论”部分，投影图5.6－1和图5.6－2以及
对应的例题，思考并回答。
例一结论：
例二结论：
你还能举出几个类似的匀速圆周运动的例子吗？
1、速度变化量
回忆有关速度问题，引导学生在练习本上画出在一条直线上物体加速运动和
减速运动时速度变化量Δv的图示，思考并回答问题：
（1）.速度的变化量Δv是矢量还是标量？
( 2). 如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表示速度的变化量Δv？
画出物体加速运动和减速运动时速度变化量的图示。
点拨：对比同一直线上两个力的合成力的合成以及互成角度的两个力的合成法则中的三角形定则
合作探究二
2、向心加速度
学生阅读教材 “向心加速度”部分及投影图5.6－4，思考讨论一下问题：
（1）在A、B两点画速度矢量vA和vB时，要注意什么？
（2）将vA的起点移到B点时要注意什么？
（3）如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量Δv？
（4）Δv／Δt表示的意义是什么？
（5）推导向心加速度的表达式。
点拨：相似三角形对应边成比例
学生讨论，得出结论：
合作探究三
从公式看，向心加速度与圆周运动的半径成反比？从公式看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？请从以下两个角度来讨论这个问题。
①在y=kx这个关系式中，说y与x成正比，前提是什么？
②自行车的大车轮，小车轮，后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A、B、C，其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？
小组讨论，各组代表发言，最后总结结论。
达标练习
1、下列说法正确的是（ ）
A. 向心加速度越大，物体速率变化越快
B. 向心加速度大小与轨道半径成反比。
C. 向心加速度方向始终与速度方向垂直
D. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定
2、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A、它们的方向都沿半径指向地心
B、它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴
C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小
3、关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是（ ）
A．在赤道上向心加速度最大
B．在两极向心加速度最大
C．在地球上各处，向心加速度一样大
D．随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小
答案：
1.AC 2.BD 3.AD
第5节 向心加速度
新课教学
(一)．感知加速度的方向
用PPT请同学们看两例：
问：<1>图1中地球受到什么力的作用？这个力可能沿什么方向？
<2>图2中小球受到几个力的作用？这几个力的合力沿什么方向？
生<1>：（可能回答）感觉上应该受到指向太阳的引力作用。
生<2>：小球受到重力、支持力和绳子的拉力三个力的作用，其合力即为绳子的拉力，方向指向圆心。
师：可能有些同学有疑惑，即我们这节课要研究的是匀速圆周运动的加速度，可是上面两个例题却在研究物体所受的力，这不是“南辕北辙”了吗？
生：（可能的回答）根据牛顿第二定律可知，知道了物体所受的合外力，就可以知道物体的加速度，可能是通过力来研究加速度吧。
师：回答得很好，由于我们之前没有研究过曲线运动的加速度问题，特别是加速度的方向较难理解，而牛顿第二定律告诉我们，物体的加速度方向总是和它的受力方向一致，这个关系不仅对直线运动正确，对曲线运动也同样正确。所以先通过研究力来感知加速度，特别是加速度的方向。
做一做：请同学们用细线和小球的实验
师：在刚才的实验中，同学们已充分感知了做匀速圆周运动的物体所受的力或合外力指向圆心，所以物体的加速度也指向圆心。是不是由此可以得出结论：“任何物体做匀速圆周运动的加速度都指向圆心”？暂时不能，因为上面只研究了有限的实例，还难以得出一般性的结论。然而这样的研究十分有益，因为它强烈地向我们提示了问题的答案，给我们指出了方向，但是我们具体研究时仍要从加速度的定义来进行（a= ）。
下面我们将对圆周运动的加速度方向作一般性的讨论。
(二)．速度变化量Δv
师活动：阅读教材“速度变化量”部分，引导学生在练习本上画出物体加速运动和减速运动时速度变化量Δv的图示，问：速度的变化量是矢量还是标量？
请学生在练习本上画出物体加速运动和减速运动时速度变化量的图示。
师：投影学生所画的图示，分析总结。
问：如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表示速度的变化量Δv？教师引导学生分析并在黑板上板演。
(三)．向心加速度a
师：指导学生阅读教材，观看flash动画
问：1>在A、B两点画速度矢量va和vb时，要注意什么？
2>将va的起点移到B点时要注意什么？
3>如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量Δv？
4>表示的意义是什么？
5>Δv与圆的半径平行吗？在什么条件下，Δv与圆的半径平行？
师：在图6.6-6.7中，Δv的延长线并不通过圆心，为什么说这个加速度是“指向圆心”的？
教师在学生充分讨论的基础上引导学生找答案：当va的起点移到B点，同时保持va的长度和方向不变，它仍可代表质点在A处的速度。由于va与vb的长度相等，它们与Δv组成等腰三角形，当Δv很小很小时，Δv也就与va（或vb）垂直，与半径平行，或者说Δv指向圆心。
教师总结：上面的推导不涉及“地球公转”“小球绕图钉转动”等具体的运动，结论具有一般性——做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
师：匀速圆周运动的加速度方向明确了，它的大小与什么因素有关呢？
学生推导，教师加以引导，并把学生推导过程投影出来：
∵a= va=vb=v2
当角θ用弧度表示，QP=aθ
当θ很小很小时，弧长与弦长没什么区别：=
∴Δv= ΔL ∴an= =
又∵v = ∴an=
又∵v =rω ∴an= rω2
师：从公式an= 看，向心加速度与圆周运动的半径成反比？从公式an= rω2看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？
1>在y=kx这个关系式中，说y与x成正比，前提是什么？
2>自行车的大车轮，小车轮，后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A、B、C，其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？
三、课堂总结，点评：
让学生概括总结本节的内容。请一个同学到黑板上总结，其他同学在笔记本上总结，然后请同学评价黑板上的小结内容，最后教师点评：
1>掌握怎样表示速度的变化量
2>匀速圆周运动的加速度的方向是指向圆心的——向心加速度
3>向心加速度的计算式an= = rω2 = vω
四、板书设计：
一．感知做匀速圆周运动的物体加速度的方向
二．速度变化量的求法
三．向心加速度 1>名称的由来
2>表达式：an= an= rω2
作业布置：P22
1， 3 4
课件16张PPT。第5节、向心加速度复 习 提 问 什么是匀速圆周运动?
“匀速”的含义是什么？那么做匀速圆周运动的物体的加速度有什么样的特点呢?它的方向是什么呢?大小如何计算?匀速圆周运动是变速运动变速运动运动状态改变一定存在加速度思考加速度的定义式是什么？a 的方向与Δv 的方向相同如何确定Δv的方向?速度的变化量Δv曲线运动中的速度的变化量：
用矢量图表示速度变化量作法：从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速度v1的末端至末速度v2的末端所作的矢量就是速度的变化量△v 。直线运动中的速度的变化量：
v1=3m/s,水平向东;
v2=5m/s,水平向东.v1=5m/s,水平向东;
v2=3m/s,水平向东.v1=5m/s,水平向东;
v2=3m/s,水平向西.v1Δvv2Δv = 2m/sΔv = -2m/s设质点沿半径为r 的圆做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为vA ，经过时间△t 后位于B点，速度为vB 。
匀速圆周运动的加速度方向vBΔv小球受哪些力？合外力有何特点？轻绳栓一小球,在光滑水平面做匀速圆周运动。 看一看OFFFO 小球受力分析 结论： 做匀速圆运动的小球所受合力指向圆心向心加速度结论：当△t很小很小时，△v指向圆心． 向心加速度2.表达式：1.做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心．这个加速度称为向心加速度． 向心加速度1、定义：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度4、物理意义：描述由于速度方向变化导致速度变化的快慢2、符号：an3、方向：始终指向圆心5、说明：匀速圆周运动加速度的大小不变，方向在时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，是变加速运动指向圆心4、大小：向心加速度的表达式：v不变时，an与r 成反比ω不变时，an与r 成正比向心加速度的表达式五 小结 1 掌握怎样表示速度的变化量。
2 匀速圆周运动的加速度的方向是指向圆心的，叫向心加速度。
3 向心加速度的计算公式为
4．只改变速度的大小不改变速度的方向例与练2、如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的加速度之比。 例与练练习3.关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是
A、它们的方向都沿半径指向地心
B、它们的方向都平行于赤道平面指向地轴
C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小
BD4.如图所示，A、B两物体作匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图线，其中B图线为双曲线，可得出 ( )
A、A物体运动时的线速度大小保持不变
B、A物体运动时的角速度大小保持不变
C、B物体运动时的角速度保持不变
D、B物体运动的线速度随r而改变A第5节 向心加速度
本讲要点：
1．理解速度变化量和向心加速度的概念，体会速度变化量的处理特点，体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法；
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式；
3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。
同步课堂：
一、速度变化量
1、速度变化量是矢量，既有大小，又有方向。
2、速度变化量的运算法则：
当初末速度不在一条直线上时，则△v的运算满足平行四边形法则。
二、向心加速度
1、定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心的加速度。
2、表达式：
an= v2/r=ω2r=4π2r/T2
3．方向;总是指向圆心，时刻在变化。向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小
注意：匀速圆周运动是加速度大小不变，方向时刻在变化的非匀变速曲线运动。
二、重点难点:
向心加速度的推导：
研究加速度要依据加速度的概念。加速度是速度的改变跟发生这一改变所用时间的比值，所以要从确定速度的变化量来着手。我们可以先把有关速度矢量和画成图（2）所示，图中、分别表示做匀速圆周运动的物体在A、B两点时的速度。把和的始端画在一起，把它们的终端以虚线相连，作出如图（2）所示的平行四边形，这个平行四边形可理解为将速度和速度的变化量合成得到。它也能用图（3）所示的三角形法则来表示，同样可以看成与合成得到。这就是说从变到，发生了的变化，从而求出速度矢量的改变量。
在求出的基础上，就得出当时，的方向是沿半径指向圆心的，所以加速度的方向也是时刻沿半径指向圆心的，这里特别要注意，向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
在推导向心加速度公式时，要明确只有当时，弦AB的长度才等于弧AB长度，才表示线速度的大小，从而得出。认真体味物理的极限思想。
2. 向心加速度的理解
向心加速度是矢量，既有大小，又有方向，而加速度的方向始终指向圆心，故匀速圆周运动的加速度是变化的（加速度大小不变），则匀速圆周运动不仅是变速运动，而且是变加速运动。
在匀速圆周运动中，向心加速度就是物体做圆周运动的实际加速度，而在一般的非匀速圆周运动中，它只是物体实际运动的加速度的一个分加速度，另一个分加速度为切向加速度，如图所示.可见物体做圆周运动的加速度不一定指向圆心，只有匀速圆周运动的加速度才一定指向圆心；但向心加速度方向始终沿着半径指向圆心.
圆周运动的切向加速度是描述圆周运动的线速度的大小改变快慢的，向心加速度是描述线速度的方向改变快慢的。
典型例题：
例题1、如图，直杆OB绕O点转动，当杆上A点速度为V1时，杆上另一点B的速度为V2，当B点速度大小增加△V时，则A点速度增加（ ）
A、 B、
C、 D、
解析：本题考察对速度变化量的理解，首先要明确初、末速度（包括大小和方向），和速度变化量的物理意义，并且抓住A、B两点角速度相同这一点切入。A、B两点ω相同，由v1:v2=OA:OB (v1+△v′)：(v2+△v)=OA:OB可得。
答案C
点评：速度变化量既有大小，又有方向，是矢量。因此对初末速度的分析也要注意大小和方向。而本题根据杆上各点角速度相同入手，巧妙运用比例关系，使问题得到解决。
例题2、下列关于向心加速度的说法中，正确的是 （ ）
A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
解析： 向心加速度的方向始终沿半径指向圆心，而圆周运动的速度方向始终沿圆周上该点的切线方向，故向心加速度的方向始终与速度的方向垂直，故A正确；在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，但方向时刻改变，则BCD均错误。
答案：A
例题3、如图所示，甲是一个半径为r的固定在转轴上的轮子，乙是一个支撑起来的中空的轮环，内半径为2r，外半径为3r，甲带动乙转动，接触处不打滑，当甲的角速度为ω时，轮环外壁N点的线速度是______，轮环外壁N点的向心加速度是______.
解析：本题讨论皮带传送装置线速度、角速度和周期之间的关系问题。因此首先要抓住传动装置的特点:同轴传动的是角速度相等，皮带传动是两轮边缘的线速度大小相等，再利用v=ωr以及向心加速度的公式找关系。
甲、乙两轮接触处不打滑；接触处线速度相同，甲轮边缘的线速度v=ωr，则乙轮环内径2r的圆周上各点线速度也为v乙（内）=ωr，其角速度ω′== =0.5ω，乙轮环上各点的角速度相等，则
N点的线速度vN=ω·3r=1.5ωr
a==0.75ω2r
点评：在分析传动装置的各物理量之间的关系时，要首先明确什么量是相等的，什么量是不等的。通常情况下，同轴的各点角速度ω、转速n、周期T相等，而线速度v=ωr与半径成正比。在认为皮带不打滑的情况下，传动皮带与和皮带连接的轮子的边缘的各点的线速度大小相等，而角速度ω=v/r与半径r成反比。齿轮啮合装置同样边缘的各点的线速度大小相等。
